Teoriya_veroyatnostey_Nosovskaya

2

УДК 519(075)

Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Часть I: "Теория вероятностей" (для студентов всех специальностей) / Сост.: О.Б. Носовская, Л.С. Тонких, С.Е. Носовская. - Мариуполь, ПГТУ, 2009, - 80 с.

В пособии изложены краткие теоретические сведения и даны методические указания к решению задач по теме «Теория вероятностей». Приведены варианты задач к индивидуальным заданиям.

Утверждено на заседании кафедры высшей математики Протокол № 5 от " 4 " декабря 2009 г.

Рекомендовано учебно-методической комиссией факультета информационных технологий Протокол № 4 от " 9 " декабря 2009 г.

3

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое пособие является первой частью «Методического пособия по теории вероятностей и математической статистике», состоящего из двух частей: «Теория вероятностей» и «Математическая статистика». Оно написано в соответствии с действующими программами курса «Теория вероятностей и математическая статистика» для инженерно-технических специальностей вузов.

Первая часть методического пособия предназначена для проведения практических аудиторных занятий, самостоятельных работ и выдачи индивидуальных домашних заданий по теории вероятностей. Также это пособие может быть использовано и студентами заочной формы обучения для самостоятельного изучения раздела «Теория вероятностей».

Материал, изложенный в данном пособии, содержит необходимые теоретические сведения (основные определения, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач. Этот материал иллюстрируется решенными примерами (конец решения примеров обозначается символом ♦). После изложенного материала приводятся варианты заданий для самостоятельного решения. Теоретический материал и задания для самостоятельного решения разделены по темам:

I. Классическое определение вероятности события. Геометрическое определение вероятности. Относительная

Геометрическое определение вероятности. Относительная частота появления события.» содержит 60 заданий. Остальные темы – по 30 заданий.

Необходимые для решения задач математикостатистические таблицы даются в приложениях 1 – 3.

4

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

В теории вероятностей под испытанием (опытом, экспериментом) понимается комплекс определенных условий, осуществляемых как угодно много раз, в которых наблюдается какое-либо явление, результат.

Случайным событием (или просто событием)

называется любой возможный исход, результат испытания

(опыта, эксперимента).

Н а п р и м е р: Игральный кубик (кубик, на гранях которого точками обозначены от одного до шести очков) бросают на стол. На верхней грани кубика выпадет какое-либо количество очков (от одного до шести). Комплекс данных условий (наличие кубика, стола и процедура бросания кубика) – испытание. Всего при подбрасывании кубика возможны шесть исходов. Пусть случайное событие – выпадение нечетного числа очков. Это событие – совокупность трех исходов: выпали 1, 3 и 5 очков.

Случайные события обозначают прописными латинскими

буквами: А, В, С или А1, А2 и т.д.

Достоверным называется событие (обозначается буквой Ω), которое обязательно произойдет в результате определенного испытания.

Невозможным называется событие (обозначается ), которое в результате определенного испытания вообще не может произойти.

Событие A называется противоположным к событию А, если оно происходит только тогда, когда не происходит событие А.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то это означает, что А

влечет за собой событие В или В включает событие А: A B .

Если одновременно A B и B A , то в этом случае события называются равносильными: А=В.

События А1, А2,…, Ап называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются

совместными.

5

События А1, А2,…, Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Н а п р и м е р: Появление «герба» или «решки» при одном подбрасывании монеты либо выпадение на верхней грани соответственно 1, 2, …, 6 очков при одном подбрасывании игрального кубика – события равновозможные.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ

Вероятность события характеризует степень объективной возможности этого события. Таким образом, численная мера

степени объективной возможности события называется

вероятностью события.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны. Такие исходы называются

элементарными исходами, элементарными событиями или случаями.

Случай называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет за собой появление события А.

Если, в частности, множество Ω состоит из n элементарных событий, то вероятность P(A) события А равна отношению числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных равновозможных событий, т.е.

Поэтому вероятность P( A) = m называют классическим определением n

вероятности.

7

Значит,

P( А) = т = 6 = 0, 6. ♦

п10

Свойства вероятности события:

1)0 ≤ P ( A) ≤ 1 .

2)P (Ω) = 1 (вероятность достоверного события равна единице).

3)P ( ) = 0 (вероятность невозможного события равна нулю).

Понятие геометрической вероятности состоит в следующем. Пусть в область G бросается наудачу точка. То есть, брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы. Таким образом, если g

– часть области G, то вероятность попадания в область g по определению равна

-геометрическое определение вероятности.

П р и м е р 4. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Р е ш е н и е.

Событие А={точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него}. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга S = π R2 , а площадь шестиугольника

s = 33 R2 . 2

Следовательно,

8

Относительной частотой появления события А называется отношение числа испытаний NA, в которых появилось событие к числу N повторений опыта, т.е.

0≤ W ( A) ≤ 1 .

Пр и м е р 5. В партии однотипных деталей, число которых равно 400, контролер выявил 25 бракованных. Чему равна относительная частота появления стандартных деталей?

Р е ш е н и е.

Событие А={появление стандартной детали}. Всего деталей N=400, бракованных 25. Таким образом, стандартных деталей:

NA=400–25=375.

Используяформулу(3), найдемотносительную частотусобытияА:

W ( A) = N A = 375 = 15 . ♦ N 400 16

Статистической вероятностью события А называют

(эмпирический) предел P(A), к которому стремится частота W(A) события А при неограниченном увеличении числа N опытов.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

При решении задач по теории вероятностей часто используют некоторые формулы комбинаторики – раздела математики, изучающего комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества.

Пусть A1 , A2 ,..., Ak - элементы некоторого конечного

множества.

Правило суммы. Если элемент A1 может быть выбран n1 способами, элемент A2 - другими n2 способами и т.д., Ak - nk

9

П р и м е р 6. В ящике 10 деталей, из которых 5 – первого сорта, 3 – второго, а остальные – третьего сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали первого или второго сорта?

Р е ш е н и е.

Деталь первого сорта может быть извлечена n1 = 5 способами, второго сорта - n2 = 3 способами. По правилу суммы существует

всех элементов может быть осуществлен n1 × n2 ×...× nk способами.

П р и м е р 7. В группе 20 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Р е ш е н и е.

Старостой может быть выбран любой из 20 студентов, его заместителем – любой из оставшихся 19, а профоргом – любой из оставшихся 18 учащихся, значит, n1 = 20, n2 = 19, n3 = 18 . По

правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n1 × n2 × n3 = 20 ×19 ×18 = 6840 .♦

П р и м е р 8. В лифт на 1-м этаже семиэтажного дома зашли 3 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с 2-го по 7-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на четвертом этаже; б) на одном этаже; в) на разных этажах?

Р е ш е н и е.

а) Пусть событие А={все вышли на четвертом этаже}. Каждый пассажир мажет выйти со 2-го по 7-й этаж 6 способами. По

10

правилу произведения общее число способов выхода трех пассажиров из лифта равно: n = 6 ×6 × 6 = 63.

Так как все три пассажира могут выйти вместе на четвертом этаже одним способом, то число случаев, благоприятствующих событию А равно:

Таким образом, P( A) = m = 1 » 0, 0046. n 63

б) Пусть событие В={все вышли на одном этаже}. Событию В будут благоприятствовать m = 6 случаев (все пассажиры выйдут

в) Пусть событие С={все вышли на разных этажах}. Все три пассажира могут выйти на разных этажах таким образом: первый пассажир может выйти на любом из 6 этажей, т.е. 6 способами; второй пассажир уже может выйти на любом из 5 этажей (так как на каком-то одном уже вышел первый), т.е. 5 способами; третий пассажир может выйти на любом из оставшихся 4 этажей, т.е. 4 способами. По правилу

отличающиеся друг от друга порядком входящих в них элементов или их составом.

Число размещений вычисляется по формуле:

k coмножителей

Н а п р и м е р: A93 = 9 ×8 × 7 = 504.