1.1. Основные формулы по электричеству и магнетизму

Закон Кулона: ,

где F— сила взаимодействия двух точечных зарядовq₁, иq₂;r– расстояние между зарядами;— диэлектрическая проницаемость среды;(для вакуума  = 1); ₀— электрическая постоянная:

; .

Напряженность электрического поля в данной точке: E=F/q₀, где F — сила, действующая на точечный положительный зарядq₀, помещенный в данную точку поля.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q₀на расстоянииrот заряда: .

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R,несущей зарядq, на расстоянииrот центра сферы:

а) внутри сферы (r<R), E=0;

б) на поверхности сферы (r=R), ;

в) вне сферы (r>R), .

Принцип суперпозиции электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:=₁+₂+...+_n.

В случае двух электрических полей с напряженностями ₁и₂модуль вектора напряженности , где— угол между векторами₁и₂.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянииrот ее оси, , где — линейная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, , где— поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда σ (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине заряда: =W_П/q, или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:=A/q.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа A_в.свнешних сил равна по модулю работеA_с.псил поля и противоположна ей по знаку:A_в.с= – A_с.п.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q₀на расстоянииrот заряда: .

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусомR, на расстоянииrот центра сферы:

внутри сферы (r<R): ;

на поверхности сферы (r=R): ;

вне сферы (r>R): .

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах –диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов₁,₂, ... ,_n, создаваемых отдельными точечными зарядамиq₁,q₂, ...,q_n: .

Энергия Wвзаимодействия системы точечных зарядовq₁,q₂, ...,q_n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой: , где_i— потенциал поля, создаваемого всемиn–1 зарядами (за исключением 1-го) в точке, где расположен зарядq_i.

Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением:

= –grad.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой: , или в скалярной форме: , а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,E=(₁–₂,)/d, где₁и₂— потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;d —расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда qиз одной точки поля, имеющей потенциал₁, в другую, имеющую потенциал₂,A=q(₁—₂), или , гдеE_l —проекция вектора напряженностина направление перемещения;dl —перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид: A=qElcos, гдеl— перемещение;— угол между направлениями вектораи перемещения.

Электроемкость:

а) уединенного проводника

,

где – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника равен нулю);

б) плоского конденсатора

, или ,

где U– разность потенциалов пластин конденсатора;

S– площадь пластины (одной) конденсатора;

d– расстояние между пластинами;

в) уединенной проводящей сферы (шара) радиуса R

.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) при последовательном соединении

,

б) при параллельном соединении:

С = С₁ + С₂ + …….+ С_n ,

где n– число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного уединенного проводника

.

Энергия заряженного конденсатора

.

Объемная плотность энергии электрического поля

.

Сила тока:; для постоянного тока: , гдеdq,q– заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за времяdt, или t.

Плотность тока

,

где S– площадь поперечного сечения проводника, перпендикулярного току.

Связь плотности тока со средней скоростью направленного движения заряженных частиц

,

где q– заряд частицы;n– концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

а) для однородного участка цепи, не содержащего ЭДС

,

где – разность потенциалов (напряжение) на концах однородного участка цепи;R– сопротивление участка;

б) для участка цепи, содержащего ЭДС

,

где – ЭДС источника тока на данном участке;R– полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) для замкнутой (полной) цепи

,

где R– внешнее сопротивление цепи;

r– внутреннее сопротивление источника тока с ЭДС;

г) в дифференциальной форме

,

где j– плотность тока;

 – удельная проводимость;

Е– напряженность электрического поля.

Сопротивление Rи электрическая проводимостьоднородного проводника длинойlи площадью поперечного сеченияS:

; ,

где  – удельное сопротивление проводника;

–удельная электрическая проводимость проводника.

Сопротивление проводника с переменным сечением вычисляется путем интегрирования выражения

.

Общее сопротивление системы проводников:

а) – при последовательном соединении;

б) – при параллельном соединении,

где R_i– сопротивлениеi-го проводника.

Законы Кирхгофа:

а) первый закон: ,

где – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле;

б) второй закон: ,

где – алгебраическая сумма произведений силы тока на соответствующее сопротивление участка цепи;

–алгебраическая сумма ЭДС, входящих в рассматриваемый замкнутый контур.

Работа тока:

; ; .

Мощность тока: ; ; .

Закон Джоуля-Ленца (тепловое действие тока в проводнике сопротивлением Rза время прохождения токаt)

.

Полная мощность, выделяющаяся в замкнутой цепи

,

где – ЭДС источника тока.

Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током

, или ,

где – магнитная проницаемость изотропной среды;

₀– магнитная постоянная (₀= 410^-7Гн/м);

–радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукцияполя;

α– угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.

Магнитная индукция поля, созданного:

а) бесконечно длинным прямым проводником с током

,

где r₀– расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция;

б) в центре кругового витка с током:

,

где R– радиус витка;

в) отрезком проводника с током:

.

Обозначения ясны из рисунка.

П

I

I

r₀

ри симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. б):, тогда

а)

.

г) бесконечно длинным соленоидом на его оси (внутри соленоида)

,

где n– отношение числа витков соленоида к его длине.

Связь магнитной индукции с напряженностьюмагнитного поля

.

П

б)

а)

ринцип суперпозиции магнитных полей:

Сила, действующая на прямой провод с током в однородном магнитном поле, называется силой Ампера:

, или ,

где l– длина провода;

α– угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции.

Если поле неоднородно и провод не является прямым, то:

где – элемент провода с токомI.

Магнитный момент плоского контура с током I:

,

где – единичный вектор нормали к плоскости контура, направление которой определяется в соответствии с правилом буравчика;

S– площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

, или ,

где α– угол между векторамии.

Сила Лоренца

, или ,

где – скорость заряженной частицы;α– угол между векторамии.

Если заряженная частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение:

.

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

, или ,

где S– площадь контура;α– угол между нормальюк плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

,

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток)

.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу Nвитков.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)

.

ЭДС самоиндукции

.

Индуктивность контура

.

Индуктивность соленоида, имеющего Nвитков

, или ,

где – отношение числа витков соленоида к его длине;– объем соленоида.

Разность потенциалов на концах провода длиной l, движущегося со скоростьюв магнитном поле

,

где α- угол между векторамии.

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока ΔΦ, пронизывающего этот контур

, или ,

где R– сопротивление контура.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением Rи индуктивностьюL:

а) при замыкании цепи

,

где – сила тока в цепи приt = 0;

t– время, прошедшее после замыкания цепи.

б) при размыкании цепи

,

где t– время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля

.

Объемная плотность энергии магнитного поля

,

где B– магнитная индукция;

H– напряженность магнитного поля;

V– объем магнитного поля.