Тема 8. Визначення еквівалентності відсоткових ставок

Система еквівалентних ставок складається з таких елементів еквівалентності:

• простих ставок;

• простих і складних ставок;

• складних ставок;

• дискретних і неперервних ставок

Треба пам’ятати, що виведення формул еквівалентності ставок у всіх випадках базується на рівності взятих попарно відповідних множників наростання.

Формула простої ставки відсотків, що еквівалентна простій обліковій ставці, матиме такий вигляд:

.

Формула простої облікової ставки, що еквівалентна простій ставці відсотків, має такий вигляд .

Розглянемо формули еквівалентності для простих і складних ставок відсотків.

Зв’язок між еквівалентними ставками відсотків визначається за такими формулами:

Якщо еквівалентна простій ставці складна ставка нараховується m разів на рік, тоді:

Формули еквівалентності простої облікової ставки і ставки складних відсотків мають такий вигляд:

Якщо складні відсотки нараховуються m разів на рік, тоді при рівних часових базах нарахування відсотків формули еквівалентності будуть такими:

Еквівалентність складних відсоткових і складної облікової ставки:

Якщо відсоткові ставки змінюються з часом, то еквівалентна їм ставка являє собою середню ставку (і), яка дає за певний період такий самий дохід. Дану середню знайдемо на основі рівності відповідних множників наростання. Нехай за періоди n₁, n₂, ..., n_k нараховуються прості відсотки за ставками i₁, i₂, ..., i_k:

де

отримаємо еквівалентну ставку

Аналогічно для простих облікових ставок d₁, d₂, .., d_k знаходимо їх середню d₀:

Консолідуванням називається об’єднання кількох боргових зобов’язань в одне, а розмір об’єднаного платежу називається консолідованим платежем.

Нехай платежі S₁, S₂, ...., S_n зі строками відповідно n₁, n₂, ..., n_m об’єднуються в один у сумі S₀ i строком n₀.

Сума консолідованих платежів за умови, що n₀ > n₁, n₂, ...., n_m, для простої ставки відсотків становить

де t_j — часовий інтервал між строками n₀ i n_j, t_j = n₀ – n_j.

Для простої облікової ставки:

;

для складної ставки відсотків:

для складної облікової ставки:

У загальному випадку величину S₀ знаходимо як суму нарощених або дисконтованих платежів S_j:

де S_j — сума об’єднаних платежів зі строками n_j, n_j < n₀; S_k — сума платежів, які об’єднуються зі строками n_k, n_k > n₀. Відповідно t_j = n₀ – n_j; t_k = n_k – n₀.

Завдання 126-134.

126. Строк сплати за векселем 150 днів. Операція обліку принесла 30 % доходу. Визначити облікову ставку векселя.

127. Вексель ураховано за ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Строк сплати за векселем — через 200 днів. Визначити ефективність даної угоди.

128. Строк сплати за векселем 150 днів. Вексель урахований за ставкою 30 %. Визначити дохідність даної операції.

129. Визначити рівень простої відсоткової ставки зі строком 5 років, якщо кредит одержано під 20 % річних.

130. Кредит одержано під 10 % річних (складна ставка відсотків). Визначити рівень простої відсоткової ставки при строках: а) 5 років; б) 5 місяців.

131. Фінансові відносини сторін не змінюються і в договорі проставлена проста ставка відсотків 10 %. Визначити річну ставку складних відсотків. Строк договору 2 роки.

132. Строк погашення векселя настає через 100 днів. Вексель ураховується за ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Визначити ефективність даної угоди. Як показник ефективності взяти річну складну ставку відсотків.

133. За угодою була видана позичка в розмірі 1000 грн. Угода укладена на 4 роки. За перші 2 роки передбачалось нараховувати відсотки за ставкою 10 % річних (складні відсотки). У наступні 2 роки ставка відсотків зростала щорічно на 5 п. п. За угодою сторін було вирішено замінити всі відсоткові ставки однією, при цьому не змінивши фінансових відносин сторін. Визначити суму боргу в кінці дії контракту.

134. Дві сторони вирішили спростити фінансові відносини і домовилися консолідувати чотири зобов’язання в одне. Перше зобов’язання мало вигляд угоди про видачу позички в розмірі 1000 грн на 90 днів. Угода укладена 1 квітня за ставкою простих відсотків 10 % річних. Друге зобов’язання – 1000 грн. Це угода про кредит, яку укладено 1 січня на 2 роки за ставкою складних відсотків 12 % річних. Третє зобов’язання – вексель на 500 грн, наданий 1 травня строком на 2 місяці. Облікова ставка векселя – 10 % річних. Четверте зобов’язання – вексель на 50 грн, наданий 1 квітня строком до 15 травня за обліковою ставкою 10 % річних. Консолідування всіх зобов’язань проводиться 1 червня. Визначити суму нового зобов’язання, яке необхідно погасити 1 червня.