03_Электричество
.pdfгде (-dϕ) - убыль потенциала на элементарном перемещении.
Потенциальность электростатического поля
Проведем в электростатическом поле плоский замкнутый контур произвольной формы и обозначим его L .
Пусть из некоторой начальной точки 1 контура точечный заряд перемещается вдоль контура и оказывается в конечной точке 2, совпадающей с начальной точкой.
drl - элементарноеОбозначим перемещение заряда вдоль контура.
При элементарном перемещении над точечным зарядом q совершается элементарная работа r r
r
dA=F dl=qE dl ,
где E - напряженность электростатического поля в пределах элемента контура
drl .
Работа при перемещении по замкнутому контуру равна
A = ∫F dl = q∫E dl .
r |
L |
L |
|
|
|
называется циркуляцией вектора E вдоль контура L . |
|||||
Величина ∫E dl |
|||||
L |
|
|
|
|
|
Запишем |
A=q (ϕ1 −ϕ2 ), |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
ϕ1 =ϕ2 , |
|
|
|
|
|
A=0 , |
|
|
|
|
q∫E dl = 0 , |
|
|
||
|
|
L |
|
|
|
|
∫E dl = 0 . ( ) |
|
|
||
|
L |
|
r |
по лю- |
|
В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности |
|||||
E |
бому замкнутому контуру равна нулю.
Условие ( ) есть необходимое и достаточное для того, чтобы поле было
электростатическим.
В математике известна теорема Стокса
31
∫ar dl = ∫rotar dS ,
L S
где ar - вектор, L - контур в поле вектора a , S - произвольная поверхность, ограниченная контуром L , rot ar- ротор вектора a .
В декартовых координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ri |
|
rj |
|
kr |
|
r |
∂a |
|
∂ay |
|
r |
∂a |
|
|
∂a |
|
r ∂ay |
|
∂a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
rot a= |
|
|
|
|
|
|
|
= i |
|
z − |
|
|
− j |
|
z |
− |
|
x |
+k |
|
− |
|
x . |
∂x |
|
∂y ∂z |
|
∂z |
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂x |
|
∂z |
|
|
∂y |
||||||||||
|
|
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для электростатического поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫E dl =∫rotE dS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫rotE dS = 0 .
S
Для того, чтобы это равенство было справедливо для любой поверхности, необходимо, чтобы
rot E=0 .
Итак, для электростатического поля имеем
∫E dl = 0 ,
L
rot E=0 . ( )
Поле, удовлетворяющее условию ( ), называется потенциальным. Элек-
тростатическое поле является потенциальным. Потенциальность электростатического поля обусловлена тем, что кулоновские силы консервативны.
Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля
Точечный заряд q находится в точке (x,y,z) электростатического поля. Потенциальная энергия заряда равна
υ=qϕ(x,y,z) .
Сила, действующая на заряд со стороны поля равна
r
F=qE(x,y,z) .
С другой стороны
F= −grad υ = −grad (qϕ), F = −q grad ϕ(x, y,z),
32
q E(x, y,z)= −q gradϕ(x, y,z), |
|
|
||||||||||
|
|
E = −gradϕ , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
E=Ex i+Ey rj+Ezkr , |
|
|
|
|
||||||
gradϕ= |
∂ϕ r |
∂ϕ r |
∂ϕ r |
|
|
|
||||||
∂x |
i + |
∂y |
j + |
∂z |
k . |
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂ϕ |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
Ex = − |
, E y |
= − |
|
, |
Ez = − |
, |
||||||
∂x |
∂y |
|
∂z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E = E2x + E2y + Ez2 , |
|
|
|
|
|||||||
E = |
|
∂ϕ 2 |
∂ϕ |
|
2 |
∂ϕ |
2 |
|
|
|||
|
∂x |
|
+ |
∂y |
|
+ |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
Математические свойства потенциала
Из физического смысла потенциала, связи потенциала с напряженностью электростатического поля следует важное свойство потенциала.
Потенциал есть непрерывная и однозначная функция координат с конечными производными координатами.
Свойство непрерывности часто приходится использовать для определения неизвестных постоянных, возникающих при интегрировании уравнений при нахождении потенциала.
Пусть, например, в результате решения получены следующие функции для ϕ .
x ≤ a, ϕ1 (x)x ≥ a, ϕ2 (x) .
Из непрерывности потенциала следует, что
ϕ1 (a)=ϕ2 (a).
Эквипотенциальные поверхности
Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал.
ϕ(x,y,z)=const .
Пусть точечный заряд q совершает элементарное перемещение dl вдоль эквипотенциальной поверхности.
33
Элементарная работа, совершается над зарядом, равна dA = q(−dϕ) ,
ϕ = const , dϕ = 0 ,
dA = 0 .
С другой стороны,
dA = F dl = qE dl ,
где E - напряженность электростатического поля qE dl = 0 ,
q ≠ 0 , E ≠ 0 , dl ≠ 0 .
Отсюда следует, что
E dl , E dl = 0 .
Эквипотенциальная поверхность всегда перпендикулярна вектору напряженности (силовой линии электростатического поля).
Будем перемещать заряд q вдоль силовой линии на следующую эквипотенциальную поверхность:
ϕ + dϕ = const .
Запишем
qE dl = −qdϕ , E dl = −dϕ , E dl cosα = −dϕ ,
где α - угол между векторами E и dl |
и он может быть равен 0 или π. |
Пусть dϕ > 0 . Тогда E dl cosα < 0 , |
α = π. |
В этом случае направление вектором dl и E противоположны и E направлен так, как показано на рисунке.
Пусть dϕ < 0 . Тогда E dl cosα > 0 , α = 0 .
В этом случае направления векторов dl и E совпадают.
34
Сформулируем вывод.
Вектор напряженности электростатического поля всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям, проведенном в этом поле и направлен в сторону убывания потенциала.
Обычно эквипотенциальные поверхности проводят таким образом, чтобы разность потенциалов двух соседних поверхностей имела одно и тоже значение. При этом по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля.
Вычисление потенциалов электростатических полей
1. Равномерно заряженная сферическая оболочка
Заряд q равномерно распределен по поверхности сферической оболочки радиуса R . Эквипотенциальные поверхности имеют вид концентрических сфер, центр которых совпадает с центром оболочки.
Обозначим E - напряженность электростатического поля оболочки. Силовые линии представляют собой радиальные прямые проходящие че-
рез центр сферы O .
Проведем ось r , начало которой совпадает с центром O . Пусть точечный заряд q0 перемещается вдоль оси r между двумя эквипотенциальными поверх-
ностями с потенциалами ϕ и (ϕ +dϕ). Запишем для него
r r |
= −q0dϕ , |
r |
= −dϕ , |
q0 Edr |
E dr |
||
|
|
|
35 |
E drcosα = −dϕ , Ecosα = Er ,
Er dr = −dϕ , Er = − |
dϕ |
, |
|
dr |
|||
|
|
где Er - проекция вектора напряженности электростатического поля на направ-
ление вектора элементарного перемещения dr , а значит, и на направление оси
r .
Область r ≥ R .
В этом случае вектор E направлен вдоль оси r , в направлении этой оси, если заряд оболочки положительный и противоположно оси, если заряд отрицательный. Найдем проекцию вектора E на ось r .
q > 0, |
, |
Er |
= |
|
|
E |
|
= |
|
q |
|
|
|
= |
|
q |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
q |
= q |
4πε0 r2 |
|
|
4πε |
0 r2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
q < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
- |
|
q |
|
|
|
|
q |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
, |
Er = − |
|
E |
|
= − |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||||||||||||
q=- |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4πε r2 |
|
|
4πε |
|
r2 |
4πε r2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак
Er = 4πεq0 r2 ,
где q - заряд сферической оболочки. Подставим
q |
dr = −dϕ , |
4πε0 r2 |
∫dϕ = − 4πqε0 ∫drr2 ,
ϕ= 4πqε0r +const .
Условие нормировки потенциала
r = ∞ , ϕ = 0 .
Отсюда
const=0 , ϕ = 4π1ε0 qr .
Область r ≤ R .
В этой области
E=0 , Er = 0 .
Следовательно,
0 = −dϕ , dϕ = 0 , ϕ = const , ϕ0 = const .
Используем условие непрерывности потенциала, найдем значение ϕ в точке r=R .
ϕ(R)= 4π1ε0 Rq .
36
Значение ϕ0 равно const везде, в том числе и на поверхности оболочки,
т.е.
ϕ0 (R)=const .
Из непрерывности потенциала запишем
ϕ0 (R)=ϕ(R),
ϕ0 (R )= 4π1ε0 Rq , ϕ0 = 4π1ε0 Rq .
Потенциал во всех точках внутри сферической заряженной оболочки имеет одно и то же значение, равное потенциалу оболочки.
2. Равномерно заряженный шар
Шар радиусом R заряжен равномерно с постоянной объемной плотностью заряда ρ .
Запишем формулу, полученную ранее
Er dr = −dϕ .
Область r ≥ R .
Er = 4πqε0r2 , q=ρ 43 π R3 ,
37
|
|
|
q |
|
|||
|
|
|
|
dr = −dϕ , |
|||
|
|
4πε0 r2 |
|||||
|
∫dϕ = − |
q |
∫drr2 , |
||||
|
4π ε0 |
||||||
ϕ = |
1 |
q +const , const=0 , |
|||||
4π ε0 |
|||||||
|
r |
|
ϕ = 4π1ε0 qr ,
q=ρ 43 π R3 ,
ϕ(R )= 4π1ε0 Rq .
Область r ≤ R .
Er = 3ρεr0 ,
ρr |
dr = −dϕ , |
∫dϕ=- |
ρ |
|
∫rdr , |
|
|
|
|||
3ε0 |
|
3ε |
0 |
|
ϕ = − ρr2 + const , 6ε0
ϕ(R)= −ρR 2 + const . 6ε0
Используем условия непрерывности потенциала
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ρ 3 |
π R |
|
= - |
ρR2 |
+const , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
4π ε |
0 |
|
R |
|
|
|
|
6ε0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ρ R2 |
= - |
ρR2 |
+const , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3ε0 |
|
|
|
|
6ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
const= |
ρ R2 |
= |
|
3ρR2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ε0 |
|
|
|
|
|
6ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕ(r)= − |
ρr2 |
+ |
|
3ρρ 2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
6ε0 |
|
|
6ε0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ(r)= |
3ρR |
2 |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ρR |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3R |
|
|
|
|
|
|
1 |
3R |
. |
||||||||||||
|
|
6ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ε0 |
|
|
|
3. Равномерно заряженный бесконечно длинный цилиндр.
Бесконечно длинный цилиндр радиуса R равномерно заряжен по боковой поверхности так, что линейная плотность заряда равна λ.
Поле цилиндра, как и поле тонкой нити, обладает радиальной симметрией.
38
Эквипотенциальные поверхности имеют вид коаксиальных (имеющих общую ось) цилиндров, ось которых совпадает с осью заряженного цилиндра.
Ось r перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям. Вектор напряженности электростатического поля направлен по оси, если λ>0 и противоположно оси, если λ<0 .
Область r ≤ R .
Внутри цилиндра заряд отсутствует и из теоремы Гаусса следует, что напряженность поля равна нулю
E=0 .
Запишем
Erdr=-dϕ ,
E=0 , Er =0 , −dϕ = 0 , ϕ = const =ϕ0 ,
ϕ =ϕ0 , ϕ(R)=ϕ0 .
Все точки внутри цилиндра, включая его поверхность, имеют один и тот же потенциал.
Область r ≥ R .
В таком случае, как и для нити
|
|
|
|
E = |
|
|
λ |
|
. |
|
|
||
r |
|
|
2πε0 r |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проекция E на ось r |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Er = |
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
2πε0 r |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
λ |
|
dr = −dϕ , |
|
||||||
|
|
2πε0 r |
|
||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
dr |
|
||||
|
∫dϕ = − |
|
|
∫ |
, |
||||||||
|
|
2πε0 |
r |
||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|||||
|
ϕ = − |
|
|
|
ln r + const , |
||||||||
|
|
2πε |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
ϕ(R)= − 2πλε0 ln R + const .
Условие нормировки потенциала
ϕ(R)= 0 ,
0 = - 2πλε0 ln R+const , const= 2πλε0 ln R .
Подставляем в выражение для ϕ и получаем
ϕ = - 2πλε0 ln r+ 2πλε0 ln R , ϕ = - 2πλε0 ln Rr .
Из непрерывности потенциала получим
ϕ0 =ϕ(R)= 0 .
Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
Запишем известные нам выражения
div E=r ρ ,
ε0
E = −gradϕ ,
div(−gradϕ) = ρ ,
ε0
−div gradϕ = |
ρ |
, |
||
|
|
|||
|
|
ε0 |
||
div gradϕ = − |
|
ρ |
. |
|
|
|
|||
|
|
ε0 |
Полученное выражение называется уравнением Пуассона. В случае, когда ρ=0 , оно переходит в уравнение Лапласа.
div gradϕ = 0 .
Вместо записи div grad используют следующее обозначение
2 =div grad , ( )
2ϕ = - ρ ,
ε0
2ϕ = 0 .
Выражение ( ) называется оператором Лапласа или лапласианом. В декартовых координатах
2 |
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
|
+ |
∂2 |
, |
||
∂x 2 |
∂y2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂z2 |
||||||
∂2ϕ |
+ |
∂2ϕ |
+ |
∂2ϕ |
= − |
ρ |
, |
|||
∂x 2 |
∂y2 |
∂z2 |
|
|||||||
|
|
|
|
ε0 |
40