Teoriya_veroyatnostey_Nosovskaya

42

Биномиальное распределение.

М(Х) = λ

D(X) = λ

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметруλ , определяющему распределение).

М(Х) = 1 p

D(X) = q p2

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина X, которая определена на промежутке [a, b], имеет равномерный закон распределения, если

43

M ( X ) = a + b , то есть математическое ожидание

2

равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b].

Дисперсия D( X ) = (b − a)2

12

Нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если

M ( X ) = a D( X ) = σ 2

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α , β ) , равна

где Φ ( x) - функция Лапласа.

П р и м е р 44. Определить вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х принимает значения, находящиеся в интервале (15;25), если математическое ожидание величины равно а=20, а среднее квадратическое отклонение σ =5.

Р е ш е н и е.

44

По таблице (приложение 1) находим

F (1) = 0, 3413, F (-1) = -F (1) = -0,3413.

Искомая вероятность

P{15 < X < 25} = F (1) - F (-1) = 2 × 0, 3413 = 0, 6826. ♦

45

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

I. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ.

1.В урне 12 шаров, ничем, кроме цвета, не отличающихся. Среди этих шаров 5 черных и 7 белых. Какова вероятность, что наудачу вынутый шар окажется черным?

2.В урне 3 белых, 2 черных и 5 красных шаров. Чему равна вероятность того, что наугад вынутый шар окажется: 1) красным; 2) не черным?

3.Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти вероятность выпадения грани с четным числом очков.

4.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 5?

5.Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что абсолютная величина разности выпавших очков равна 2?

6.Покупая карточку лотереи "Спортлото", игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все

6номеров?

7.На 6 одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки перемешивают и раскладывают наугад в ряд. Какова вероятность, что при этом получится слово МОСКВА?

8.Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе

5женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

9.Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность в следующих случаях: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

46

10.На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9.Все 9 карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут 4 из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить при этом: 1) четное число; 2) число 1234?

11.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность, что в нем все цифры, кратные 3?

12.Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется два туза?

13.Колода из 36 карт разделена наудачу на две равные части. Найти вероятность того, что каждая из полуколод будет одного цвета.

14.Цифровой замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае, если диски занимают определенное положение относительно корпуса замка и, следовательно, цифры образуют определенную комбинацию, составляющую "секрет" замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?

15.Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна частота попадания в цель данного стрелка?

16.В лабораторных условиях было посеяно 100 зерен пшеницы. Относительная частота зерен, которые дали нормальные побеги, равна 0.85. Вычислить, сколько зерен из общего числа не проросло.

17.При испытании партии приборов относительная частота появления бракованных приборов равна 0.2. Найти число годных приборов, если было испытано 200 штук.

18.Каждую из букв Е, К, В, И написали на одной из четырех карточек. Карточки тщательно перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность появления при этом слова "КИЕВ"?

19.Имеются четыре одинаковых карточки. На двух из них написана буква А, на двух других - буква М. Карточки наудачу раскладывают в ряд. Какова вероятность получить слово "МАМА"?

20.Десять одинаковых томов книг расставляют наудачу на книжной полке. Вычислить вероятность таких случайных событий: 1) первый том будет стоять на первом месте, а второй

47

том (№ 2) - на десятом; 2) первый том будет стоять на первом месте, второй - на втором; 3) первый и второй тома будут стоять рядом; 4) между первым и вторым томами будут стоять какиенибудь другие три тома.

21.Задано множество (1, 2, 3, 4, 5, 6). Наудачу берут четыре цифры и ставят их в ряд. Какова вероятность того, что при этом получиться нечетное число?

22.Каждая из букв П, Р, С, А, Д, И, Ц, Я написана на одной из

восьми одинаковых карточек, которые старательно перемешиваются. Наудачу берут 5 карточек и ставят в ряд. Какова вероятность получить слово "РАЦИЯ"?

23.В ящике лежат одинаковые детали. Из них 3 бракованные и

5стандартных. Наудачу берут 4 детали. Вычислить вероятность таких случайных событий: А - четыре детали окажутся стандартными; В - две бракованных и две стандартных; С - три бракованных и одна стандартная.

24.В урне находятся 3 красных, 4 синие и 5 желтых шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Вычислить вероятность таких случайных событий: А - 3 шара окажутся одного цвета; В - 3 шара окажутся разного цвета.

25.В группе 26 студентов, из них - 18 девушек и 8 юношей. Группу наудачу делят на две равные части. Какова вероятность того, что в каждой части будет по 4 юноши?

26.Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А - в полученной выборке все карты бубновой масти; В - окажется хотя бы один туз.

27.Первого сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможно?

28.Подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность следующих событий: А - числа очков на обеих костях совпадают; В - число очков на первой кости больше, чем на второй?

48

29.Подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность следующих событий: А - сумма очков четна; В - сумма очков больше двух?

30.В лотерее 1000 билетов. 500 из них выигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

31.На шести одинаковых карточках написаны числа: 2, 4, 7, 8, 12, 14. Наугад берется две карточки. Какова вероятность того, что образованная из двух взятых чисел дробь сократима?

32.Из 15 билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу шести билетов будет два выигрышных?

33.Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?

34.Статистика показывает, что в ежегодном заплыве из каждых

100пловцов 3/4 дистанции проходит в среднем 90, а всю дистанцию - 80 спортсменов. Найти вероятность того, что: а) спортсмен пройдет всю дистанцию; б) если он прошел 3/4 дистанции, то он доплывет до финиша.

35.Пассажир ждет автобуса № 2, 3 или 10 возле остановки, у которой останавливаются маршрутов № 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 15. Принимая, что автобусы всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, найти вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута.

36.В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

37.Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

38.Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

39.В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и

49

расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

40.На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

41.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

42.Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл необходимый код. С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки, если цифры в коде не повторяются?

43.В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

44.Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

45.Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги - по одному рублю и две книги - по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

46.В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

47.При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

48.На отрезок ОА длины L числовой оси Oх наудачу поставлена точка B(x). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна

50

длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

49.Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

50.Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

51.Из партии в 40 изделий, которая содержит 20% брака, наугад берут 7 изделий. Найти вероятность того, что среди взятых изделий окажется 5 бракованных.

52.В гуманитарном классе 25 учеников, из которых 7 интересуются математикой, 10 – экономическими дисциплинами, остальные – литературой. Найти вероятность того, что два наугад выбранных ученика интересуются одной и той же дисциплиной.

53.В вазе 5 роз розового, 7 красного и 3 белого цвета. Наугад берут две розы. Какова вероятность того, что они будут: а) одного цвета; б) разного цвета.

54.Четыре билета в театр разыгрывают 5 юношей и 7 девушек. Найти вероятность того, что в театр пойдут 2 юношей и 2 девушки.

55.Из 10 лотерейных билетов книжной лотереи, которые находятся в продаже, 2 выигрышных. Определить вероятность того, что среди купленных билетов: а) один выигрышный; б) хотя бы один выигрышный.

56.Пять книг, среди которых 2 учебника математики, произвольно размещают на полке. Какова вероятность того, что эти учебники будут стоять рядом.

57.В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны достают наугад 5 шаров. Найти вероятность того, что 3 из них – белые, а 2 – черные.