Лекции - мат.методы в геофизике
.pdfсуперпозиция является конструктивной. Волны с другими частотами имеют фазовый сдвиг, отличный от 2π, и их интерференция является деструктивной. В результате такие волны гасят друг друга после относительно небольшого числа отражений.
Представим комплексную амплитуду v-компоненты смещения как
˜ |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
(11.47) |
|
v˜1 = (C1eikb1sz + C2e−ikb1sz)eikx (z < 0), v˜2 |
= C3e−kb2szeikx (z > 0). |
||||||||||||
Здесь |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
˜ |
|
− 1) |
1/2 |
|
˜ |
|
− |
1/2 |
|
(11.48) |
|||
b1s = ( |
|
|
, |
b2s = (1 |
|
) |
|
. |
|||||
c12s |
|
c22s |
|
Воспользуемся теперь граничными условиями и найдем уравнение, связывающее скорость волны Лява с частотой. Поскольку нормальные компоненты напряжений на свободной границе равны нулю,
τ˜yz1 = µ1v˜1z = 0 (z = −H).
Из условия непрерывности смещений и напряжений на нижней границе слоя следует, что
|
|
v˜1 = v˜2, |
µ1v˜1z = µ2v˜2z, |
z = 0. |
|
|
|
(11.49) |
||||||||
Эти условия приводят к следующим уравнениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
v˜1 = v˜2, |
µ1v˜1zz = µ2v˜2zz, |
z = 0. |
|
|
|
(11.50) |
||||||||
Используя (11.49), (11.50), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
˜ |
|
|
˜ |
|
(11.51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
−ikb1sH |
− C2e |
ikb1sH |
= 0. |
|||||
C1 + C2 = C3, iµ1b1s |
(C1 − C2) = −µ2C3b2s, C1e |
|
|
|
|
|||||||||||
Система (11.51) имеет ненулевое решение для 1, C2 и C3, если ее детерминант равен |
||||||||||||||||
нулю: |
|
|
˜ |
|
|
˜ |
|
− ˜ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
˜ |
H |
˜ |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ikb |
|
ikb |
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
e− 1 |
1s |
|
−e 1 |
1s |
|
− |
|
= 0. |
|
|
(11.52) |
||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iµ1kb1s |
iµ1kb1s |
|
iµ3kb2s |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После несложных преобразований можно получить так называемое дисперсионное уравнение. Исключая C3 из двух первых уравнений этой системы, находим:
2 = |
µ1b1s − iµ2b2s C1 |
= e−2i tg− |
~ |
(11.53) |
|||
( 1~b1s )C1. |
|||||||
|
˜ |
˜ |
1 |
|
2b2s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
˜ |
|
|
|
|
|
|
µ1b1s + iµ2b2s |
|
|
|
|
Подставляя C2 в третье уравнение системы (11.51) и выполняя несложные преобразования, получим
˜ |
˜ |
|
|
|
˜ |
|
˜ |
|
µ2b2s |
|
или |
|
ωb1sH |
|
µ2b2s |
(11.54) |
|
tg(kb1sH) = |
|
, |
tg( |
|
) = |
|
||
˜ |
c |
˜ |
||||||
|
µ1b1s |
|
|
|
|
µ1b1s |
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
|
|
Это уравнение называется дисперсионным. Формула (11.53) устанавливает соотношение между скоростью волны Лява с и частотой ω, а также между скоростью и параметрами среды. Уравнение (11.54) можно записать в несколько иной форме:
tg(kH(c2/c12s − 1)1/2 = |
µ2 |
(c2/c12s |
− 1)−1/2(1 − c2/c22s)1/2. |
(11.55) |
µ1 |
Существование решений c [c1s, c2s] этого уравнения легко устанавливается графически. Поскольку левая часть этого уравнения является периодической функцией, для любого заданного значения c, лежащего в диапазоне [c1s, c2s], существует бесконечной число корней: ω0(c), ω1(c), . . . ,. Каждое значение ωn(c) характеризует частоту n-и моды волны Лява, распространяющейся со скоростью c. Обратные функции cn(ω) описывают так называемые дисперсионные кривые фазовой скорости волн Лява. Поскольку левая часть уравнения (11.55) является периодической функцией, его удобно представить в следующем виде:
kH(c2/c12s − 1)1/2 |
= πn + tg−1 |
( |
µ2 |
(c2/c12s |
− 1)−1/2(1 − c2/c22s)1/2). |
(11.56) |
µ1 |
Здесь n - целое число. Воспользовавшись теперь формулой (11.56), проверим выполнение включения c [c1s, c2s], начиная с n = 0. В этом случае равенство (11.56) записывается как
kH(c2/c12s − 1)1/2 |
= tg−1 |
( |
µ2 |
(c2/c12s |
− 1)−1/2(1 − c2/c22s)1/2). |
(11.57) |
µ1 |
Предположим сначала, что скорость волны Лява стремится к c2s. Поскольку правая часть равенства (11.57) обращается в нуль,
kH(c2/c21s − 1)1/2 → 0 ω → 0
В противоположном случае, когда c → c1s правая часть (11.57) стремится к ∞, в то
время как
(c2/c21s − 1)1/2 → 0.
Для того чтобы выполнялось равенство (11.57), волновое число должно быть бесконечно большим, т.е. ω → ∞. Таким образом, согласно формуле, если отношение
Λ1s/H, Λ1s = 2πc1s/ω
(Λ1s – длина поперечных волн в слое) изменяется от нуля до бесконечности: фазовая скорость волны Лява c изменяется в пределах от c1s до c2s. Легко показать, что этот вывод остается верным для любой моды. Однако диапазоны ω при этом различаются. Действительно, если c = c2s и n ≠ 0, то
kH(c2s/c21s − 1)1/2 = πn
152
или
2 |
(1 − c12s/c22s)1/2. |
(11.58) |
Λ1s/H = n |
В противоположном случае, когда c = c1s, мы снова получаем Λ1s/H. Таким образом, для любого n скорость волны Лява изменяется в пределах диапазона частот
|
2 |
(1 − c12s/c22s)1/2. |
(11.59) |
0 |
≤ Λ1s/H ≤ n |
Отсюда видно, что с увеличением порядка n диапазон частот (длин волн), в пределах которого существует данная мода, сужается. Например, если
|
|
Λ1s/H > 2(1 − c12s/c22s)1/2, |
(11.60) |
то существует только основная мода с n = 0. Однако на интервале |
|
||
|
(1 − c12s/c22s)1/2 < Λ1s/H < 2(1 − c12s/c22s)1/2, |
(11.61) |
|
наблюдаются уже две моды, с n = 0, n = 1. В пределах интервала |
|
||
2 |
(1 − c12s/c22s)1/2 < Λ1s/H < (1 − c12s/c22s)1/2, |
(11.62) |
|
|
|
||
|
3 |
существует три моды и т.д. Ширина этих интервалов уменьшается с ростом я и определяется следующим выражением:
|
2 |
|
(1 − c12s/c22s)1/2. |
n(n |
− |
1) |
|
|
|
|
Из наших представлений видно, что волна Лява осциллирует вдоль оси z внутри слоя, но экспоненциально затухает вне него. Так, например, если n = , смещение монотонно уменьшается с глубиной. При n = 1 наблюдается смена знака, и соответственно, имеется нодальная плоскость, на которой v1n = 0. С увеличением n число таких плоскостей также увеличивается.
11.4Отражение от свободной поверхности.
Изучим случай наклонного падения плоской волны на свободную поверхность и рассмотрим, прежде всего, ситуацию, когда падающей волной является продольная.
153
11.4.1Падающая волна P .
Комплексная амплитуда скалярного потенциала падающей волны P как
φ˜ = Ai eikl(x sin αi−z cos αi). 1
ikl
записывается
(11.63)
Здесь αi - угол падения, т.е. угол между лучом волны и осью OZ. Если предположить, что на границе возникает только отраженная P волна, то мы придем к противоречию, пытаясь удовлетворить граничным условиям. Следовательно, необходимо рассмотреть случай, когда в качестве отраженной волны имеются как P волна, так и SV волна. В этом случае полное смещение является суммой смещений в каждой из волн. Следовательно, s = φ + rot ψ и для комплексных амплитуд потенциалов имеем,
|
Ai |
ikl(x sin αi−z cos αi |
|
Ar |
ikl(x sin αi+z cos αi |
|
˜ |
Br iks(x sin βr+z cos βr |
, (11.64) |
||||
φ˜1 = |
ikl |
e |
|
+ |
ikl |
e |
|
|
, |
ψr = |
iks |
e |
|
где βr - угол отражения для SV волны. Как и ранее имеем |
|
||||||||||||
|
|
|
s = (u, 0, w), |
u = φx − ψz, w = φz + ψx. |
(11.65) |
Напомним, что векторный потенциал имеет только одну ненулевую координату и имеет вид ψj, где ψ – скалярная функция. На свободной поверхности z = 0 обращаются в ноль компоненты вектора напряжений и в комплексной форме граничные условия записываются в виде.
˜ |
˜ |
2 |
φ˜ + 2µ(φ˜zz |
||||
τ˜xz = µ(˜uz + w˜x) = µ(2φ˜xz + ψxx − ψzz) = 0, |
−λkl |
||||||
Очевидным образом имеет место закон Снеллиуса |
|
|
|||||
αi |
= αr, |
sin αi |
= |
|
sin βr |
. |
|
|
|
||||||
|
|
cl |
|
cr |
|
|
˜
+ ψxz) = 0.
(11.66)
(11.67)
Подставляя (11.64) в (11.66), мы приходим к системе уравнений относительно коэффициентов Ai, Ar, Br.
kl(Ai + Ar)(λ + 2µ cos2 αi) + 2µksBr sin βr cos βr = 0, 2kl sin αi cos αi(Ar − Ai) + ksBr(sin2 βr − cos2 βr) = 0
или
(Ai + Ar)((λ + 2µ) cos2 αi + λ sin2 αi) + 2µmBr sin βr cos βr = 0 (m = cl ),
2 sin αi cos αi(Ar − Ai) + mBr(sin2 βr − cos2 βr) = 0.
cs
(11.68)
(11.69)
154
Левую часть этих равенств удобно представить через ctg αi и ctg βr. В результате получим
(Ai+Ar)((λ+2µ) ctg2 αi+λ)m+2µBr ctg βr = 0, 2m ctg αi(Ar −Ai)+Br(1−ctg2 βr) = 0.
(11.70)
Отсюда получим |
|
||||||
|
|
Br = |
2m ctg αi(Ai − Ar) |
. |
|
|
(11.71) |
|
|
|
Br(1 − ctg2 βr) |
|
|||
Подстановка (11.71) в первое равенство (11.70) дает |
|
||||||
(Ai + Ar)((λ + 2µ) ctg2 αi + λ)(1 − ctg2 βr) + 4µ ctg αi ctg βr(Ai − Ar) = 0. |
(11.72) |
||||||
Таким образом, |
|
||||||
(Ai + Ar)((λ + 2µ) ctg2 αi + λ)(1 − ctg2 βr) + 4µ ctg αi ctg βr(Ai − Ar) = 0. |
(11.73) |
||||||
Решая это уравнение, получим |
|
||||||
Ar = Ai |
4µ ctg αi ctg βr + ((λ + 2µ) ctg2 αi + λ)(1 − ctg2 βr) |
, |
(11.74) |
||||
|
|
|
D1 |
|
|||
|
Br = Ai |
−4m ctg2 αi((λ + 2µ) ctg2 αi + λ) |
, |
(11.75) |
|||
|
|
|
D1 |
|
где
D1 = 4µ ctg αi ctg βr − ((λ + 2µ) ctg2 αi + λ)(1 − ctg2 βr).
Используя представления (11.64) и закон Снеллиуса нетрудно показать, что функции
˜
φ,˜ ψ удовлетворяют соответствующим уравнениям Гельмгольца
2 |
˜ |
2 ˜ |
∆φ˜ + kl |
φ˜ = 0, ∆ψ + ks ψ = 0. |
Таким образом построили волну удовлетворяющую всем условиям. Иными словами,
˜
наше предположение оказалось верным, и функции φ˜, ψ описывают падающую и отраженные волны в присутствие плоской свободной границы. Кроме того, мы показали, что падающая волна Р возбуждает две отраженные волны: продольную и поперечную. Это фундаментальное свойство не наблюдается в жидкой среде со свободной границей. В этом случае можно показать, что волна SV исчезает. Закон Снеллиуса указывает на то, что независимо от величины угла αi, обе вторичные волны, P и SV , остаются однородными. Коэффициенты отражения Rpp и Rps определяются из (11.74), (11.75).
155
11.4.2Падающая волна SV .
Предположим далее, что падающая волна SV достигает свободной границы и возбуждает на ней две отраженные волны: P и SV . Соответствующие амплитуды потенциалов запишутся как
|
Ar |
ikl(x sin αr+z cos αr) |
˜ |
|
Bi |
iks(x sin βr−z cos βr) |
|
Br |
iks(x sin βr+z cos βr) |
|
(11.76) |
|||
φ˜r = |
ikl |
e |
|
, ψ1 |
= |
iks |
e |
|
+ |
iks |
e |
|
, |
Чтобы определить неизвестные коэффициенты Ar, Bi и Br мы снова воспользуемся граничными условиями (11.66). Запишем закон Снеллиуса в этом случае
kl sin αr = ks sin βi = kr cos βr, |
sin βi |
= |
sin αi |
, βr = βi. |
(11.77) |
cs |
cl |
||||
Равенства (11.77) описывают закон Снеллиуса для падающей волны SV . Из следует, |
|||||
что |
|
|
|
|
|
sin αr = m sin βi, m = cl/cs > 1. |
|
|
Если sin βi = 1/m, то угол αr равен π/2, и отраженная волна распространяется вдоль свободной поверхности. По аналогии с акустическими волнами, такой угол βicназывается критическим. При βi > βic, отраженная волна P становится неоднородной. Для того чтобы определить неизвестные коэффициенты подставим выражения (11.76) в равенства(11.66) и получим
|
(λ + 2µ cos2 αr)klAr + 2µks(Bi − Br) sin βi cos βi |
= 0, |
(11.78) |
||||||||
или |
2klαr cos αrAr + ks(Bi + Br)(sin2 βi − cos2 βi) = 0, |
|
|||||||||
(λ + 2µ cos2 αr)Ar + 2µm(Bi − Br) sin βi cos βi = 0, |
|
||||||||||
|
(11.79) |
||||||||||
|
2αr cos αrAr + m(Bi + Br)(sin2 βi − cos2 βi) = 0. |
|
|||||||||
Решая эту систему, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Br = |
4µ ctg βi ctg αr − (λ + (λ + 2µ) ctg2 αr)(ctg2 βi − 1) Bi/D2, |
|
|||||||||
[ |
A |
r |
= |
4µ ctg β |
(ctg2 β |
i − |
1) B |
/D |
, |
] |
(11.80) |
|
|
[ |
i |
|
] i |
2 |
|
|
D2 = 4µ ctg βi ctg αr + (λ + (λ + 2µ) ctg2 αr)(ctg2 βi − 1).
11.4.3Падающая волна SH.
Наконец, предположим, что падающей волной является волна SH и смещение имеет только одну компоненту v:
v˜ = Cieiks(x sin γi−z cos γi) + Creiks(x sin γr+z cos γr), |
(11.81) |
156
Поскольку такая волна сопровождается только одной ненулевой компонентой напряжения τyz, предпологаем, что отраженная волна также является волной SH. Здесь γi, и γr - углы падения и отражения соответственно. На границе выполняется следующее условие:
τ˜yz = µv˜z = 0. |
(11.82) |
По закону Снеллиуса γi = γr. Используя (11.82), получим
Cr = Ci, Rss = 1.
11.4.4Отражение от жесткой поверхности.
Предположим теперь, что плоскость z = 0 является границей между упругой средой и абсолютно жестким полупространством. В качестве примера рассмотрим падение волны SV и предположим, что в результате возникают отраженные волны P и SV . Соответствующие комплексные амплитуды скалярного потенциала и y-компоненты векторного потенциала равны
|
Ar |
ikl(x sin αr+z cos αr) |
˜ |
Bi |
iks(x sin βi−z cos βi) |
|
Br |
iks(x sin βr+z cos βr) |
|
(11.83) |
|||
φ˜r = |
ikl |
e |
|
, ψ = |
iks |
e |
|
+ |
iks |
e |
|
, |
По определению, на границе все три компоненты смещения равны нулю, т.е.
u˜ = v˜ = w˜ = 0. |
(11.84) |
В соответствии со сделанными предположениями относительно типа волн, компонента v всюду равна нулю. Выражая это условие через потенциалы, получим
|
|
|
|
˜ |
|
|
˜ |
||
|
|
φ˜rx − ψz |
= 0, φ˜rz + ψx |
||||||
Подставим (11.83) в (11.85), получим закон Снеллиуса |
|||||||||
|
βr = βi, |
sin αr |
= |
sin βi |
. |
|
|||
|
cl |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cs |
|||
и равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin αrAr + (Bi − Br) cos βi = 0, cos αrAr + (Bi + Br) sin βi = 0. |
|||||||||
Отсюда |
|
(cos αr cos βi − sin αr sin βi)Bi |
|
||||||
Br = |
|
, |
|||||||
|
|
|
cos αr cos βi + sin αr sin βi |
||||||
Ar |
= |
|
−2 sin βir cos βiBi |
|
|||||
|
cos αr cos βi + sin αr sin βi |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
157 |
|
|
|
|
(11.85)
(11.86)
(11.87)
(11.88)
(11.89)
Или
Br = |
cos(αr + βi)Bi |
, |
(11.90) |
||
|
|
||||
|
|
cos(αr − βi) |
|
|
|
Ar = |
|
− sin 2βiBi |
|
(11.91) |
|
|
cos(αr − βi) |
|
|||
|
|
|
|
|
Для нормального падения (βi = 0) получим Br = Bi и Ar = 0. То есть возникает только отраженная волна SV . С увеличением βi амплитуда отраженной волны SV уменьшается и появляется волна P . За критическим углом волна P становится неоднородной и экспоненциально затухает с увеличением расстояния от границы. На границе существует фазовый сдвиг между падающей волной и отраженной волной SV , а их амплитуды равны друг другу: |Br| = Bi.
11.5Отражение и прохождение волн на границе между жидкой и упругой средами.
Известно, что вблизи границы (z = 0) частицы жидкой и упругой сред связаны между собой не жестко. Соответственно, тангенциальные компоненты смещения по разные стороны границы могут различаться. Иными словами, в общем случае они являются разрывными функциями при z = 0. В то же время, нормальные компоненты смещения остаются непрерывными. В противном случае между двумя средами образовался бы разрыв, либо эти среды наложились бы друг на друга. Также необходимо принять во внимание, что все напряжения являются непрерывными функциями, а касательные напряжения в жидкости равны нулю. Это означает, что в окрестности границы касательные напряжения в упругой среде также равны нулю. Таким образом, граничные условия формулируются как
w = w1, τzz = τ1zz, τxz1 = 0, τyz1 = 0, z = 0 |
(11.92) |
где индекс 1 относится к упругой среде. Вспоминая, что в жидкости µ = 0, формулы (11.93) можно представить в следующем виде:
w = w1, λdiv s = λ1div s1 + 2µ1w1z, u1z + w1x = 0, v1z + w1y = 0, z = 0. (11.93)
Параметр λ играет роль модуля всестороннего сжатия в жидкости: λ = ρc2. При изучении отражения основное внимание будет уделяться случаю, в котором падающая волна распространяется в жидкости, а ее фазовая поверхность параллельна оси y Иными словами, волновые поля не зависят от координаты y. На границе падающая волна приводит к появлению вторичных волн. Будем предполагать, что в жидкой среде возникает волна P , а в упругой - волны P и SV . Это подразумевает, что компонента смещений вдоль оси y равна нулю: v = 0. Как и в предыдущих
158
разделах, удобно ввести скалярный и векторный потенциалы. В терминах комплексных амплитуд скалярного и векторного потенциалов условия склейки записываются в виде
˜ |
2 |
2 |
|
˜ |
(11.94) |
|
φ˜z = φ˜1z + ψ1x, |
−λk |
φ˜ = −λkl |
|
φ˜1 + 2µ(φ˜1zz + ψ1xz), |
||
|
˜ |
˜ |
, |
z = 0. |
(11.95) |
|
2φ˜1xz + ψ1xx − ψ1zz |
Как было показано ранее, потенциалы можно представить в следующем виде:
|
Ai ik(x sin αi−z cos αi) |
|
Ar ik(x sin αi+z cos αi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
ikl(x sin α2−z cos α2) |
|
˜ |
|
B2 iks(x sin β2 |
−z cos β2) |
|
|||||||||||||||||||||||
φ˜ = |
ik |
e |
|
|
|
|
|
+ |
ik |
e |
|
|
|
|
|
|
, φ˜1 = |
ikl |
e |
|
|
|
|
, ψ1 |
= |
iks |
e |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.96) |
|
|
|
Подстановка (11.96) в граничные условия (11.94), (11.95) снова приводит нас к |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
законам отражения и преломления Снеллиуса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin αi |
= |
|
sin α2 |
= |
|
sin β2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(11.97) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соответствующая система уравнений относительно неизвестных Ai, A2, B2 заметно |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
упрощается и мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
cos αi(Ar − Ai) = −A2 cos α2 + B2 sin β2, |
|
|
|
|
|
|
|
(11.98) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
λk(Ai + Ar) = λ1klA2 + 2µ1(A2kl cos2 α2 − ksB2 sin β2 cos β2), |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−2klA2 sin α2 cos α2 + B2ks(sin2 β2 − cos2 β2) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ρc/ cos αi |
= Z , ρ1cl/ cos α2 = Zl , |
Zs = ρ1cs/ cos β2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
и используя равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
kl(λ1+2µ1 cos2 α2) = kl(λ1+2µ1)−kl2µ1 sin2 α2 = klρ1cl2−2klρ1cs2 sin2 β2cl2/cs2 = klρ1cl2 cos2 β2, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему (11.98) можно переписать как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos αi(Ai − Ar) = A2 cos α2 − B2 sin β2, |
|
|
|
|
|
|
|
(11.99) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z cos α (A |
i |
+ A |
) = Z cos α |
2 |
cos2 β |
A |
2 |
− |
Z sin 2β |
2 |
cos β |
B |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
r |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Zs A2 sin 2α2 cos β2 + B2Zl cos 2β2 cos α2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Из первых двух уравнений получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2Z cos α |
A |
i |
= (Z |
|
+ Z cos 2β |
)A |
2 |
cos α |
− |
B |
2 |
sin β |
(Z + 2Z cos2 |
β |
) = 0. |
(11.100) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последнего уравнения имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B2 = − |
Zs A2 sin 2α2 cos β2 |
. |
|
|
(11.101) |
||||
|
|
|
|
Zl cos 2β2 cos α2 |
|
|
||||||
Подстановка этого выражения в (11.100) дает |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2Z Zl cos αi cos α2 cos 2β2Ai = DA2, |
|
|
(11.102) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D = (Z + Zl cos 2β2)Zl cos2 α2 cos 2β2 + (Z + 2Zs cos2 β2)Zs sin 2α2 sin β2 cos β2 = |
||||||||||||
|
|
Z (Zl cos2 α2 cos 2β2 + Zs sin 2α2 sin β2 cos β2)+ |
|
|||||||||
|
|
Zl 2 cos2 2β2 cos2 α2 + Zs cos2 β2 sin 2β2 sin 2α2 = |
|
|||||||||
|
|
Z Z (cos 2β2 cos2 α2 + cos α2 sin β2 sin 2α2 sin β2 cos β2)+ |
|
|||||||||
|
|
l |
|
|
cos β2 sin α2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Z (Z cos2 2β2 cos2 α2 + Z sin β2 cos α2 cos2 β2 sin 2β2 sin 2α2) = |
|
|||||||||
|
|
l l |
|
|
s sin α2 cos β2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Z Z cos2 |
α2 + Z cos2 α2(Z cos2 |
2β2 + Z sin2 2β2). |
|
|||||||
|
|
l |
l |
l |
|
s |
|
|
|
|||
Отсюда |
2Z cos αi cos 2β2Ai |
|
|
|
|
|||||||
|
|
A2 = |
|
|
, |
(11.103) |
||||||
|
|
cos α2(Z cos2 2β2 + Z sin2 2β2 + Z ) |
||||||||||
|
|
|
l |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
A2 = |
|
2Z cos 2β2Ai |
|
, |
m = ρ1/ρ, |
nl = cl/c. |
(11.104) |
|||||
mnl(Z cos2 2β2 + Z sin2 |
2β2 + Z ) |
|||||||||||
|
|
l |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (11.101) имеем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B2 = − |
2Z sin 2β2Ai |
|
|
, |
m = ρ1/ρ, |
ns = cs/c. |
(11.105) |
|||||
mns(Z cos2 2β2 + Z sin2 2β2 + Z ) |
||||||||||||
|
|
l |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка равенств (11.104) и (11.105) |
в первое уравнение системы (11.99) дает |
|||||||||||
Ai − Ar |
= |
|
|
|
2Z Ai |
|
|
|
|
. |
|
|
Z cos2 2β2 + Z sin2 2β2 + Z |
|
|||||||||||
|
|
|
l |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
Z cos2 |
|
|
+ Z sin2 |
|
|
|
Z |
|
||
|
|
2β |
2 |
2β |
2 |
− |
(11.106) |
|||||
Ar = Ai |
|
|
l |
|
s |
|
. |
|||||
|
(Z cos2 |
|
|
+ Z sin2 |
|
|
||||||
|
|
2β2 |
2β2 |
+ Z ) |
|
|||||||
|
|
|
l |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
160