Лекція vі тема : елементи механiки суцiльних середовищ

ПЛАН

1. Тиск у рiдинах та газах.

2. Стацiонарна течiя рiдини. Рiвняння неперервностi.

3. Тиск текучої рiдини. Рiвняння Бернуллi.

4. Ламiнарний і турбулентний режими течiї.

Гiдроаеромеханiка  це роздiл механiки, який вивчає рiвновагу та рух рiдин i газiв, їх взаємодiю мiж собою й обтiкаючими ними тiлами.

1. При розглядi законiв цього роздiлу застосовується єдиний математичний пiдхiд до вивчення як рiдин, так i газiв, незважаючи на їх iндивiдуальнi особливостi.

Загальними характеристиками їх властивостей, якi дозволяють застосування єдиного математичного пiдходу, є плиннiсть (текучість)  рiдина та газ не зберiгають свою форму та приймають форму посудини, в якiй знаходяться.

Унаслідок цього:

Закон Паскаля: зовнішній тиск, що утворюється на рідину та газ, передається рівномірно по всіх напрямках об'єму.

Для подальшого розгляду введемо три обмеження на рідину і газ:

1. Рідина нестислива (=const для нерухомої рiдини, а також для окремих рухомих шарів рiдини за умови.

v_{руху рідини} v_{руху звуку}

2. Рiдина повинна бути iдеальна (F_t 0; сила тертя мiж шарами рiдини спрямовується до 0).

3. Рух рiдини  стацiонарний (швидкiсть постiйна у кожнiй точцi простору всiх часток, які послiдовно рухаються через неї).

Тиск  це фiзична величина, яка дорiвнює вiдношенню сили, дiючої нормально до поверхнi, до величини площi цiєї поверхнi.

(1)

h

S

(2)

- гiдоростатичний тиск.

Iз (2) впливає :

а) на однаковiй висотi тиск постiйний у нерухомiй рiдинi:

P = const при h = const;

б) тиск лiнiйно змiнюється зі змiною висоти

Закон Архiмеда: сила тиску на нижню частину будь- якого тiла, зануреного в рiдину, бiльша, нiж на верхню частину, що й зумовлює появу виштовхувальної cили.

2. Перейдемо вiд нерухомої рiдини до текучої (плинної). Введемо кілька необхiдних термiнiв.

Рух рiдини = "течiя".

Сукупнicть рухомих частинок = "потiк".

Графiчно рух рiдини зображається за допомогою лiнiй струму  лiнiй, у кожнiй точцi яких вектор v є вектором дотичної.

v

v

v

За густотою цих лiнiй судять про швидкiсть руху частинок рiдини.

Частина рiдини, обмежена лiнiями струму, називається трубкою струму.

Розглянемо трубку струму змiнного перерiзу:

S₁

S₂

v₁ v₂

Нехай за час dt через перерiз S₁ проходить об'єм рiдини S₁v₁dt; а через переріз S₂ проходить об'єм рiдини S₂v₂dt;а за одиницю часу відповідно S₁v₁ i S₂v₂.

Оскільки рiдина нестислива, то через рiзнi поперечнi перерiзи повинен проходити за одиницю часу один i той же об'єм рiдини, тому S₁v₁ = S₂v₂ = … = S_nv_n , або

(3)

-рiвняння неперервностi для нестисливої рідини.

Для нестисливої piдини, для даної трубки струму добуток швидкостi течiї рiдини на величину поперечного перерiзу трубки струму є сталим.

3. Застосуємо закон збереження механiчної енергiї до стацiонарної течiї iдеальної нестисливої рiдини.

Маємо трубку струму змiнного перерiзу:

S₁

S₁^' S₂

S₂^'

v₁ v₂

P₁ P₂

h₁ h ₂

Нехай для перерiзу

Тиск на входi в

Згiдно із законом збереження механiчної енергiї змiна повної енергiї iдеальної нестисливої рiдини дорiвнює роботi зовнiшних сил із перемiщення рiдини маси m:

(4)

Ми розглядаємо перемiщення рiдини за час dt на нескiнченно малий вiдрiзок l₁ (l₂); при цьому змiна поперечного перерiзу буде така :

, де

E₂ i E₁  повнi енергiї рiдини маси m у мiсцях з поперечним перерiзом S₁ i S₂.

Подiлимо лiву i праву частину на та врахуємо, що й одержимо:

або

(5)

- рiвняння Бернуллi.

Воно вiдображає закон збереження механiчної енергiї стосовно стацiонарної течiї iдеальної нестисливої рiдини.

динамічний тиск (динамічний напір);

гідростатичний тиск (гідростатичний напір);

Р  тиск (статичний напір).

Закон Бернуллi: повний напiр у рухомiй рiдині залишається сталим.

Якщо маємо горизонтальну трубку (h₁ = h₂), то

(5a)

Із (5) i (5а) випливає: при горизонтальному положеннi трубки змiнного перерiзу швидкість бiльше, а тиск менше у мiсцях звуження та навпаки. Ця властивість використовується у роботі водострумного насоса.

вода

повітря

повітря вода + повітря

4. Iснує 2 режими течiї рiдини у трубках:

1) ламiнарний - якщо у серединi потоку кожний шар просковзує вiдносно сусiднiх без перемiшування.

2) турбулентний - якщо в серединi потоку iснує перемiшування рiдини з iнтенсивним вихроутворенням.

Ламiнарна течiя спостерiгається при малих швидкостях течiї: шар рiдини, який лежить близько до поверхнi труби, взаємодiє за рахунок мiжмолекулярних сил із поверхнею труби, тому швидкість iнших шарiв прискорюється з вiддаленням вiд поверхнi труби, а профiль усередненої швидкості має вигляд параболи.

ламінарний турбулентний

вид течії вид течії

При турбулентнiй течiї виникають складовi швидкості, якi будуть перпендикулярнi напрямкам течiї. Перехiд частинок рiдини iз шару в шар буде спостерiгатись iнтенсивнiше, тому тут не буде параболи, а вихри будуть утворюватися біля стiнок поверхнi труби.

Математично ця вiдмінність описується безрозмiрним числом Рейнольдса, яке визначається фiзико-хiмічними властивостями рiдини та параметрами труби (R_е).

Якщо ,  ламiнарний;

Якщо , турбулентний;

Якщо ,  перехiд вiд ламiнарного режиму до турбулентного.