03_Электричество
.pdfгде E2τ - проекция вектора E2 на направление вектора τ, касательного к поверх-
ности.
Пусть h → 0 .
Тогда 2-й и 4-й интегралы равны нулю. Пусть l настолько мал, что в пределах l
E1 = const , E2 = const .
Запишем
∫E1τdl − ∫E2τdl = 0 ,
l l
E1τl − E2τl = 0 , E1τ = E2τ .
4. Преломление линий векторов E и D
В общем случае при переходе через границу раздела изменяются направ-
r
ления как вектора напряженности E , так и электрического смещения D . Пусть вектор E1 образует с нормалью к поверхности угол α1 , а вектор E2
образует с той же нормалью угол α2 .
Запишем граничные условия для E и D при отсутствии сторонних зарядов на поверхности раздела
E1τ = E2τ ,
D1n = D2n ,
D1n = ε0 ε1E1n , D2n = ε0 ε2 E2n , ε0ε1E1n = ε0ε2 E2n ,
|
|
|
|
ε1E1n |
|
= ε2 E2n , |
|
|
||||
E1τ |
= |
E2τ |
, |
|
E1τ E1n |
= |
E2τ E2n |
, |
||||
ε1E1n |
|
|
ε2 E2n |
|
|
ε1 |
ε2 |
|||||
|
|
E1τ |
= tgα1 |
, |
E2τ |
= tgα2 , |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
E1n |
|
|
E2n |
|
|
61
tgα1 |
= |
tgα2 |
, |
|||||
|
ε1 |
|
|
ε2 |
||||
|
tgα1 |
= |
|
ε1 |
. |
|||
|
tgα2 |
|
|
|
ε2 |
Это закон преломления силовых линий вектора E и линий вектора D .
Вычисление электрического поля в диэлектрике
Пусть однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε помещается во внешнее поле напряженностью E 0 .
Вследствие поляризации диэлектрика в нем возникает электрическое поле E′. Напряженность поля, действующего на молекулы диэлектрика равна:
r E = E0 + E′.
Поле E принято называть локальным полем. Видно, что локальное поле отличается от внешнего поля.
1. Электрическое поле в вакууме и диэлектрике
Пусть электрическое поле создается фиксированной системой сторонних
зарядов. Пусть в некоторой области пространства, где нет вещества, т.е. в ва-
r r
кууме поля известно: E 0 , D0 , ϕ0 .
E 0 = Er0 (x, y, z), D0 = D0 (x, y,z), ϕ0 = ϕ0 (x, y,z).
Заполним эту область однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, оставляя распределение сторонних зарядов неизменными.
62
В этом случае имеем
E = E(x, y, z), D = D(x, y,z), ϕ = ϕ(x, y,z).
Запишем
divD0 = ρ, divD = ρ.
Следовательно,
D = D0 ,
D0 = ε0 E0 , D = ε0εE0 ,
ε0εE = ε0 E0 ,
Er = Eε0 , E = −gradϕ ,
E0 = −gradϕ0 ,
Eε0 = −gradϕ ,
−εgradϕ = −gradϕ0 , gradϕ = grad ϕε0 ,
ϕ= ϕε0 .
Итак
Er = Eε0 ,
ϕ = ϕε0 ,
D= D0 .
2.Точечный заряд в диэлектрике
Имеется однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью
ε = const .
Поместим в диэлектрик точечный заряд q .
63
Найдем напряженность электростатического поля E как функцию расстояния r от точечного заряда. Теорему Гаусса для E здесь применить нельзя, т.к. вследствие поляризации возникают связанные заряды, так же создающие электрическое поле. Поэтому используют теорему Гаусса для вектора D .
Проведем сферическуюr |
поверхность S |
радиуса r с центром в точке на- |
||||||||||||
хожденияr |
q . Поле вектора D |
будет центрально-симметричным, направление |
||||||||||||
вектора D |
проходит через центр сферы и модуль D зависит только от r . Запи- |
|||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шем теорему Гаусса для D . |
∫D dS = q , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫D dScosα = q , |
||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = (nr, D)= 0 , |
||||||||||||
|
|
∫D(r)dS = q , |
|
|
||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(r)∫dS = q , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
= q , |
|||||||
|
|
D(r)4πr2 |
||||||||||||
|
|
D(r)= |
|
q |
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
4π r2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
D = ε0εE , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
E = |
1 |
|
|
|
|
q |
|
, |
|
|||
|
|
4πε0ε |
r2 |
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
|
|
r |
. |
||
|
|
E = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4πε0ε |
r 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
Легко получить для потенциала
ϕ= 4π1ε0 ε qr .
3.Диэлектрик между параллельными пластинами
На изолированных заряженных пластинах равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью (+ τ) и (− τ).
64
В отсутствие диэлектрика между пластинами напряженность поля равна
E0 = ετ0 ,
(1+ κ)E = |
|
|
τ |
, |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
ε0 |
||
1+ κ = ε , |
||||||
εE = |
τ |
|
|
, |
|
|
ε0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
E = |
|
τ |
|
. |
|
|
ε0 ε |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Пусть d - расстояние между пластинами. Обозначим
U0 - напряжение между пластинами в отсутствие диэлектрика, U - напряжение между пластинами с диэлектриком.
Так как выполняется условие E 0 |
= const , E = const , то |
|||||
U0 = E0d , U = Ed , |
||||||
|
U |
= |
E |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|||
|
U0 |
E0 |
ε |
U = Uε0 .
Легко показать, что
D = D0 .
Направление E0 показано на рисунке. Заполним область между пласти-
нами однородным диэлектриком с проницаемостью ε. Вследствие поляризации на поверхностях диэлектрика появятся связанные заряды с плотностью τ′ и - τ′. Рассматривая эти поверхности как параллельные пластины запишем для напряженности поля E′, создаваемого связанными зарядами
E′ = τ′ . r ε0
Направление вектора E′ противоположно направлению вектора E 0 . Р6езультирующее поле в диэлектрике найдем по принципу суперпозиции
65
E= E0 + E′.
Сучетом направлений векторов
E= E0 − E′,
E = |
τ |
− |
τ′ |
, |
ε0 |
|
|||
|
|
ε0 |
τ′ = Pn = κε0 En = κε0 E ,
E = |
τ |
− |
κε0 E |
. |
ε0 |
|
|||
|
|
ε0 |
4 Диэлектрический шар в однородном поле
Пустьr шар из однородного диэлектрика вносят в однородное электрическое поле E0 . До поляризации в диэлектрике имелась однородная смесь положительных зарядов с объемной плотностью ρ+ и отрицательных зарядов с объемной плотностью ρ− .
Обозначим
ρ+ = ρ, ρ- = -ρ+ = −ρ.
Под действием поля все заряды одного знака, например, положительные смещаются на одно и тоже расстояние l в одном направлении.
При этом шар отрицательных зарядов с центром O− остается неподвижным и появляется шар положительных зарядов с центром O+ .
Обозначим
l - вектор, проведенный из O− в O+ .
Возьмем точку внутри диэлектрика и проведем в нее радиусы-векторы из центров шаров, обозначим их r− и r+ .
Обозначим
E- , E + - напряженность поля в этой точке, создаваемая отрицательными и положительными зарядами.
Напряженность поля, создаваемого всеми зарядами равна
E′ = E− + E+ , Er+ = ρ3+εr0+ = 3ρεr+0 ,
66
r |
|
ρ− r− |
|
|
|
|
- ρr− |
, |
||||||
E − = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
3ε0 |
|
|
|
3ε0 |
||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ρ |
|
(rr+ − rr− ), |
||||||||||||
E′ = |
|
|||||||||||||
3ε0 |
||||||||||||||
l + rr+ |
= rr− , |
|
||||||||||||
rr+ − rr− = −l , |
|
|||||||||||||
r |
′ |
|
|
|
ρl |
|
|
|
|
|||||
E |
= −3ε0 |
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
ρl = nql = npr0 = P , |
||||||||||||||
где n - концентрация молекул (диполей), |
|
|
q - положительный заряд диполя, |
|||||||||||
p0 - дипольный электрический момент, |
P - поляризованность диэлектрика. |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
′ |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|||||
E |
= − 3ε0 . |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
Локальное поле будет равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = E0 + E′, |
|
|||||||||||||
r |
|
|
r |
|
|
|
P′ |
. |
|
|||||
E = |
E0 |
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3ε0 |
|
Виды диэлектриков
1. Неполярные диэлектрики
Под действием внешнего электрического поля E0 молекулы диэлектрика
приобретают дипольный электрический момент, равный: pr0 = βε0 E , P = κε0 E , P = npr0 ,
где β - поляризуемость молекулы.
Диэлектрическая восприимчивость κ и диэлектрическая проницаемость ε
вещества связана с поляризуемостью молекулы β .
r r
Разреженные газы: E = E0 + E′, E′ << E0 , E = E0
κ= βn ,
ε=1+βn .
Плотные газы, жидкости, твердые тела: E = E0 + E′.
κκ+ 3 = 13 βn , εε+-12 = 13 βn .
Это формула Клаузиуса-Моссоти.
67
2. Полярные диэлектрики
Молекулы имеют дипольные моменты p0 . Введем систему координат так, что ось z совпадает с направлением вектора электрического поля в диэлектрике
E .
Под действием поля дипольные моменты стремятся установиться по направлению поля. В то же время тепловое движение молекул рассматривает упорядочивающее действие электрического поля.
Обозначим
poz -среднее значение проекции дипольного электрического момента молеку-
лы на ось z , совпадающий с направлением вектора E . Расчет дает
poz = p0 L(a),
a = |
p0 E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
kT |
|
|
|
|
L(a)= |
ea + e−a |
− |
1 |
. |
||
ea −a −a |
|
|||||
|
|
a |
Здесь
T - температура диэлектрика, k - постоянная Больцмана.
Выражение L(a) называется функцией Ланжевена. График функции имеет следующий вид.
68
Рассматривают два случая.
a <<1.
pkT0 E <<1,
В этом случае
L(a)= a3 ,
a >>1 .
pkT0 E >>1,
p0 E << kT .
( )= p2 E .
L a 0 3kT
p0 E >> kT .
В этом случае
L(a)=1,
poz = p0 .
Все дипольные моменты параллельны между собой и направлены вдоль
r r
вектора E . Поляризованность будет максимальной. Значение E , при котором выполняется условие a >>1 называется напряженностью поля насыщения.
При T = 300 K Eн = 4 |
108 |
В |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
Для разреженных газов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E = E0 , E < Eн , a <<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r |
r |
= |
np2 |
|
r |
|
|
= κε0 E , |
||
|
|
|
|
P = n poz |
|
|
0 |
|
E , P |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3kT |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
κ = |
|
np02 |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3kTε0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ε =1+ |
|
np02 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k Tε0 |
|
3. Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектриками называются диэлектрики, обладающие поляризованностью при отсутствии электрического поля.
Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков может достигать больших значений (ε ≈104 ) и зависит от напряженности электрического поля сложным образом.
69
ε = ε(E).
Запишем
P = κε0 E = (ε −1)ε0 E .
График зависимости P от E представлен на рисунке. Кривая называется петлей гистерезиса. Отрезок ОА характеризует остаточную поляризованность. Отрезок ОВ характеризует значение E , при котором остаточная поляризованность исчезает.
При повышении температуры выше значения Tk сегнетоэлектрические свойства диэлектрика исчезают и он превращается в обычный диэлектрик с полярными молекулами. Температура Tk называется температурой Кюри и харак-
теризует точку Кюри.
Диэлектрическая восприимчивость вблизи температуры Кюри изменяется по закону
κ = Т −АТ0 , ( )
где А- константа, T0 - температура Кюри-Вейса.
Часто можно считать, что
T0 ≈ Tk .
Выражение ( ) называется законом Кюри-Вейса.
Теория сегнетоэлектриков лежит вне рамок курса общей физики. Качественное описание процессов сводится к следующему.
Если взаимодействие дипольных электрических молекул оказывается достаточно сильным, то дипольные моменты молекул ориентируются в одном и том же направлении и возникает спонтанная поляризация.
Состояние спонтанной поляризации и является сегнетоэлектрическим состоянием диэлектрика. При этом весь объем диэлектрика разделяется на малые области со спонтанной поляризацией, которые называются доменами.
70