Лекции - мат.методы в геофизике

rσ = (xσ, yσ, zσ) = (dσdx , dσdy , dσdz ), ds – элемент длины дуги. В соответствии с установившейся терминологией будем называть экстремалями функционала (9.7) кривые,

удовлетворяющие уравнению Эйлера

M0 по всем направлениям экстремали функционала (9.7). Можно доказать, вводя дополнительные координаты, что существует некоторая окрестность Θ точки M0, в которой через каждую точку M проходит одна и только одна экстремаль (на которой достигается инфимум функционала). Пусть теперь

где интеграл берется по экстремали. Функция τ(M, M0) определяется равенством (9.10) в окрестности Θ точки M0, покрытой полем экстремалей. Если точка M переменная, а M0 фиксирована, то функция τ(M, M0) удовлетворяет уравнению эйконала (9.5). В самом деле, пусть r(σ) = (x0(σ), y0(σ), z0(σ)) (σ [0, 1])– вектор-функция на которой достигается инфимум функционала Ферма, M0 = (x0, y0, z0), M = (x, y, z). Из определения имеем, что x0 = x0(σ, x, y, z), y0 = y0(σ, x, y, z), z0 = z0(σ, x, y, z) и

Из равенств (9.8) вытекает, что последнее слагаемое равно нулю. Из равенств (9.11) имеем, что rx|σ=1 = (1, 0, 0) и rx|σ=0 = (0, 0, 0). Таким образом,

Из этой формулы следует параллельность τ экстремали функционала Ферма. Приравнивая квадраты длин векторов, стоящих слева и справа в равенстве (9.17),

получим уравнение эйконала

| τ|2 = c12 .

Поверхности τ = const, согласно общепринятой терминологии, будем называть волновыми фронтами, а экстремали функционала Ферма - лучами. Только что описанное построение функции τ есть восстановление волнового фронта t = τ по его положению при t = 0 (можно, разумеется, точно так же построить волновой фронт и по его положению при t = t0, t0 = const ≠ 0). Ортогональность вектора τ поверхности τ = const и формула (9.17) показывают, что лучи ортогональны волновым фронтам. В учебниках физики волновой фронт обычно определяется как поверхность постоянной фазы, что хорошо согласуется с данным выше определением. В самом деле, при ω → ∞ из формул W = eiωτ u и (9.3) получаем

Фаза поля W постоянна на движущихся поверхностях t − τ = const , т. е при фиксированном t поверхности постоянной фазы – это поверхности, где постоянна функция τ(M). Построим поверхность волнового фронта в момент времени t. Для этого из каждой точки M0 поверхности Σt0 выпустим луч, перпендикулярный этой поверхности и направленный в сторону возрастания функции τ. Продолжим каждый

72

дает положение волнового фронта Σt в момент времени t (т. е. поверхности τ(M) = t. Резюмируя, можно сказать, что волновые фронты распространяются вдоль лучей, оставаясь все время ортогональными к этим лучам. Это хорошо согласуется с физическим понятием лучей как линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Скорость волнового фронта в точке M0 при t = t0 естественно определить как предел

где |M0, M′| – длина отрезка нормали к Σt0 восстановленной в точке M0 и продолженной до пересечения в точке M′ с Σt. В силу ортогональности луча M0M к Σt0 длина |M0M| луча M0M с точностью до малых высшего порядка совпадает с длиной отрезка M0M′. Из формулы (9.19) легко получаем

1

c(M0)|M0, M| t − t0

откуда

т. е. c(M0) - скорость волнового фронта в точке M0.

9.3Лучевые координаты

Чтобы получить решение уравнений (9.6), введем специальную систему координат, естественно связанную с лучами и волновыми фронтами. Рассмотрим семейство всех лучей, берущих свое начало в некоторой фиксированной точке M0, т. е. центральное поле лучей. За параметр σ, определяющий точки на луче, можно взять эйконал τ:

τ = ∫ M ds. (9.20)

M0 c

Пусть r = r(τ) (r = (x, y, z)) - параметрическое уравнение луча. Введем на данном луче параметр τ. Найдем связи между различными производными Пусть r = r(sigma)

73

– экстремаль функционала Ферма. Имеем

где s – длина дуги. Имеем, используя правило дифференцирования сложной функции, что

равна единице. Задав вектор s0, мы однозначно определяем луч r = r(τ), выходящий из M0, а чтобы задать s0, достаточно задать два определяющих его параметра α, β, например сферические координаты конца вектора s0 на единичной сфере. Итак, в окрестности точки M0 определена система координат α, β, τ: задав α, β, определяем луч; задав τ, находим точку на луче. Таким образом, каждая точка M(x, y, z) есть однозначная функция α, β, τ: x = x(α, β, τ), y = y(α, β, τ), z = z(α, β, τ), или, в векторной форме,

Можно доказать, что в некоторой окрестности M0 параметры α, β, τ – однозначные функции x, y, z. В случае нецентрального поля лучей также можно ввести аналогичную систему координат. Пусть Σ - волновой фронт, на котором τ = τ0 = const. Пусть α и β - параметры, определяющие точки на Σ. Из каждой точки M0 Σ проведем луч, перпендикулярный Σ в точке M0. Точки на луче будем характеризовать величиной эйконала в соответствии с формулой (9.20). Формула (9.24) определяет опять систему криволинейных координат (теперь уже в окрестности Σ). Здесь α, β - коор-

динаты точки M0, в точке M на луче τ = τ0 ±∫ M c−1 ds, τ0 = const. С одной стороны

M0

Σ следует всегда брать знак +, с другой - знак −. Координаты α, β, τ как в случае центрального, так и в случае нецентрального поля называются лучевыми координатами. Зафиксировав α, β в формуле (9.24), получим луч, зафиксировав τ - волновой фронт. Векторы rα и rβ лежат в касательной плоскости к волновому фронту, поэтому rα и rβ перпендикулярны rτ :

74

Найдем |rτ |. Пусть σ – произвольный параметр на данном луче и r = r(σ). Аналогично строятся лучевые координаты и в плоском случае. Здесь, чтобы охарактеризовать луч, достаточно задать один параметр α, и переход от координат α, τ к декартовым координатам в векторной форме запишется в виде

Вернемся к трехмерному случаю. Введем понятие лучевой трубки. Лучевой трубкой называется совокупность лучей, отвечающих параметрам α, β, меняющимся в бесконечно малом прямоугольнике на плоскости α, β:

Площадь нормального поперечного сечения лучевой трубки равна Jdαdβ, причем

где [rα, rβ] - векторное произведение векторов rα и rβ. Нетрудно показать, что J =

Если A – матрица Якоби, det A = J0, то легко увидеть, что

(Gξ, η) = (Aξ, Aη), т.е. G = A A, det G = (det A)2 = J02.

Но (rα, rτ ) = 0, (rβ, rτ ) = 0, (rτ , rτ ) = c2. Подставляя это в det G получим,

()

Но как мы знаем EG − F 2 = |[rα, rβ]| = A2 + B2 + C2 = J2, где [rα, rβ] = (A, B, C). Таким образом, J = 1c J0. Поле лучей при выполнении эквивалентных друг другу неравенств J ≠ 0 или J0 ≠ 0 называется регулярным. Величина J играет важную роль в дальнейшем. Чем больше J, тем больше расходятся лучи. Величину J называют поэтому расходимостью поля лучей или просто расходимостью. В плоском случае аналогом лучевой трубки является совокупность лучей α0 ≤ α ≤ α0 + dα, a аналогом величины J - длина вектора rα, т. е. J = |rα|. Если c = const, то уравнения Эйлера для лучей дают r = aσ + b, где a, b – постоянные векторы, т. е. в этом случае лучи являются прямыми.

75

Обратимся к плоскому случаю. Пусть ρ0- радиус кривизны волнового фронта τ = τ0 в точке M = M0. Лучи при c(M) = c = const будут просто нормалями к кривой τ = τ0. Очевидно, что радиус кривизны волнового фронта τ = τ1 в точке M1 будет ρ0 + c(τ1 − τ0).

Из подобия двух бесконечно тонких треугольников с основаниями dΣ и dΣ0 и

вершиной O (O - центр кривизны), легко получаем*) J = dΣ = (ρ0 + c(τ1 − τ0))/ρ0.

dΣ0

В трехмерном случае аналогичная формула выводится столь же легко из геометрических соображений

M0, c = const - скорость распространения волн. Используя понятие лучевой трубки, выведем важную для дальнейших рассмотрений формулу для ∆τ. Воспользуемся равенством

где |Ω| – мера Ω, n - единичная внешняя нормаль к S = ∂Ω. За Ω возьмем область, ограниченную лучевой трубкой и двумя бесконечно близкими волновыми фронтами

τ(M) = τ и τ(M) = τ +dτ. На боковой поверхности лучевой трубки ∂n∂τ = 0, на торцах

τ(M) = τ и τ(M) = τ + dτ имеем ∂n∂τ = ±1c , где c - скорость в соответствующей точке.

dn - высота параллелепипеда Q, dn = |rτ | dτ = cdτ. Подставляя (9.31), (9.30) в (9.29) находим

Производная здесь берется вдоль луча. Вывод формулы (9.32) вполне аналогичен классическому выводу выражения для оператора Лапласа в произвольных ортогональных координатах. В плоском случае формула (9.32) также имеет место.

76

9.4Основные рекуррентные формулы лучевого метода.

Обратимся к уравнениям переноса (9.6). Их удобнее всего записать в лучевых координатах. Рассмотрим случай s = 0:

ко от луча и из уравнения (9.35) не определяется. Формула (9.36) имеет отчетливый физический смысл, к выяснению которого мы и переходим. Вернемся к динамиче-

Во всех случаях, когда волновой процесс описывается уравнением (9.37), выражение

имеет смысл плотности энергии (const зависит от выбора единиц измерения энергии). Рассмотрим лучевую трубку, определенную в предыдущем параграфе. Пусть dΩ0 - объем, вырезаемый двумя бесконечно близкими волновыми фронтами

τ = τ0, τ = τ0 + dτ.

Если это положение волновые фронты занимали в момент времени t0, то в момент t они будут занимать положение

Пусть dΩ1 - объем, который вырезают волновые фронты (9.41) из лучевой трубки. Потребуем, чтобы энергия волнового поля в объеме dΩ0 совпала с его энергией в объеме dΩ1 (с точностью до главных членов). Подставляя в равенство

(где M0 - точка с лучевыми координатами α0, β0, τ0, M - точка с лучевыми координатами α0, β0, τ, причем τ = τ0 + t − t0), выражение (9.18), т. е.

W e−iω(t−τ)u 1

0 (−iω)γ

Заменяя dΩ0 и dΩ1, выражениями c(M0)J(M0)dαdβdτ и c(M)J(M)dαdβdτ, придем к формуле

эквивалентной формуле (9.36). Таким образом, формула (9.36) означает, что энергия внутри бесконечно малого объема dΩ0 при движении его с волновым фронтом в первом приближении не меняется. Формула (9.42) показывает, в частности, как расходимость лучей, т. е. величина J, влияет на интенсивность волнового поля. Вернемся к интегрированию уравнений переноса. Пусть теперь s > 0. Записывая уравнение переноса при s > 0 в лучевых координатах, получим

√√

Здесь интеграл берется по лучу и ψ(α, β), τ(α, β) - произвольные функции. Таким образом, решение уравнений переноса определяется последовательностью функций ψ0, ψ1, . . ., для нахождения которых нужна дополнительная информация о функции u(M, ω). Формулы (9.45) и (9.36) лежат в основе применений лучевого метода к конкретным задачам коротковолновой асимптотики волнового поля.

78

9.5Поведение лучей в среде, где скорость зависит от одной декартовой координаты

Предположим, что скорость c = c(z) является непрерывной функцией, которая меняется только вдоль оси z. Согласно уравнениям Эйлера

В правой части первых двух уравнений этой системы стоит 0 и значит

Покажем сначала, что все лучи лежат в вертикальной плоскости. Для доказательства введем вектор М следующим образом:

M = k × nrs = k × s0, s0 = rs,

где k единичный вектор в направлении оси z. Дифференцирование M по s дает

Таким образом, вектор M вдоль луча не меняется: M = const. Поскольку вектор M параллелен плоскости xoy, все точки луча расположены в одной и той же вертикальной плоскости. Это следует также из того, что согласно (9.47) имеем, что величина ys/xs есть постоянная.

9.5.1Закон Снеллиуса.

Пусть источник расположен в начале координат 0. Тогда распределение лучей обладает осевой симметрией относительно вертикальной оси z. Поэтому достаточно рассмотреть их поведение в одной из плоскостей, содержащих эту ось. Для простоты будем предполагать, что луч расположен в плоскости x0z. Уравнения тогда запишутся как

Здесь θ - угол между осью z и направлением луча. Таким образом, первое из соотношений (8.50) можно записать как

где p – параметр луча, который часто называют медленностью. Последняя формула описывает закон Снеллиуса в среде с непрерывным изменением скорости вдоль оси z. Согласно этому закону отношение синуса угла падения θ к скорости c(z) остается в каждой точке луча постоянным. Однако это отношение может изменяться от одной лучевой траектории к другой. Пусть скорость распространения и угол падения в окрестности источника равны соответственно c0 и θ0. Тогда закон Снеллиуса записывается как

а лучевой параметр p равняется p = sinθ0 . Размерность этого параметра |p| = c·м−1 а

c0

его величина меняется в диапазоне 0 ≤ |p| ≤ 1/c0. Соотношение (9.49) представляет собой уравнение луча. Если известны параметр p и функция c(z), то можно найти соответствующий им луч. Выразим второе из соотношений (9.48) через функции θ и c. Дифференцирование левой части этого выражения дает

Уравнение луча в этом виде полезно также для понимания лучевой геометрии. Как упоминалось ранее, угол падения - это угол между направлением луча и осью z, измеряемый против часовой стрелки. По определению, кривизна луча определяется как K = dθ/ds и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Таким образом, равенство (9.52) можно переписать как

80