1.2. Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий является приемом решения задач выбора решения в условиях неопределенности, когда критерии выбора не могут быть измерены в количественной форме. В данном методе экспертам предлагается решать отдельные задачи попарного сравнения критериев и альтернатив. Прямое назначение метода – совместная работа группы экспертов, объединенных единой целью, по согласованию мнений, зачастую противоречивых, по определенной проблеме. Метод анализа иерархий позволяет группе экспертов взаимодействовать по обсуждаемой проблеме, модифицировать свои суждения и в результате объединять групповые суждения рациональным образом. Это – так называемое условие консенсуса. В последнее время, однако, от условия консенсуса отходят, предпочитая ему относительно свободное выражение мнений экспертов в группе с последующей разработкой группового решения.

Результатами МАИ являются:

- установление иерархии целей, факторов, критериев, акторов (действующих сил), альтернатив и сценариев по обсуждаемой проблеме,

- выявление приоритетов элементов каждого уровня иерархии.

МАИ основан на следующих основных положениях:

1. любая сложная проблема может быть подвергнута декомпозиции;

2. результат декомпозиции можно представить в виде иерархической системы наслаиваемых уровней, каждый из которых состоит из многих элементов (факторов);

3. качественные сравнения экспертов попарной значимости элементов на любом уровне иерархии (субъективные суждения) могут быть преобразованы в количественные соотношения между ними, при этом они будут отражать объективную реальность;

4. возможен синтез отношений между различными элементами и уровнями иерархии.

В математическом плане МАИ основан на теории иерархических структур, теории обратносимметричных матриц и иерархического синтеза результатов, при этом справедливы следующие положения:

1. Обратная симметричность как основная характеристика парных сравнений. Для матрицы парных сравнений А=(а_ij) интенсивность предпочтения а_i над а_j обратна интенсивности предпочтения а_j над а_i.

2. Гомогенность сравниваемых элементов данного уровня иерархии.

3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.

Поскольку количество сравниваемых элементов, как правило, не превышает семи (психологический предел 7±2 элементов-объектов при одновременном сравнении), результатом суждений по каждому отдельному уровню иерархии является квадратная неотрицательная обратносимметричная матрица, диагональные элементы-числа которой равны единице, а остальные элементы подчинены равенству а_ij=1/а_ji.

Используемая в МАИ девятибалльная шкала отношений (шкала Т. Саати) представлена в табл. 1.

Таблица 1

Девятибалльная шкала отношений Т. Саати

Степень важности	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одному действию перед другим (слабая значимость)	Опыт и суждение дают легкое предпочтение одного действия перед другим
5	Существенная или сильная значимость	Опыт и суждение дают сильное предпочтение одному действию перед другим
7	Очень сильная или очевидная значимость	Предпочтение одного действия перед другим очень сильно. Его превосходство практически явно
9	Абсолютная значимость	Свидетельство в пользу одного действия другому в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между соседними значениями шкалы	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных чисел	Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из приведенных выше чисел, то действию j при сравнении с i приписывается обратное значение	Обоснованное предположение

Вычислительные аспекты метода связаны с операциями над матрицами парных сравнений (суждений экспертов). В результате математических операций над каждой из матриц суждений могут быть вычислены приоритеты сравниваемых элементов-объектов данного уровня иерархии и степень согласованности суждений. Суммарные (общие) приоритеты нижних элементов-объектов могут быть найдены в результате выполнения арифметических действий (умножения) над соответствующими матрицами суждений для каждого элемента-объекта вышестоящих уровней. По аналогичным правилам, только над матрицами-столбцами, составленными из числовых мер согласованности для отдельных матриц суждений (также для каждого из вышестоящих элементов-объектов), вычисляется мера согласованности иерархии в целом. Все эти операции выполняются автоматически в экспертно-аналитической системе Expert Decide, поддерживающей алгоритмы метода анализа иерархий.

Стараясь преодолеть сложность и упростить реальные задачи, при принятии решений чаще всего применяются простейшие иерархические структуры, состоящие из цели, критериев и альтернатив. Однако решения, полученные на такой простой трехуровневой иерархии, могут отличаться от решений, полученных на более сложной иерархии. Экспертно-аналитическая система Expert Decide предназначена для решения задач с трехуровневыми иерархиями, поэтому для синтеза приоритетов в случае, если число уровней иерархии превышает 3, необходимо дополнительно использовать пакет математических программ MathCAD, в котором выполняются соответствующие операции с матрицами.

Любое решение имеет достоинства и недостатки, которые необходимо тщательно проанализировать, совершая выбор. Некоторые из них отражают вполне определенные аспекты проблемы, другие являются менее ясными и могут иметь место с некоторой вероятностью. Благоприятные аспекты решения, ожидаемые с высокой вероятностью, являются выгодами (Benefits), в то время как неблагоприятные – издержками (Opportunities). Важной возможностью МАИ является возможность создания отдельных иерархий для выгод (позитивных последствий альтернатив) и издержек (негативных последствий альтернатив), с одинаковыми наборами альтернатив на нижнем уровне. Так можно получить векторы приоритетов альтернатив по выгодам и издержкам. Обобщенный вектор приоритетов, учитывающий и выгоды, и издержки, получается делением приоритета выгод на приоритет издержек для каждой альтернативы. Наиболее предпочтительный вариант характеризуется максимальным значением этого отношения. Отношение Выгоды/Издержки (B/O) оказывается весьма полезным в задачах распределения ресурсов.

Сомнительные аспекты решения также могут быть положительными и отрицательными. Положительные аспекты – это возможности (Costs), которые решение могло бы создать, а отрицательные аспекты – риски (Risks), которые может повлечь за собой рассматриваемое решение. Каждый из этих четырех аспектов может быть представлен отдельной структурой принятия решения, начиная от управляющей иерархии выгод с подчиненной сетью взаимозависимых компонентов, связанных с управляющими критериями для выгод, и заканчивая соответствующей структурой рисков.

Совместное применение всех четырех аспектов в анализе решений обозначается аббревиатурой BOCR (Benefits – Opportunities – Costs – Risks), в которой на первых местах расположены положительные аспекты (выгоды и возможности), а затем отрицательные (издержки и риски). Каждый из этих аспектов вносит вклад в качество решения и должен рассматриваться отдельно с использованием набора (упорядоченных по приоритетам) критериев, которые могут применяться для анализа любых других решений. Эти аспекты решения называют качествами, а критерии, по которым они оцениваются, – критериями качества. Примерами критериев качества являются следующие: удовлетворение требованиям, удобство, гармония, согласие, общественное достояние, прогресс, богатство, мощность, эффективность и т.д.

Критерии необходимо упорядочить по приоритетам для применения в конкретных задачах принятия решений. Затем следует упорядочить рассматриваемые альтернативы для каждой из структур BOCR и синтезировать обобщенный результат по формуле:

BOCR = Benefits*Opportunities = Выгоды*Возможности Costs* Risks Издержки*Риски

Тем самым будет учтено не только настоящее (выгоды и издержки), но и будущее (возможности и риски).

Особо отметим, что, сравнивая по критериям издержек и рисков, нужно спрашивать, какая из альтернатив является более дорогостоящей или более опасной (а не менее дорогостоящей или менее опасной), потому что при парных сравнениях оценивается, во сколько раз доминирующий элемент пары превосходит менее предпочтительный относительно рассматриваемого свойства. Приоритеты альтернатив по издержкам и рискам вычисляются как обратные величины значений, полученных путем традиционной обработки иерархий издержек и рисков. Такой подход согласуется с использованием фактических измерений (например, в долларах) по нескольким критериям с последующей инверсией заключительного результата.

Многообразие математических задач, сопутствующих реализации метода анализа иерархий, сводится к следующему:

- вычисление главного собственного вектора матрицы парного сравнения и его нормализация с целью определения векторов приоритетов;

- вычисление максимального собственного числа матрицы парного сравнения с целью определения согласованности данных;

- иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев с целью вычисления суммарного вектора приоритетов;

- выявление элементов матрицы парных сравнений, обусловливающих ее несогласованность, и корректировка матрицы суждений;

- вычисление усредненного вектора приоритетов с целью определения согласованного мнения экспертов.

Все вышеуказанные функции реализованы в системе поддержки принятия решений Expert Decide, версии 2.0 и 2.2. Основные функции, а также приемы работы в данной системе описаны в Руководстве пользователя.

Иерархический синтез в случае моделей, содержащих более трех уровней, следует проводить с помощью математического пакета MathCAD, используя достаточно простые матричные вычисления.