
- •Комплексні числа. Алгебраїчна, геометрична, тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Функції із с в с. Границя, неперервність
- •Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня римана
- •Функція жуковського
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалудження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема коші
- •Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца
- •Формула коші. Принцип максимума модуля
- •Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •Критерій полюса
- •Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •Раціональні і міроморфні функції
- •Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •Основна теорема теорії лишків
- •Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Зразки розв'язування задач з теорії функцій комплексної змінної
- •Контрольні роботи Денна форма навчання. 4 курс, 8 семестр Контрольна робота №1
- •Контрольна робота №2
- •Контрольна робота з теорії функції комплексної змінної для студентів 4 курсу (заочна форма навчання)
- •Література
Теорема коші
Теорема Коші 1:
Нехай у однозв’язній області
задана однозначна аналітична функція
.
Тоді інтеграл від цієї функції
по будь-якому замкнутому контуру
,
який цілком лежить в області
,
дорівнює нулю, тобто
.
Теорема Коші 2:
Якщо функція
є аналітичною функцією у однозв’язній
області
,
обмеженої кусково-гладким контуромС,
та неперервна у замкнутій області
,
то
.
Наслідок:
нехай
є аналітичною функцією у багатозв’язній
області
,
обмеженої ззовні контуром
,
а з середини – контурами
та
неперервна у замкнутій області
.
Тоді
,
де С–
повна границя,
причому обхід границі Свиникає
у додатковому напрямку, тобто, область
при обході зліва.
При цьому (
обходяться у додатковому напрямку,
тобто проти часової стрілки).
Доведення: див. [1, с.41].
Наслідок.
В умовах теореми Коші для будь-якої
кусочно-гладкої кривої, яка з’єднує
точки
та
інтеграл від
не залежить від вибраного шляху.
Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца
Нехай функція
аналітична в областіD,
тоді розглянемо функцію
– інтеграл не залежить від шляху
інтегрування, який з’єднує точки zта
(в силу теореми Коші).
Теорема.
Нехай
визначена та неперервна у однозв’язній
області D,
а інтеграл від неї по будь-якому замкнутому
контуру
D
дорівнює нулю, тоді
(z,)є аналітичною функцією в D
та
.
Доведення: див. [1, с.44].
Помітимо, що для аналітичної
умови теореми виконані.
Зауваження:
в умовах теореми
–
первісна до функції
,
тоді в силу теореми не важко отримати
формулу типу Ньютона-Лейбніца.
У межах умов, вказаних у теремі справедлива формула
=
,
де
- довільна первісна функції
на областіD.
Приклад:
обчислити
Розв’язання.
Оскільки
–
аналітична на всій площиніz,
а
–
первісна, то
=
.
Вправи
Обчислити:
1)
,AB –
шлях, який з’єднує точки
;
2)
;
3)
- еліпс
;
4)
АВ
з’єднує точки 1, і;
5)
–
еліпс
;
6)
–
коло
;
7)
АВ –
з’єднує точки
;
8)
;
9)
;
10
,
.
Формула коші. Принцип максимума модуля
Теорема.
Нехай функція
– аналітична в однозв’язній областіD. Тоді
для будь-якої точки
і для будь-якого замкнутого кусково-гладкого
контуру
,
який цілком лежить в області
та містить точку
всередині себе, виконується рівність
,
де інтегрування виконується
у додатному напрямку замкнутого контуру
.
Доведення: див. [2, с.215], [1, с.46], [3, с. 169].
Наслідок:
нехай
- коло радіусу R
з центром
,
тоді використовуючи формули Коші можна
отримати теорему, яка уточнює відому
теорему Вейєрштрасса у випадку аналітичної
функції.
Теорема.(принцип
максимуму модуля аналітичної функції)
Нехай функція
,
тотожно не рівна постійній, є аналітичною
в областіD
і є неперервною в замкненій області
.
Тоді максимальне значення
досягається тільки на границі області
.
Доведення стор.220, 201[3], 49[1].
Крім цього, має місце теорема:
Нехай
аналітична в області
та неперервна в
.
Тоді у внутрішніх точках області
існує похідна
будь-якого порядку, причому має місце
наступна формула
,
де Г- границя області
.
Доведення див. [2, с. 222-223].
Приклад:
Знайти
,
.
Розв’язання:
Розглянемо функцію
,
тоді інтеграл
по формулі Коші (
знаходиться в середині контуру
) дорівнює
.
Вправи.
Обчислити