3. Рівняння Рікатті – Буля.

Означення. Рівняння виду y′+a(x) y+ b (х) у=f(x) називається рівнянням Рікатті – Буля.

Загальний розв’язок рівняння не важко знайти якщо відоме яке-небудь рішення рівняння. Дійсно, якщо - який-небудь розвязок рівняння, то розглянемо замінуy=+z, де z – невідома функція. Підставляючи у рівняння отримаємо , або,. Отже відносноz маємо рівняння Бернуллі .

4.Рівняння в повних диференціалах.

Означення. Рівняння називають рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції.

Необхідною і достатньою умовою (згідно з курсом математичного аналізу) для того щоб вираз був повним диференціалом у деякій області є неперервність функціїїх частинних похідних у цій області та виконання рівності.

Нехай рівняння в повних диференціалах, до його можна переписати у вигляді(), отжеF(x,y)=c – загальне рішення рівняння.

Якщо рівність не виконується то може так статись, що існує(інтегруючий множник) для якого рівнянняє рівнянням у повних диференціалах. Тодірозв’язок рівняння(що випливає з умови). Зауважимо, що якщо вираззалежить тільки від однієї змінноїх або у, то і можна шукати як таке,що залежить від тієї ж змінної:

(якщо залежить тільки відх ),

(якщо залежить тільки віду ).

Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Необхідні відомості: 1. Означення лінійного рівняння.

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

3. Рівняння Бернуллі.

4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Задачі.

1. y′ + 2xy=x

2. y′=

3. Точка масою, рівної m, рухається прямолінійно; на неї діє сила, пропорційна часу (коефіцієнт пропорційності дорівнює k), що пройшов від моменту, коли швидкість рівнялася нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорційне швидкості (коефіцієнт пропорційності дорівнює k). Знайти залежність від часу.

4. Знайти лінію, у якої початкова ордината будь-якої дотичної на дві одиниці масштабу менше абсциси точки торкання.

5.

6.

7.

8.

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальні рішення рівнянь.

1. 2ydx+(y- 6x)dy=0

2. (1+x) y′ - 2xy= (1+x)

3. y′+y=cos x

4. 2ydx+ (y- 6x) dy=0

5. y′=

6. x(y′ - y)=(1+x²)

Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам.

7. y′ - ytg x=sec x; y|=0

8. xy′ - =x; y|=0

9. t (1+t²) dx=(x+xt² - t²) dt; x|

10. xy′+y=0;

11. Знайти лінію, у якої площа прямокутника, побудованого на абсцисі будь-якої точки й початковій ординаті дотичної в цій точці, є величина постійна (=).

12. Знайти лінію, для якої площа трикутника, утвореного віссю абсцис, дотичної й радіус-вектором точки торкання, постійна (=).

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.