Лекции - мат.методы в геофизике

корень на интервале 0 < r < 1. Иными словами, скорость с подчиняется неравенству c < cs, и это означает, что поверхностная волна, описываемая уравнениями (11.1) действительно может существовать в однородном полупространстве со свободной поверхностью. Эта волна представляет собой комбинацию двух неоднородных плоских волн (продольной и поперечной), распространяющихся вдоль свободной поверхности с одинаковой скоростью c, которая не зависит от частоты. Волна этого типа была теоретически описана Релеем и носит его имя. В общем случае корни уравнения (11.13) можно найти аналитически с помощью формулы Кардано, описывающей решения алгебраического уравнения третьей степени. Полезно также рассмотреть два частных случая, в которых корни уравнения находятся довольно просто.

Случай 1. Предположим, что среда несжимаема, т.е. деформации в среде отсутствуют. Тогда скорость продольных волн cl стремится к бесконечности, и вместо (11.13) можно записать

У этого кубического уравнения только один действительный корень: r = 0, 91275. Следовательно, скорость поверхностной волны приближенно равна

Два других корня уравнения (11.14) являются комплексными и не вносят вклада в поверхностную волну. √

Случай 2. Предположим далее, что λ = µ, т.е. cl = 3cs. Соответственно, урав-

Корни этого уравнения

√√

r = 4, r = 2 + 2/ 3, r = 2 − 2/ 3.

В отличие от последнего корня r3 ≈ 0, 8453, первые два не удовлетворяют условию c < cs, и в случае r3 имеем, что c ≈ 0, 9194cs. Таким образом, если λ = µ, волна Релея распространяется немного медленнее поперечной волны и почти в 2 раза медленнее продольной: c ≈ 0, 5309cl.

11.1.1Поле смещений в волне Релея.

Чтобы проиллюстрировать распределение горизонтальной и вертикальной компонент смещения, предположим, как и в случае 2, что λ = µ. Тогда

c2/c2s = 0, 8453, c2s/c2l = 1/3

142

Между этими компонентами существует фазовый сдвиг π/2 и они различаются по амплитуде. На свободной поверхности вертикальная компонента w почти в полтора раза превосходит горизонтальную. Заметим, что на глубине z ≈ 0, 92Λ, где Λ = 2π/k

– длина волны, горизонтальная компонента обращается в нуль. Ниже этой точки она меняет свой знак. Экспоненциальное затухание в формулах (11.1) прямо пропорционально частоте и, следовательно, высокочастотные колебания затухают с глубиной z быстрее. И наоборот, чем ниже частота волны Релея, тем глубже она проникает в среду. Здесь полезно заметить следующее:

1.В отличие от неоднородных волн, волна Релея может существовать сама по себе, при этом она распространяется со скоростью c, которая меньше скорости поперечных волн.

2.В дальнейшем будет показано, что реальный источник возбуждает неплоскую волну Релея, имеющую те же свойства, что и плоская волна. Иными словами, ее скорость с по-прежнему определяется уравнением (11.13), волновые потенциалы экспоненциально затухают с глубиной, а частицы движутся по эллипсам (что вытекает из (11.19)).

3.Два других корня уравнения (11.13) соответствуют разным волновым полям, которые также подчиняются уравнениям Гельмгольца и граничным условиям на свободной поверхности, однако не описывают движение поверхностной волны.

143

Зададим теперь еще на два вопроса. Может ли волна Релея существовать в однородном полупространстве с идеально жесткой границей? Чтобы найти ответ на этот вопрос, вернемся к уравнениям (11.1) и рассмотрим следующие граничные условия:

Подстановка (11.1) в (11.20) дает

Исключая постоянные A и B, получим

√√

Очевидно, что корни уравнения (11.21) не удовлетворяют условию c < cs и, следовательно, поверхностная волна в данном случае не существует.

Может ли в однородном полупространстве со свободной границей существовать поверхностная волна SH? Теперь покажем, что на свободной границе описанной выше среды не может существовать поверхностная волна SH. По определению, комплексная амплитуда x-компоненты векторного потенциала равна

может.

11.2Волна Стонли.

Мы показали, что поверхностная волна Релея может распространяться вдоль свободной границы однородного полупространства, однако она отсутствует, если эта граница абсолютно жесткая. Рассмотрим теперь более общий случай и покажем, что при

144

определенных условиях вдоль внутренней границы между двумя упругими средами или границы между жидкой и упругой средой может распространяться граничная волна, свойства которой очень похожи на свойства волны Релея. Такую волну обычно называют волной Стонли.

11.2.1Граница между жидким и упругим полупространством.

Предположим, что существует волна, которая распространяется вдоль такой границы (то есть ее фронт перпендикулярен оси x), причем амплитуда этой волны экспоненциально затухает с увеличением расстояния до границы |z|. Как и в случае волны Релея, это происходит благодаря деструктивной интерференции возникающих на границе элементарных волн. Поскольку в жидкой среде поперечные волны отсутствуют, y-компонента смещения v равна нулю, и выражения для комплексной амплитуды потенциалов принимают вид

где c - скорость распространения граничной волны. Очевидно, что экспоненциальное затухание потенциалов в обоих направлениях от границы наблюдается только в том случае, если скорость c удовлетворяет неравенству

˜

Заметим, что в силу выражений (11.25) функции φ˜1, φ˜2, ψ2 являются решениями соответствующих уравнений Гельмгольца. Применяя тот же подход, который использовался при изучении волн Релея, найдем значения c, удовлетворяющие условию (11.26). Для этого воспользуемся известными граничными условиями. На границе между жидкой и упругой средой касательные напряжения обращаются в нуль, а нормальные компоненты напряжений и смещений являются непрерывными функциями:

Поскольку компонента v равна нулю и все поля не зависят от координаты y, сдвиговая компонента напряжений во второй среде, τyz также равна нулю:

145

Уравнения (11.28), записанные для комплексных амплитуд потенциалов, принимают вид

где все вычислено в точке z = 0. Подстановка (11.24) в (11.30) дает однородную систему уравнений относительно A1, A2, и B2:

2ik2b2lA2 − k2B2 − k2b22sB2 = 0, −λ1k12A1 = −λ2k22lA2 + 2µ2k2(b22lA2 + ib2sB2),

−kA1b1 = kb2lA2 + ikB2.

(11.31)

Принимая во внимание формулы (11.25) и равенства

µ2 = ρ2c22s, λ2 + 2µ2 = ρ2c22l, λ1 = ρ1c21

вместо (11.31) получим

Как и в случае волны Релея, волна, распространяющаяся вдоль внутренней границы, может существовать при условии, что система (11.32) имеет ненулевое решение. Это означает, что детерминант системы (11.32) должен равняться нулю:

Здесь ρ1 и ρ2 – плотности жидкой и упругой среды соответственно. Таким образом, мы получили алгебраическое уравнение для скорости волн Стонли, которое можно

записать в виде

(ρ1 b2l + b1)r4 − 4b1r2 − 4b1(b2lb2s − 1) = 0. (11.34) ρ2

Здесь r = c/c2s. Полагая ρ1 = 0, мы снова получаем уравнение, определяющее скорость волн Релея. Численный анализ уравнения (11.34) показывает, что для любого набора параметров c1/c2s, c2l/c2s и ρ2/ρ1 имеется действительный корень, который удовлетворяет неравенству (11.26) и не зависит от частоты. Иными словами, вдоль

146

Вычисляя детерминант, получаем уравнение, из которого можно определить скорость волны Стонли:

()

где r = c/c2s. Полагая ρ1 = 0, мы снова получим уравнение для волн Релея. Действительно, уравнение (11.39) в этом случае записывается как

Предположим далее, что верхнее полупространство является жидким. Тогда, c1s = 0 и b1s → ∞, и уравнение (11.39) преобразуется к следующему виду:

что совпадает с уравнением (11.34). Можно показать, что решение уравнения (11.39) удовлетворяет условию c < min(c1l, c2s), если скорости поперечных волн c1s и c2s различаются на небольшую величину. Если это не так, то волна Стоили не существует. Оказывается, что значение скорости этой волны лежит между значениями скоростей волны Релея и поперечной волны в той среде, которая имеет большую плотность. Важно отметить, что скорость волны Стонли, так же как и скорость волны Релея, не зависит от частоты.

11.2.3Может ли существовать граничная волна SH?

Мы покажем, что на границе двух упругих сред не может существовать граничная волна SH. Поскольку компоненты u и w равны нулю, а компонента v может зависеть только от координат x и z, для x-компоненты потенциала справедливы следующие выражения:

Граничные условия записываются как

148

или

Подстановка (11.41) в (11.43) дает

Поскольку детерминант этой системы отличен от нуля, то C1 = C2 = 0 и, следовательно, граничная волна SH в этом случае не существует.

11.3Волны Лява.

Приступим теперь к изучению простейших интерференционных волн, которые называют волнами Лява, в честь физика, доказавшего их существование. Чтобы объяснить, как интерференция элементарных плоских объемных волн приводит к появлению поверхностной волны этого типа, рассмотрим распространение плоской интерференционной волны SH вдоль оси x в среде, состоящей из двух слоев со свободной границей: c1s < c2s. Плоскость z = −H отвечает свободной границе, затем вначале идет среда 1 а затем среда 2, граница между которыми плоскость z = 0 (ось OZ направлена вниз). Будем полагать, что волна экспоненциально затухает с глубиной z. Движение частиц характеризуется линейной поляризацией, поскольку смещение имеет единственную компоненту v. Чтобы понять природу возникновения такой поверхностной волны, представим себе элементарную плоскую волну SH, которая распространяется в слое вниз при условии c1s < c2s. На поверхности z = 0 эта волна возбуждает две волны SH: отраженную и проходящую. Согласно закону Снеллиуса, критический угол определяется из уравнения

Если угол падения γi < γc, обе волны SH, отраженная и проходящая, являются однородными. Амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей, поскольку часть энергии последней передается в подстилающее полупространство. Отраженная волна распространяется вверх, а затем отражается вниз от свободной поверхности без потери энергии. Соответственно, при z = 0 снова наблюдается отражение волны и т.д. Таким образом, возникают две системы плоских SH-волн, распространяющихся либо вниз, либо вверх с одинаковой кажущейся скоростью относительно свободной поверхности. Поскольку после каждого отражения амплитуды этих волн уменьшаются, они быстро затухают с расстоянием вдоль оси x. Ситуация коренным образом изменяется, когда угол падения становится больше критического: γi > γc. В этом случае однородная проходящая волна отсутствует, и наблюдается полное внутреннее отражение. Соответственно, амплитуды падающей и отраженной волн на обеих

149

границах равны друг другу, а упругая энергия внутри слоя остается неизменной. Однако этот факт, сам по себе, еще не гарантирует существование волны, распространяющейся внутри слоя без затухания. Как уже было отмечено, волновое поле представляет собой суперпозицию двух систем однородных плоских волн, фронты которых образуют один и тот же угол с границами. Если интерференция между этими системами волн является конструктивной, результирующая (интерференционная) волна распространяется вдоль слоя без затухания. Если же наблюдается деструктивная интерференция, то волна очень быстро затухает с расстоянием и, в конце концов, исчезает.

11.3.1Условие конструктивной интерференции и дисперсионное уравнение.

Поскольку мы положили γi > γc, распространение интерференционной волны внутри слоя сопровождается появлением в подстилающем полупространстве (z > 0) неоднородной волны, которая экспоненциально затухает с глубиной. Волновые поля внутри и вне слоя образуют единую волну, которая распространяется вдоль оси x. Скорость этой волны легко оценить

Здесь γi (γc ≤ γi ≤ π/2) - угол падения плоской однородной волны. Соответственно, скорость c лежит в пределах

Волновое поле внутри и вне слоя называют волной Лява, причем c является скоростью этой волны. Это еще один пример поверхностной волны, распространяющейся в горизонтальном направлении. Однако, в отличие от волн Релея и Стонли, необходимым условием существования волн Лява является наличие слоя конечной толщины, в котором должна происходить конструктивная интерференция. Соответственно, если толщина слоя стремится к нулю, волны Лява исчезают. То же самое справедливо и когда толщина слоя увеличивается до бесконечности, поскольку в этом случае отсутствует система восходящих волн. Кроме того, очевидно, что если скорость в полупространстве меньше скорости в слое (c1s > c2s, то всегда существует проходящая однородная волна, и волна Лява существовать не может. По аналогии с акустическими волнами представляется полезным продемонстрировать, что конструктивная интерференция возникает при определенном наборе частот. Рассмотрим фазовую поверхность N нисходящей волны. Как было показано ранее, в результате действия волны N появляются нисходящие и восходящие отраженные волны. Если частоты таковы, что разность фаз между падающей и дважды отраженной волной равна 2π, их

150