8.4. Локально-стохастичні методи просторової інтерполяції і геостатистичне моделювання

8.4.1.Принципи геостатистичного моделювання

У геостатистичному моделюванні передбачається, що властивості точок простору (або комірок растра, якщо йдетьсяпрорастровумодель просторових даних) – це просторова реалізація деякої випадкової величини. У більшості випадків приймається, що розподіл цієї випадкової величини підпорядковується нормальному закону розподілу. При цьому в основу просторового аналізу даних і побудови (моделювання) безперервних поверхонь на основі дискретних наборів емпіричних даних з використанням процедур локально-стохастичної інтерполяції, відомих під загальною назвою «кригінг» (або «крайгінг») (на честь південно-африканського гірничого інженера Д.Дж. Кріге (D.G.Krige), в геостатистиці прийнято уявлення прорегіоналізовану змінну.

Теорія регіоналізованої змінної (Burrough, McDonnel, 1998) припускає, що просторові зміни деякої змінноїz(x), деx – узагальнене позначення координат просторух,у, можуть бути виражені як сума трьох компонент (рис. 8.3): 1) структурної компоненти, яка має постійне значення або тренд (детермінована складова); 2) випадкової, але просторово корельованої компоненти, яка є місцевими відхиленнями змінної від тренда, що, власне, і називається «регіоналізованою змінною»; 3) просторово некорельованого випадкового шуму або залишкової похибки. Тоді значення випадкової змінноїzв точціxзадається виразом:

z(x) = m(x) + ’(x) + ’’, (8.5)

де m(x) – детермінована функція, що описує “структурований” компонентz вх(тренд); ’(x) – складова, що представляє локальні стохастичні, але просторово корельовані відхилення відm(x) – регіоналізована змінна, і’’- залишок, просторово незалежний гауссівський шум, що має нульове середнє і дисперсію².

У найпростішому випадку, коли тренд відсутній, m(x) рівняється середньому значенню в межах обстеженої площі, а середня або очікувана різниця між двома місцеположеннями х і х+h, розділеними відстанню h, буде дорівнювати нулю:

E[z(x) – z(x + h)]= 0, (8.6)

де z(x), z(x + h) – значення випадкової змінної z в точках х і х + h; E[] – математичне очікування змінної, яка стоїть в квадратних дужках. При цьому дисперсія різниці значень змінної в точках простору, розділених h, залежить тільки від відстані між цими точками, тобто

E[z(x) – z(x + h)] ² = E[{’(x) – ’(x + h)}] ² = 2(h), (8.7)

де (h) – величина, відома як напівдисперсія (або семіваріація).

Висновки, одержані в припущенні, що тренд відсутній, справедливі і для випадку, коли тренд є, але він виключений з використанням функції, що його описує. У зв’язку з цим перший крок геостатистичного аналізу – знаходження функції для опису трендової поверхні (m(x) = f(x)). Після того як детермінований ефект врахований, залишкова варіація є гомогенною і різниця між місцеположеннями є тільки функцією відстані між ними.

У тому випадку, якщо сформульовані вище умови щодо структурованого компонента змінної виконуються, напівдисперсія може бути визначена за вибірковими даними за виразом:

(8.8)

де n – кількість пар точок вимірювань значень змінної z, розділених відстанню h.

Графік залежності (h) від h, побудований з використанням вибіркових даних, в англомовній літературі відомий якекспериментальнаабовибіркова варіограма, або просто –варіограма. У вітчизняній науковій літературі цю залежність називаєтьсяструктурною функцією. Експериментальна варіограма – це перший крок на шляху кількісного опису регіоналізованих змінних. Варіограма дає корисну інформацію для інтерполяції, оптимізації мережі вимірювань (або пробовідбору), а також визначення моделі просторового розподілу.