Лекции - мат.методы в геофизике

Формула (3.17) записывается в наиболее простом и симметричном виде, если воспользоваться импедансом падающей волны Z = ρc/ cos θ:

Коэффициент прозрачности находим при помощи (3.14):

Выражения (3.18), (3.19), (3.22) для коэффициентов отражения и прозрачности называют формулами Френеля.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При нормальном падении волны на границу (θ = θ1 = 0) имеем

V = (m − n)/(m + n) = (ρ1c1 − ρc)/(ρ1c1 + ρc), W = 2m/(m + n) = 2ρ1c1/(ρ1c1 + ρc)

Коэффициенты отражения н прозрачности зависят здесь не от скоростей звука н плотностей сред в отдельности, а от произведений ρ1c1 н ρc, называемых волновыми сопротивлениями или характеристическими импедансами сред. В случае равенства скоростей звука, c = c1 (n = 1), коэффициенты отражения н прозрачности не зависят от угла падения:

V = (ρ1 − ρ)/(ρ1 + ρ) = (m − 1)/(m + 1), W = 2ρ1/(ρ1 + ρ) = 2m/(m + 1). (3.23)

В случае, когда n ≠ 1, θ → π/2 (скользящее падение), получаем: v → −1, W → 0. Если угол θ удовлетворяет условию mcosθ = (n2 −sin2 θ)1/2, то коэффициент отражения обращается в нуль. Это - случай полной прозрачности границы. Из последнего равенства находим для угла полной прозрачности

Для того чтобы угол полной прозрачности был вещественным, необходимо выполнение условия (m2 − n2)/(n2 − 1) > 0. Отсюда следует, что должно выполняться одно нэ соотношений: либо 1 < n < m, либо 1 > n > m. Прямое дифференцирование выражения (3.19) показывает, что коэффициенты отражения н прозрачности являются

31

монотонными функциями θ, если n > 1. Когда n < 1, монотонность имеет место для углов при 0 < θ < δ = arcsin n. При δ < θ < π/2 коэффициент отражения становится комплексным - имеет место полное внутреннее отражение, наступающее при θ = δ. Действительно, учитывая (3.20), формулу (3.19) можно записать как

Мы видим, что в этом случае |V | = 1, т.е. отражение полное. Величина φ - скачок фазы волны при отражении является монотонной функцией угла θ. Фазовый сдвиг прн отражении φ(θ), как мы увидим ниже, обуславливает весьма интересные явления при отражении ограниченных волновых пучков, а также звуковых импульсов. При изменении значения угла падения θ от критического угла полного отражения δ до π/2 модуль коэффициента прозрачности уменьшается от двух до нуля. Сдвиг фазы преломленной волны относительно падающей на границе раздела составляет половину от сдвига фазы при отражении: W = |W |eiφ/2. В нижней среде, согласно (3.7) и (3.12), при полном внутреннем отражении поле представляет собой неоднородную плоскую волну

амплитуда которой экспоненциально затухает при удалении от границы. Импеданс Z1, при этом будет чисто мнимой величиной: Z1 = −iρ1ω1/µ. При полном отражении преломленная волна не уносит энергию от границы. Энергия, приносимая падающей волной, полностью возвращается в верхнюю среду в отраженной волне.

3.4Энергетические соотношения

Неоднородные плоские волны не могут существовать в безграничном однородном пространстве, так как тогда звуковое давление растет бесконечно. Однако в ограниченных частях слоистых сред неоднородные плоские волны встречаются довольно часто. Предположим, что волновой вектор q лежит в плоскости xz. Вводя угол θ, образуемый им с осью z, однородную плоскую волну можно представить в виде

Неоднородная плоская волна также представима в виде (3.27), но, конечно, угол θ оказывается комплексным. Например, при θ = π/2 − iα (α R) из (3.27) получаем

Эта волна распространяем в направлении x и экспоненциально убывает в направлении z. Фазовая скорость волны cph = c/ ch α тем меньше, чем больше коэффициент

32

затухания волны в направлении оси z. Запишем плоскою волну в общем виде. Для давления имеем (k = k′ + ik′′ = (kx, ky, kz))

p= Aexp(i(kxx + kyy + kzz − ωt), |k|2 = kx2 + ky2 + kz2 = (ω/c)2 = |k′|2 − |k′′|2. (3.29)

Вслучае k′′ ≠ 0 мы получаем неоднородную плоскую волну. Имеем равенство

Рассмотрим, как переносят акустическую энергию однородная и неоднородная плоские волны. Плотность акустической энергии E и вектор плотности потока акустической мощности I соответственно равны

Как получается формула (3.31)? Мы используем формулу E = ρ|v|2/2 + K(div s)2/2 для плотности энергии E из пункта 1.11 и равенства div s = −p/K, c2 = K/ρ. Акустическая энергия состоит из двух частей: кинетической энергии движения частиц в волне EK и внутренней энергии, которую среда приобретает при деформации. В монохроматических волнах частоты ω энергетические величины колеблются с двойной частотой. Представляют интерес средние за период T значения плотности акустической энергии ET и плотности потока мощности IT (индекс T означает осреднение за период T ). В формулах (3.31) подразумеваются вещественные части используемых нами комплексных величин p и v. Воспользуемся тождеством:

где черта означает комплексное сопряжение, α и β – аргументы комплексных чисел a и b. Из формул (3.31)-(3.32) тогда получаем

Здесь рассматриваются уже модули соответствующих комплексных чисел. Для плоской волны имеет место формула (3.10), в соответствии с которой v = −i p/ρω. Кроме того, имеем равенства (3.29), (3.30). Следовательно, получим

Таким образом, средняя плотность акустической энергии в неоднородной плоской волне равна

ET = (2ρω2)−1|k′|2|A|2e−2k′′r, k = k′ + ik′′, r = (x, y, z), k′′r = kx′′x + ky′′y + kz′′z. (3.35) 33

и экспоненциально затухает в направлении k′′. Как и в обычной плоской волне, где

ET = (2ρc2)−1|A|2,

средняя плотность акустической энергии не меняется в направлении распространения волны. В точках с одинаковым значением амплитуды звукового давления плотность энергии неоднородной волны выше, чем у однородной, из-за большего значения амплитуды колебательной скорости. Средние величины плотности потока мощности в неоднородной и обычной плоских волнах равны:

Неоднородная волна является замедленной, но при одинаковых значениях |p| поток мощности в ней больше, чем в однородной волне, из-за большего значения амплитуды колебательной скорости. Отметим, что хотя существует мгновенный поток энергии в направлении r′′ (в плоскости равной фазы), среднее значение потока IT направлено вдоль r′, т.е. ортогонально r′′.

3.5Отражение от плоского слоя.

Представим себе, что на плоский слой толщины d падает под некоторым углом плоская звуковая волна. Среде, из которой падает волна, слою и среде, в которую проходит волна, мы присвоим соответственно номера 3, 2 и 1. Среды 1, 2, 3 предполагаются однородными. Углы, образуемые направлением распространения волны в каждой из сред с нормалью к границам слоя, обозначим θj, где j = 1, 2, 3. Плоскость падения волны, как и ранее, совместим с плоскостью xz. Предполагаем, что плоскость z = 0 разделяет среды 1 и 2 и плоскость z = d разделяет среды 2 и 3. Давление в средах 1,2,3 запишем в виде

p2 = (Aeik2z cos θ2 + Be−ik2z cos θ2 )ei(k2x sin θ2−ωt),

p1 = W e−ik1z cos θ1 ei(k1x sin θ1−ωt),

p3 = (eik3(z−d) cos θ2 + V e−ik3(z−d) cos θ3 )ei(k3x sin θ3−ωt),

где V – коэффициент отражения волны от слоя 2, W – коэффициент прозрачности. Коэффициент отражения от слоя, согласно формуле (3.21), равен

где Z3 = ρ3c3/ cos θ3 – импеданс плоской волны в среде 3, Zin - подлежащий определению "входной импеданс"споя, т.е. импеданс на границе сред 2 и 3. Найдем Zin,

34

учитывая, что импеданс Z1 = ρ1c1/ cos θ1, при z = 0 нам известен (формула (3.15)). Как и ранее, легко показать приравнивая давление на границах сред, что горизонтальная компонента волнового вектора одинакова по всей слоистой среде и значит, аналогично (3.11), имеем

Опуская множитель ei(k2x sin θ2−ωt) дающий зависимость от горизонтальной координаты и времени, запишем звуковое поле в средах

Связь между постоянными A и B находим из непрерывности импеданса на границе

z = 0:

−iωρ2p2(p2z)−1|z=0 = Z1,

Вычисляя величину −iωρ2p2(p2z)−1|z=0, получим

где Z2 – импеданс плоской волны в среде 2. Разделив числитель и знаменатель этого выражения на B получим уравнение относительно A/B, решая которое, получим

При z = d импеданс волны (3.39) равен искомому входному импедансу слоя Zin.

Таким образом,

−iωρ2p2(p2z)−1|z=d = Zin,

позволяющую пересчитывать импеданс с одной границы слоя на другую. Угол φ набег фазы плоской волны при распространении через слой. Подставляя теперь (3.43) в (3.37), получаем для коэффициента отражения от слоя

В другом случае, когда толщина слоя d → 0 или d ≠ 0, но Z2 → Z1, из (3.44) получаем

V= (Z1 − Z3)/(Z1 + Z3)

–коэффициент отражения на границе однородных полупространств I и 3. Обратимся теперь к прошедшей волне в среде I. Звуковое давление в ней будет снова даваться формулой (3.40), где необходимо найти коэффициент W . Из условия равенства поля в слое (3.39) давлению в прошедшей волне на границе z = 0 имеем

С другой стороны, записав падающую и отраженную волны в среде 3 как (3.41), получаем из равенств давлений с обеих сторон границы:

Поделив (3.47) на (3.48) и воспользовавшись формулой (3.42) находим

Подстановка (3.44) в (3.49) приводит к формуле

Проведем некоторый анализ формулы для коэффициента отражения V . Найдем модуль |V |, имеем из (3.45), что

(Z2(Z1 − Z3))2 cos2 φ + (Z2 − Z1Z3)2 sin2 φ

|V |2 = 2 . (3.51)

(Z2(Z1 + Z3))2 cos2 φ + (Z22 + Z1Z3)2 sin2 φ

Это выражение можно переписать в виде

где α, β, γ – соответствующие постоянные. Находя производную J′(φ), получим

4Z1Z3Z2(Z2 − Z2)(Z2 − Z2) sin 2φ

J′(φ) = 2 2 1 2 3 .

(γ + β sin2 φ)2

Таким образом, точки 2φ = πk (k - целое число) – точки экстремумов |V |. Если k = 2m, то этот случай соответствует равенству d cos θ2 = πmc2/ω = mλ/2, где λ – длина волны, или при нормальном падении и m = 1 толщина слоя равна половине длины волны. Если k = 2m + 1, то аналогично d cos θ2 = mλ/2 + λ/4 и при нормальном падении и m = 0 толщина слоя равна четверти длины волны. Если выполнено равенство 2φ = 2πm, то имеем из (3.45), что

V= Z1 − Z3 Z1 + Z3

т.е. слой не оказывает влияния на коэффициент отражения, поскольку последний совпадает с коэффициентом отражения для случая когда слоя нет. В частности, V = 0, если Z1 = Z3. Если выполнено равенство 2φ = π(2m + 1), то имеем из (3.45), что

Z2 − Z1Z3 V = 2

Z22 + Z1Z3

√

и V = 0, если Z2 = Z1Z3.

Примеры. Рассмотрим некоторые частные случаи. Опишем два интересных возможных случая отражающей поверхности. Они может возникнуть как в случае если мы рассматриваем границу раздела двух сред и отражение от границы, так и в случае если мы рассматриваем отражение от слоя. Эти случаи можно назвать так: случай абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границы. В абсолютно жестком случае сумма давлений падающей и отраженной волн представляются в виде

p = pi + pr = (exp(−izkcosθ) + exp(ikzcosθ))eikx sin θ−ωt.

Таким образом, при z = 0 давление равно удвоенному давлению падающей волны, а коэффициент отражения равен 1. При этом pz|z=0 = 0 и таким образом чисто формально импеданс обращается в ∞. Соответственно, нормальная компонента скорости обращается в ноль. Предположим, что среда 1 является абсолютно жесткой в случае если мы рассматриваем отражение от слоя. Как получить соответствующие формулы для коэффициента отражения от слоя и коэффициента прозрачности? Они могут быть получены предельным переходом при Z1 → ∞ из формул (3.44), (3.45), (3.50):

Делим (3.66) на Bj и подставляем вместо Aj/Bj слева первое равенство из (3.69) и вместо Aj+1 справа второе равенство из (3.69). Разрешая полученное уравнение относительно Bj+1/Bj найдем, что

Придавая затем j последовательно значения j = 1, 2, . . . , n и перемножая получающиеся из (3.71) уравнения, для коэффициента прозрачности, равного по определению отношению амплитуд давления в прошедшей и падающей волнах, в конечном счете получаем

4ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН И ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ

В теории распространения акустических волн необходимо учитывать, как правило, конечную удаленность источника звука и от приемника, и от границ раздела сред. Классической н простейшей задачей такого рода является задача о поле точечного излучателя, расположенного на конечном удалении от плоской границы раздела двух однородных сред. Другими словами, это задача об отражении и преломлении сферической волны. Впервые эту задачу для электромагнитных волн сравнительно полно рассмотрел Зоммерфельд, в дальнейшем появились фундаментальные работы Вейля, Отта, Фока, Леонювича, Баньоса. Мы рассмотрим вопрос о представлении сферических волн на сумму плоских. Тем же методом удается рассмотреть и более сложную задачу - об отражении ограниченного волнового пучка. Мы также рассмотрим вопрос о боковых волнах, возникающих при отражении сферических волн и ограниченных звуковых пучков от границы раздела. Основное внимание мы сосредоточим на анализе отражения акустических волн от границы жидких сред, в том числе движущихся.

4.1Отражение и преломление сферических волн

Трудность задачи об отражении и преломлении сферической волны на плоской границе раздела двух сред обусловливается различием между симметрией волны и границы (волна сферическая, граница плоская). Естественно поэтому решать задачу,

40