Лекции - мат.методы в геофизике

Выбор ветви корня будет указан ниже.

В силу леммы 1 существуют окрестность U точки z0, функция ψ(ω) и ρ > 0 такие, что при |ω| < ρ S(ψ(ω)) = S(z0) − ω22 , функция z = ψ(ω) голоморфна в круге V : |ω| < ρ и взаимно однозначно отображает этот круг на U. При этом ψ(0) = z0, ψ′(0) = (−S′′(z0))−1/2, где ветвь корня будет указана ниже. Положим γ0 = γ ∩ U; интеграл по оставшейся части экспоненциально мал по сравнению с |eλS(z0)|. После замены переменной γ0 перейдет в кривую γ0 которая проходит через точку ω = 0 и через секторы S1 : | arg ω −π| < π/4 и S2 : | arg ω| < π/4, в которых Re ω2 > 0. Пусть ωj Sj (j = 1, 2) – концы γ0 . После замены интеграл F (λ) по γ0 будет иметь вид

По теореме Коши интеграл равен интегралу по контуру γ1 , состоящему из отрезка Iρ = [−ρ, ρ] и дуг γj окружности |ω| = ρ; здесь γj Sj и γ1 соединяет точки −ρ, ω1, а γ2 - точки ρ, и ω2. Так как Re ω2 > c0 > 0 на γj, j = 1, 2, то интегралы по этим дугам экспоненциально малы по сравнению с eλS(z0), так что функция F (λ) с точностью до экспоненциально малого слагаемого равна интегралу

∫ρ ∫ρ

F (λ) = ±eλS(z0) f(ψ(t))ψ′(t)e−λt2/2 dt = eλS(z0) (f(ψ(t))ψ′(t)+f(ψ(−t))ψ′(−t))e−λt2/2 dt

(7.6) где знак зависит от ориентации γ. Применяя лемму Ватсона к последнему интегралу, получаем (7.3). Главный член асимптотики имеет вид

√

и силу построения получим (7.4). Выбор ветви корня в (7.4) следующий: величина

√

arg −S′′(z0) выбирается в зависимости от направления интегрирования на γ таким образом, чтобы была справедлива формула (7.7).

Замечание 1. При доказательстве теоремы 2 мы заменили контур γ в окрестности точки перевала контуром, идущим по линии наискорейшего спуска. Однако, нет необходимости каждый раз заново проделывать эту процедуру.

Замечание 2. Коэффициенты ck разложения (7.3) определяются следующим образом. Разложим функцию f(ψ(ω))ψ′(ω) в ряд Тейлора. Имеем,

∑∞

f(ψ(ω))ψ′(ω) = bkωk.

k=0

61

Тогда

ck = 2k+1/2Γ(k + 1/2)b2k

Теорема 3. Пусть max Re S(z) достигается только в начальной точке z0 контура γ, которая является точкой перевала порядка n−1, и функция f(z) голоморфна в точке z0. Тогда при λ → ∞

Это разложение можно дифференцировать любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид

в котором ψ(ω) – функция, построенная по лемме 1 и нормированная условиями

√

Формула (7.9) справедлива при подходящем выборе arg n −S(n)(z0) (т.е. выборе ветви корня) и этот выбор зависит от направления интегрирования на γ.

Доказательство проводится по той же схеме, что и в предыдущем случае: делается замена переменной z = ψ(ω) и к полученному интегралу применяется метод Лапласа.

До сих пор мы рассматривали случай, когда max Re S(z) достигается только в одной точке контура γ.

Теорема 4. Пусть у - конечный контур, функции f(z) и S(z) голоморфны в окрестности контура γ. Пусть среди точек, в которых достигается max Re S(z), имеются точки z1, z2, . . . , zk, которые являются концами контура или точками перевала. Тогда при λ → ∞ интеграл F (λ) асимптотически равен сумме вкладов от точек z1, z2, . . . , zk.

Понятие вклада будет введено ниже, Доказательство. Покажем, что существует контур γ , эквивалентный контуру

γ и такой, что max Re S(z) = M достигается только в точках z1, z2, . . . , zk. Тогда по

лемме 5

∑k ∫

где c > 0, a γj - малые дуги контура γ , содержащие точки zj. Интеграл по дуге γj и назовем вкладом от точка zj, в асимптотику интеграла F (λ). Эти вклады вычисляются с помощью теорем 1-3. Пусть S1 - один из секторов с вершиной в точке zj, в котором Re S(z) < M и через который проходит контур γ. Далее идея доказательства состоит в том, что мы заменяем дугу γj на эквивалентную дугу на которой Re S(z) < M всюду за исключением может быть самой точки zj.

8Специальные функции

8.1Функции Бесселя.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Бесселя. Одно из решений этого уравнения записывается в виде ряда

и называется функцией Бесселя первого рода, ν – порядок бесселевой функции. Обычно, при дробном ν ветвь степени определяется как главная ветвь аналитическая в плоскости с разрезом по отрицательной части мнимой оси. Точка 0 является точкой ветвления. Функция J−ν также решение уравнения (8.1) и если ν нецелое, то эти две функции линейно независимы. Если ν целое то Jn = (−1)nJ−n. Линейные комбинации

также решения уравнения (8.1). Функции Yν называются функциями Бесселя второго рода или функциями Неймана. Функции Hν1, Hν2 называются функциями Бесселя третьего рода или функциями Ханкеля (первой и второй). Из определения вытекает, что

63

В приложениях также встречаются и модифицированные функции Бесселя, которые являются решениями уравнения Бесселя, где формально z заменяется на iz Это решения уравнения

решениями которого являются, например, функции J±ν(iz). Модифицированные функции Бесселя определяются по аналогии. Модифицированные функции Бесселя первого рода есть функции

8.2 Функции Эйри.

Функции Эйри есть решения дифференциального уравнения

Линейно-независимые решения этого уравнения можно записать как вещественная u(t) и мнимая часть v(t) интеграла

Функция Ai(z) аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как

Интеграл, стоящий в правой части, сходится при всех z и потому является целой функцией. Уравнение (8.9) имеет решения Ai(z), Ai(ωz), Ai(ω2z), где ω = ei2π/3. Используя (8.13), получим, что

В качестве второго линейно независимого решения уравнения часто используется функция Bi(z) = iω2Ai(ω2z) − iωAi(ωz). Функции Ai(z), Bi(z) вещественны при вещественных z.

Лемма 1. Пусть 0 < ε < π. При z → ∞, |argz| < π − ε,

Пусть |argz| < π − ε. Функция g(t, z) = i(t3/3 + tz) при фиксированном z имеет

√ √

ровно две точки перевала t1,2 = ±i z, где для z выбрана главная ветвь. Пусть z вещественно, z > 0, тогда в (8.13) max Reg(t, z) = 0 на контуре интегрирования. Так как g(t2, z) = (2/3)z3/2 > 0, то точка перевала t2(z) не может вносить вклад в асимптотику интеграла. В этом примере можно не исследовать структуру критических

линий уровня. По лемме Жордана можно в (8.12)заменить контур интегрирования

√

параллельной прямой z = i z + τ, −∞ < τ < ∞, проходящей через точку перевала t1(z), так что при z (0, +∞)

Последний интеграл в (8.17) сходится абсолютно при всех z ̸ (−∞, 0), так что эта формула справедлива при z ̸ (−∞, 0). Применяя лемму Ватсона к последнему интегралу в (8.17), получаем первое разложение в формулировке леммы 1. Пусть |argz − π| < ε. Имеем из (8.16)

Если ε > 0 достаточно мало, то точки ωz ωz2 лежат в секторе |argz| < π−ε и к функциям Ai(ωz), Ai(ω2z) можно применить формулу первую формулу из формулировки леммы. Отсюда следует утверждение.

Как следствие, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Лемма 2. 1) Функция Эйри экспоненциально убывает в секторе |argz| < π/3;

2)Ai(z) экспоненциально возрастает в секторах π/3 < argz < π, −π < argz <

−π/3;

3)осциллирует на лучах argz = ±π/3, π.

4)На вещественной оси имеем

Таким образом, функция Эйри экспоненциально затухает при x → +∞ и осциллирует и затухает степенным образом при x → −∞, т. е. ее поведение существенно различно при положительных и отрицательных x. На полуоси (−∞, 0) функция Эйри имеет бесконечно много нулей; можно показать, что все нули функции Эйри вещественны. Асимптотика функции Bi(z) легко находится c использованием леммы 1.

8.3Функции Бесселя.

Найдем асимптотику функции Jn(z) при n целом. Если n - целое число, то при всех z справедливо интегральное представление

Функция S(t) = 12 (t − t−1) имеет точки перевала t = ±i; обе они простые и лежат на контуре интегрирования. Вычислим асимптотику Jn(z) при фиксированном индексе n и z → ∞. Полагая t = eiφ, z = |z|eiθ, S(t, θ) = eiθS(t), получаем

Re S(t, θ) = − sin θ sin φ, eiθ(±i) = ±ieiθ. Поэтому max|t|=1 Re S(t, θ) = Mθ при любых 66

θ достигается в одной из точек перевала, и только в них. Исключение составляет случай, когда z вещественно; но когда контур интегрирования можно продеформировать так, чтобы Mθ достигался только в точках t = ±i. Применяя метод перевала, получаем, что асимптотика Jn(z) равна сумме вкладов от точек перевала при z → ∞ и при всех argz

[0, −i∞) соответственно так, что корни положительны при положительных значениях iz (соответственно −iz). При этом неоднозначность выбора ветвей при отрицательных значениях iz (соответственно −iz несущественна, так как при таких z соответствующая экспонента eiz, e−iz экспоненциально мала по сравнению с другой экспонентой в (8.18). Поясним выбор ветвей. Пусть z = iy, y > 0, тогда θ = π/26 = л/2, максимум Mθ достигается только в точке t = −it Stt′′ (−i, π/2) = −1. Поэтому касательная в точке t = −i к линии наибыстрейшего спуска горизонтальна, так

Асимптотическое разложение (8.19) можно дифференцировать любое число раз. Непосредственное вычисление коэффициентов ak, bk no методу перевала, как обычно, весьма затруднительно и мы это опустим. Они могут быть найдены во многих справочниках по специальным функциям.

Рассмотрим теперь случай функции Бесселя нецелого аргумента и исследуем ее поведение при z → ∞. Воспользуемся интегральным представлением Зоммерфельда для функции Ханкеля порядка ν первого рода

которое пригодно при Re z > 0 и любом комплексном ν. Контур интегрирования состоит из лучей (−∞, 0], [πi, πi + ∞) и отрезка [0, πi]. Найдем асимптотику этой функции при z → ∞ при фиксированном ν. В данном случае S = − sh t, f = e−νt. Точки перевала имеют вид tk = iπ/2 + kπi i = 0, ±1, . . ., и все они простые. Покажем, что контур интегрирования можно продеформировать в линию наибыстрейшего спуска γ: Im sh t = Im sht0, проходящую через точку перевала t0. Функция ω = sh t

67

взаимно однозначно отображает полуполосу 0 < Re t < +∞, π/2 < Re t < π на левую полуплоскость Re ω < 0, и прообразом полуоси (−∞, 0) является половина γ+ линии γ. Линия γ симметрична относительно мнимой оси, так что γ лежит в полосе 0 < Im t < π и имеет своими асимптотами лучи (−∞, 0], [πi, πi + ∞). Поэтому контур интегрирования можно продеформировать в эту линию, и из теоремы 1 в §7 следует,

√

при |z| → ∞, | arg z| < π/2 − ε < π/2. где для z выбирается главная ветвь. На самом деле этот результат справедлив при −π < −π + ε < argz < 2π − ε < 2π. Доказательство этого утверждения несколько утомительно и мы его опустим. Аналогично вычисляется асимптотика Ханкеля 2 рода Hν2(z) и функции Бесселя Jν(z) =

12 [Hν1(z) + Hν2(z)].

Найдем асимптотику функции Jx(x) при x → +∞. При Re x > 0 имеем

Здесь интеграл берется по контуру γ, состоящему из отрезка [−iπ, iπ] и лучей [iπ, iπ+ ∞), (−∞ − iπ, −iπ], Точка t = 0 является двукратной точкой перевала функции S(t) = sh t − t. Линия уровня Im S(t) = 0, проходящая через точку перевала t = 0, задается уравнением ch σ sin τ = τ, t = σ + iτ и содержит вещественную ось. Так как t = 0 – точка перевала второго порядка, то остальные ветви γ образуют углы

±π/3, ±2π/3 с вещественной осью. В силу симметрии γ относительно осей достаточно рассмотреть уравнение ch σ = τ/ sin τ при σ > 0, τ >0. Это дает нам линию наибыстрейшего спуска γ1, которая выходит из точки t = 0 под углом π/3 к вещественной оси и имеет асимптоту τ = π. Линия γ2, симметричная с γ1 относительно вещественной оси, также является линией наибыстрейшего спуска. Продеформируем контур интегрирования в контур, состоящий из линий γ1 и γ2. Так как S(t) вещественна при вещественных t, то значения интегралов по γ1 и γ2 комплексно сопряжены. Следовательно, ∫

Jx(x) = 2 Re exS(t) dt, (8.23)

γ1

Далее, S′′(0) = 0, S′′′(0) = 1, угол между γ1 и осью Ox в точке t = 0 равен π/3. Применяя метод перевала получаем, что при x → ∞

лишь конечное число членов разложения, для чего достаточно существования лишь конечного числа производных от c(M), иначе приходится требовать бесконечную дифференцируемость этой функции. Преимущество записи (9.3) состоит в том, что она позволяет в наиболее простой форме, не осложненной конкретными деталями, учесть и использовать специфику поведения волнового поля на высоких частотах для целого класса задач. Введение (−i)s+γ в знаменатель не играет здесь принципиальной роли и сделано для некоторых формальных упрощений. Подставим (9.3) в уравнение (9.2) и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях 1/ω. Главный член имеет вид

Уравнение (9.5) называется уравнением эйконала. Приравнивая нулю коэффициент

при 1 , s = 0, 1, . . ., получим, учитывая (9.5),

(−iω)s+ −1

Уравнения (9.6) называются уравнениями переноса. Отметим, что часто в качестве функции τ в (9.3) берется функция τc0, где c0 – значение скорости в некоторой фиксированной точке M0, а параметр ω в этом случае заменяется на волновое число k0 = ω/c0 в точке M0.

9.2Уравнение эйконала, лучи, волновые фронты.

Уравнение эйконала (9.5) в некотором смысле "содержит в себе"всю геометрическую оптику. Точнее, анализируя это уравнение, мы естественным образом приходим к основным понятиям геометрической оптики. Рассмотрим функционал

где интегрирование ведется по некоторой кривой, соединяющей точки M0 и M. Будем называть его функционалом Ферма. Здесь M0 и M - точки в пространстве (x, y, z); x = x(σ), y = y(σ), z = z(σ) (σ [σ0, σ1)] – уравнение кривой их соединяющей,

70