Логарифмічна функція. Точка розгалудження

Означення: функція, обернена до функції , називаєтьсялогарифмічною та позначається . Змінюючи позначення, можна записати.

З означення:

1) ;

2) крім того , тобто, значить,. Таким чином, кожномуzвідповідає нескінченно багато значень , тобто .

Функції називаються вітками багатозначної функції. Кожна вітка виконує конформне відображенняk–го листа поверхні Римана показникової функції на відповідну смугу комплексної площини, на якій визначена показникова функція.

Нехай С – замкнута крива в площині z, яка не містить всередині себе точки z=0, тоді якщо z пробігає криву С , опише замкнуту криву у площині.

Якщо замкнута крива С містить всередині себе точку z=0, то при обході точки z кривої С її аргумент міняється з на+та значить значення при обході z навколо кривої зміниться на , тобто від віткими перейдемо допри обходіz навколо точки z=0. Тоді z=0 називається точкою розгалуження. Такі самі дії можна провести і для точки z=.

Враховуючи взаємно-однозначність відображення віток та, те, щоотримали, то віткивиконують конформні відображення.

Приклад: знайти .

Розв’язання =:

Вправи

Знайти значення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) )

У що перетворюються при відображенні

6) ;

7) ;

8) ;

9) сектор ,;

10) спіраль .

Радикал. Загальна степенева функція

Функція – обернена по відношенню до функції. Функціяєn-значною функцією, при цьому функції називаються вітками вихідної функції. Кожна віткавиконує конформне відображенняk-го листа поверхні Римана функції на відповідний кут площини(див. властивості функції).

При цьому при обході точки z по замкнутій кривій, яка містить 0 її аргумент змінюється на , значить і змінить своє значення (при обходіz по кривій) з на, тобтоz=0 - точка розгалуження функції (аналогічно і z=).

Загальна степенева функція ,- визначається якбагатозначна функція, яка має звичайні властивості степеневої функції:

1) = ;

2) := ;

3) ()^b= ;

крім того, точка розгалуженняz=0, z=.

Обернені тригонометричні функції

- обернена до або. Розв’язуючи квадратне рівняння відносно, отримаємота- багатозначна функція з точками розгалуження.

Приклад. Знайти .

Розв’язання

=.

Вправи

Обчислити:

1) ;

2)

3) ;

4);

5)

Знайти, у що відображає вітки функції

6);

7) кут ;

8) сектор ;

9).

10) кут .

Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру

Нехай С-крива на площиніz, а функція визначена вздовж кривоїС. Розіб’ємо криву Сз довільними точками та виберемо на дузідовільні точки.

Сума – інтегральна сума для даного розбиття та вибраних точок, позначимо– максимальну довжину дуг,.

Означення: число називається інтегралом функціївздовж кривоїС, а функція називається інтегрованою вздовж кривої С, якщо для будь-якого існує таке, що для будь-якого розбиття кривої, параметр якоговиконується нерівністьнезалежно від вибраних точок.

Позначимо: .

Теорема: Нехай С-кусково-гладка крива, а – кусково-неперервна та обмежена, тоінтегрована уздовжС та

Доведенняцього факту можна знайти [1, с.39].

Крім того, оскільки інтеграл від комплексної функції виражається через звичайні криволінійні інтеграли, то всі властивості звичайного інтегралу виконуються у випадку інтегралу від комплексної функції:

1) ;

2) ;

3)

4) , де,L – довжина кривої С і т.д.

Приклад: обчислити , де C– дуга .

Розв’язання:

,

.

Вправи:

Обчислити

1. по півколу та ;

2. по півколу та ;

3. та ;

4. та ;

5. ,С– замкнений контур, який складається з верхнього півкола та відрізку.

Обчислити :

6. та ;

7. , ;

8. ;

9. С: радіус-вектор ;

10) С: початок шляху в точці z=1.