Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння

Необхідні відомості: 1. Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у загальному випадку.

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

3. Розв’язок лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами і спеціальною правою частиною.

Задачі.

Знайти загальний розв’язок рівнянь, застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

1.2.

Розв’язати задачу Коші.

3. ,рішення рівняння;

Знайти загальний розв’язок рівнянь з постійними коефіцієнтами.

4.

5.

6. Записати у вигляді степеневого ряду рішення рівняння ,.

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальне рішення.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку

1. Системи звичайних диференційних рівнянь

Розглянемо систему

Нехай загальне рішення системи. Щоб виділити з загального рішення розв'язок, який задовольняє початковим даним, треба знайтис_і з рівнянь .У випадку, коли виконані умови теореми існування і єдиності розв’язку, вказані рівняння розв’язувані відносно с_і та загальне рішення може бути записано у вигляді

(і=1,…,п)

Означення. Співвідношення називається інтегралом системи якщо функція φ відрізняється від постійної і при підстановці в неї будь якого розв’язкуу_і=ψ_і(х) (і=1,…,п) системи вона перетворюється в постійну.

Припустимо, що ми маємо декілька інтегралів системи ,і=1,…,k (k – число інтегралів). Якщо взяти довільну функцію F(φ₁,…,φ_к ), то вона перетвориться в const при підстановці замість у₁,…,у_п будь якого розв’язку системи, тобто ми отримаємо інтеграл системи

F(φ₁,…,φ_n)=c.

Нехай ми маємо п інтегралів і=1,…,п.Вони називаються незалежними, якщо ці рівності розв’язувані відносно п змінних (умовно у₁,…,у_п). Таким чином ми отримуємо загальній розв’язок системи.

Запишемо ситуацію в більш симетричному вигляді. Вихідну систему можна записати у вигляді пропорціонального ряду.

Помножимо всі рівності на пропорційний множник (у першому співвідношенні у знаменнику зникне 1) та змінюючи, для симетрії, позначення змінних на х_і будемо мати ,Х_і – функції від х₁,…,х_п+1

Якщо (і=1,…,п) система п незалежних інтегралів системи, то з них можна отримати загальний розв’язок системи, тобто розв’язати систему – значить знайти п незалежних інтегралів.

Приклад.

, , тобто

або ,у=с₁х.

або

, інтегруючи отримаємо

або (замінивши )

Ми отримали два незалежний інтеграла системи ,отже система розв’язана.

2. Лінійні рівняння з частинними похідними.

Розглянемо деякий клас рівнянь безпосередньо зв’язаний з системами звичайних диференційних рівнянь.

Припустимо, що дана система (*) таінтеграл системи.

Нехай х₁ незалежна зміна, а х₂,…,х_п+1 функції від х₁, що являються розв’язком системи. Підставляючи х₂,…,х_п+1 у ми отримаємоconst, звідки слідує, що її повна похідна по х₁ зведеться до нуля, тобто

або

Оскільки х_і (і=2,…,п+1) розв’язки системи (*) то dx_i пропорційні Х_і отже зробивши заміну dx_i на Х_і отримаємо для φ наступне рівняння

Функція φ(х₁,…,х_п+1) має задовольнити цьому рівнянню незалежно від того які розв’язки ми в неї підставимо. Але в силу довільних початкових умов в теоремі існування, значення змінних х₁,…,х_п+1 може бути будь яким (якщо ми беремо всі розв’язки системи (*)), тобто φ має задовольняти рівнянню (**) тотожно відносно х₁,…,х_п+1. Отримали теорему.

Теорема 1. Якщо φ(х₁,…,х_п+1)=с інтеграл системи (*), то φ(х₁,…,х_п+1) – розв’язок рівняння (**).

Теорема 2. Якщо φ який не будь розв’язок(**), то φ(х₁,…,х_п+1)=с – інтеграл системи (*).

Доведення. Підставимо в φ(х₁,…,х_п+1) будь який розв’язок системи (*) і візьмемо повний диференціал

Оскільки х_і (і=1,…,п) розв’язок системи (*) то (λ – коефіцієнт пропорційності). Тоді

(φ – розв’язок (**)).

Тобто dφ(х₁,…,х_п+1)=0. В нашому випадку φ(х₁,…,х_п+1) (після підстановки х₂,…,х_п+1) – залежить лише від х₁, але оскільки dφ=0, то похідна φ по х₁ дорівнює 0. Інакше кажучи, після підстановки у φ розв’язку системи (*) (х₂,…,х_п+1) функція φ не залежить від х₁ тобто являється const – отже φ(х₁,…,х_п+1)=с інтеграл системи (*).

Зауваження. Якщо φ_і(х₁,…,х_п+1)=с_і і=1,…,п,-п незалежних інтегралів системи (*), то довільна функція F(φ₁,…, φ _п) – розв’язок рівняння (**).

Це безпосередньо випливає з теореми 1 і властивостей інтегралів системи.

Можна показати, що при виконанні деяких умов будь який розв’язок рівняння (**) виражається формулою F(φ₁,…, φ _п), де F – довільна, а φ₁,…, φ _п незалежні інтеграли системи.

Таким чином ми отримаємо правило розв’язання рівняння (**).Щоб знайти загальний розв’язок рівняння з частинними похідними (**), треба скласти систему звичайних диференційних рівнянь (*) та знайти п незалежних інтегралів цієї системи. Загальний розв’язок рівняння (**) буде мати вигляд φ=F(φ₁,…, φ _п+1) де F довільна функція.

Приклад. .

Відповідна система

має незалежні інтеграли

.

Загальним розв’язком початкового рівняння є .

Знайдемо вид F такий, щоб поверхня проходила через прямуx=1 y=z.

З вище вказаних рівностей х=1, у=с₁, 1+2у²=с₂ ,

або ,

тобто .

або

шукана поверхня.