Раздел 1. Основные положения теории функций двух переменных

1.1. Основные определения.

Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией независимых переменных x, y в множестве D, если каждой паре переменных (x, y) их значений из D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Z.

Множество D — область определения функции, множество Z — область ее значений. Функциональная зависимость z от x, y обозначается так:

z = z(x, y); z = f(x, y). (1.1)

Возьмем в пространстве декартову систему координат с осями x, y, z. Если в каждой точке (x, y) множества D на плоскости xОy восстановить перпендикуляр к этой плоскости и отложить на нем значение z = f(x, y), получим пространственный график функции z = f(x, y) как геометрическое место построенных таким образом точек.

Пример 1. Задана функция двух переменных

z = x² + y², x  [0, 20], y  [0, 10].

Найти область определения функции, область ее значений, построить пространственный график.

Решение.

Множество D — область определения функции — квадрат на плоскости xОy, ограниченный прямыми линиями x = 0, x = 20, y = 0, y = 10.

Множество Z — область значений функции z  [0, 500].

Пространственный график функции — часть кругового параболоида, ограниченная плоскостями x = 0, x = 20, y = 0, y = 10.

Построение графика можно автоматизировать, воспользовавшись программой математических и технических расчетов Mathcad (см. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. — С. 269—270). Для этого вычисляются значения функции z = x² + y² на прямоугольной сетке с заданным шагом переменных x  [0, 20], y  [0, 10]. График будет представлять собой сетку на поверхности, ограниченной областью определения функции.

На рис. 1.1 представлен такой пространственный график, построенный по 200 точкам прямоугольной сетки. Шаг переменных составлял 1,0; количество узлов для переменной x — 20, количество узлов для переменной y — 10. В пояснении к рис. 1.1 дана программа построения графика в среде Mathcad Professional 7.0.

Рис. 1.1. Пространственный график функции z = x2 + y2 на прямоугольной сетке, построенный средствами программы Mathcad Professional 7.0

Линией уровня функции двух переменных x, y называется геометрическое место точек на плоскости xОy, в которых функция принимает одно и то же значение. Линия уровня функции z = f(x, y) определяется уравнением f(x, y) = С, где С = const.

Рассматривая семейство линий уровня двух переменных для различных значений С, можно исследовать характер изменения функции, найти координаты точек экстремума (приближенно). На рис. 1.2 приведены линии уровня функции из примера 1 z = x² + y², x  [0, 20], y  [0, 10], построенные также с помощью программы Mathcad Professional 7.0.

Рис. 1.2. Линии уровня функции z = x2 + y2, построенные средствами программы Mathcad 7.0

Из рис. 1.2 видно, что линии уровня функции z = x² + y² в области ее определения представляют собой дуги (четверти) окружностей, радиус которых по мере удаления от начала координат увеличивается от 0 до 500.

1.2. Дифференциальные характеристики функции двух переменных.

Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определенная в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению одной из переменных, например, х, при постоянстве другой переменной (в данном случае у = y₀)

(1.2)

при стремлении приращения x к нулю (x  0), то говорят, что функция f(x, y) имеет в точке (x₀, y₀) частную производную по переменнойх.

Соответственно, если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению у, при постоянстве х = х₀

(1.3)

при стремлении приращения у к нулю (у  0), то говорят, что функция f(x, y) имеет в точке (x₀, y₀) частную производную по переменнойу.

Смысл частных производных —скорость изменения функции при изменении одной из переменных при постоянстве другой.

Приращение дифференцируемой функции f(x, y) двух переменных x, y можно приближенно определить по формуле

. (1.4)

Если на плоскости задан единичный вектор

l = (cos , cos ), | l | = = 1, (1.5)

где cos  и cos  — направляющие косинусы, то скорость изменения дифференцируемой функции f(x, y) в направлении l характеризуется производной по направлению:

. (1.6)

Используя понятие скалярного произведения двух векторов, равенство (6) можно записать в следующем виде

(grad f, l), (1.7)

где grad f — вектор градиента функции с компонентами ().

Поскольку =| grad f | | l | cos , где  — угол между векторами grad f и l, то вектор grad f указывает направление скорейшего возрастания функции f(x, y).

Дифференцируя частную производную как функцию двух переменных по одной из них, получаем частные производные второго порядка:

, ,,. (1.8)

Если смешанные производные инепрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются производные более высоких порядков.

1.3. Формулы Тейлора и Маклорена. Линеаризация функции двух переменных.

Если функция двух переменных f(x, y) имеет в окрестности точки (x₀, y₀) непрерывные частные производные до (n+1) порядка, то для любой точки (x, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка:

f(x, y)  f(x₀, y₀) + . (1.9)

Выражение в правой части формулы Тейлора называется многочленом Тейлора n-го порядка. В достаточно малой окрестности точки (x₀, y₀) часто бывает достаточно ограничиться многочленом 2-го порядка (n=2), при этом формула (1.9) принимает вид:

f(x, y)  f(x₀, y₀) + +

+ . (1.10)

Первые три слагаемых этого выражения есть уравнение плоскости, касательной к поверхности z = z(x, y) в точке (x₀, y₀). Иначе говоря, первые три линейных члена выражения (1.10) есть линейное приближение функции двух переменных в окрестности точки (x₀, y₀). Включение в многочлен Тейлора также и трех других, квадратичных членов, дает квадратичное приближение функции двух переменных в окрестности точки (x₀, y₀). Чем ближе точка (x, y) к точке, вблизи которой получено “приближение” функции многочленом Тейлора, тем меньше ошибка аппроксимации линейным, а тем более квадратичным выражением.

Если в качестве начальной точки выбрано начало координат (0, 0), то формулы (1.9) и (1.10) принимают более простой вид и носят название соответственно формулы и многочлена Маклорена:

f(x, y)  f(0, 0) + ; (1.11)

f(x, y)  f(0, 0) + +. (1.12)

Формула (1.10) лежит в основе вывода правил нахождения точек максимума или минимума функций двух переменных (локального экстремума).

1.4. Локальный экстремум.

Обозначим через f(x₀, y₀) = f(x, y)  f(x₀, y₀) приращение функции f(x, y) в точке (x₀, y₀). Если эта точка — точка локального минимума функции, то существует -окрестность, в которой f(x₀, y₀)>0, и наоборот, если эта точка — точка локального максимума функции, то существует -окрестность, в которой f(x₀, y₀)<0.

Сформулируем необходимое и достаточное условие экстремума. Из формулы Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка, имеем:

f(x₀, y₀)  , (1.13)

откуда следует, что скорость изменения функции f(x, y) близка к нулю, если главная линейная часть ее приращения в точке экстремума (минимума или максимума) равна нулю, т.е. если выполнено необходимое условие экстремума.

Отсюда необходимое условие экстремума

f(x₀, y₀)  = 0 (1.14)

сводится к равенству нулю частных производных:

= 0, = 0. (1.15)

Точки, в которых выполняются условия (1.15), называются стационарными точками. Для таких точек (x_ст, y_ст) приращение функции f(x_ст, y_ст) согласно (1.10) имеет вид:

f(x_ст, y_ст)  . (1.16)

Обозначим А = ,В=, С = .Из теории квадратичных форм следует, что достаточным условием экстремума является неравенство

AC  B² > 0, (1.17)

причем если А > 0 (С > 0), то в точке (x_ст, y_ст) наблюдается минимум, а если А < 0 (С < 0) — максимум. Если же AC  B² < 0, то в точке (x_ст, y_ст) экстремума нет.

Пример 2. Найти экстремум функции двух переменных

z = x² + y², x  [20, 20], y  [10, 10].

Решение.

Необходимое условие экстремума = 2х = 0, = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (х_ст, у_ст) = (0, 0).

Вторые производные А = = 2; В== 0; С = = 2. Так как AC  B² = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.