03_Электричество
.pdf
Участок dS должен быть настолько малым, чтобы его можно было считать плоским, а электростатическое поле в его пределах можно было бы считать однородным.
Проведем вектор нормали n , перпендикулярный к участку dS. Вектор n - это единичный вектор
nr =1.
Проведем вектор напряженности E электростатического поля в точке пересечения силовой линии с началом вектора нормали.
Обозначим |
r |
α- угол между векторами n и E . |
|
Элементарным потоком вектора напряженности электростатического по-
r
ля (вектора E ) через бесконечно малый участок поверхности называется скалярная величина
dФE = EdScosα , мВ м2 = В м.
Данное выражение можно записать иначе
EdScosα = E nrdS = E dS , dS = nrdS ,
dSr = dS,
dФE = E dS ,
где dS - вектор, модуль которого равен площади элементарного участка dS, а
направление совпадает с направлением вектора нормали n к этому участку.
r
Алгебраическая сумма элементарных потоков вектора E через все эле-
ментарные участки, на которые разбита некоторая поверхность, называется по-
r
током вектора E через эту поверхность
N r r
ФE = ∑Ei dSi . i=1
При очень большом числе слагаемых N в правой части имеем интеграл по поверхности S
ФE = ∫E dS.
S
11
В случае, если поверхность S замкнутая, то интеграл обозначается «кружочком»
ФE = 
∫E dS .
S
Для замкнутой поверхности вектор нормали всегда проводят «наружу».
r
Теорема Гаусса для электростатического поля (вектора E )
Окружим точечный заряд q > 0 произвольной замкнутой поверхностью S .
Выделим на этой поверхности элемент dS , найдем элементарный поток вектора E через этот элемент.
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
dScosα, |
|
dФ = E dS = EdScosα = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
r2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 πε0 |
|
|
|||||||||
dФ = |
|
|
q |
|
|
|
dScosα |
= |
|
q |
|
|
|
|
|
dΩ, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 πε0 |
|
4πε0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
dScosα =
r2 dΩ,
где dΩ- элементарный телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS с вершиной в точке расположения точечного заряда q .
Поток вектора E через всю поверхность S равен
12
Ф = ∫dФ = ∫ |
|
|
|
q |
dΩ = |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
∫dΩ. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4πε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Интеграл равен 4π и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ф = |
|
|
|
q |
|
|
|
4π = |
|
|
q |
|
|
|
|
= |
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4πε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пусть теперь q < 0 . Тогда |
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dФ = EdScos(π−α)= −EdScosα = − |
|
|
|
|
q |
|
|
|
dScosα |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 πε0 |
r2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ф = − |
|
|
q |
|
|
|
|
∫dΩ = − |
|
|
q |
|
|
= |
|
|
q |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
В общем случае
Ф= q ,
ε0
где q - алгебраическая величина заряда (с учетом знака заряда). Пусть теперь заряд q находится вне замкнутой поверхности S′.
В этом случае запишем
qq 2 1
Ф= ∫4πε0 dΩ = 4πε0 ∫1 dΩ+ ∫2 dΩ ,
Ф = |
|
|
|
q |
(Ω12 + Ω21 ). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4πε0 |
и Ω21 равны по величине и противо- |
||||||
Легко сообразить, что значения Ω12 |
|||||||||
положны по знаку. На участке 12 углы α1 |
всегда меньше |
π |
и сosα1 > 0 , на уча- |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
стке 21 углы α2 напротив больше |
|
|
и сosα2 < 0 . |
|
|
||||
2 |
|
|
|||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ω12 = −Ω21 , |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Ω12 +Ω21 |
= 0 , |
|
|
|||||
13
Ф = 0 .
Рассмотрим теперь систему точечных зарядов. Проведем замкнутую поверхность S , которая охватывает часть точечных зарядов.
Обозначим
q1 ,q2 ,..qi ,..qn - точечные заряды, находящиеся внутри поверхности S , qn+1 ,qn+2 ,..qk ,..qm - точечные заряды вне поверхности S ,
E - напряженность поля, создаваемого всеми зарядами.
Из принципа суперпозиции
|
|
|
|
|
r |
n |
r |
|
m |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = ∑Ei + ∑Ek . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим поток вектора E через замкнутую поверхность S . |
|
|
|||||||||||||||
r |
r |
|
n |
r |
r |
|
m r |
|
|
|
r |
n |
r |
r |
m |
r |
r |
Ф = ∫E dS = ∫ |
∑Ei |
dS + |
∫ ∑Ek |
dS |
= ∑∫Ei dS + |
∑ |
∫Ek dS . |
||||||||||
S |
|
S i=1 |
|
|
S k=n+1 |
|
|
|
|
i=1 S |
|
|
k=n+1 S |
|
|||
Поскольку, все заряды q1 ,q2 ,..qi ,..qn |
находятся внутри поверхности S , то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
= |
q |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫E1 |
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫E2 |
dS = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
||
и т.д.
Первое слагаемое в правой части дает,
n |
r |
r |
n |
|
∑∫Ei dS = ∑q1 |
||||
i=1 |
S |
|
i=1 |
ε0 |
|
1 |
n |
|
= |
∑qi |
||
|
ε |
0 |
= |
|
|
i 1 |
|
Все заряды qn+1 ,..qk ,..qm находятся вне поверхности S , поэтому
∫En+1dS = 0 , |
||
S |
|
|
∫En+2 dS = 0 |
||
S |
|
|
и т.д. |
|
|
Для второго слагаемого получим |
r |
r |
m |
||
∑ |
∫Ek dS = 0 . |
|
k=n+1 S
14
В итоге запишем
r |
r |
1 |
n |
Ф = ∫E dS = |
ε0 |
∑qi . |
|
S |
|
i=1 |
|
Поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0 . r
Этот результат называется теоремой Гаусса для вектора E . Теореме Гаусса можно придать следующий геометрический смысл.
Количество силовых линий, входящих в объем, ограниченный замкнутой поверхностью равно количеству силовых линий, выходящих из этого же объема.
Запишем выражение теорему Гаусса для случая непрерывного распределения заряда. В этом случае суммарный электрический заряд внутри поверхности S находится интегрированием
q = 
∫ρdV ,
|
V |
|
|
|
r |
r |
= |
1 |
∫ρdV . |
Ф = ∫E dS |
|
|||
S |
|
|
ε0 V |
|
Расчет электростатического поля с помощью теоремы Гаусса
1. Заряд равномерно распределен по поверхности сферической оболочки
Заряд q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R , находящийся в вакууме.
15
Электростатическое поле является центрально – симметричным: направление вектора напряженности проходит через центр сферы, а величина напряженности зависит только от расстояния точки до центра сферы.
Область r ≥ R .
Проведем сферическую поверхность радиусом r > R , центр которой совпадает с центром оболочки O . Вычислим поток вектора E через эту поверхность.
∫E dS = ∫EdScosα .
|
S |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Во всех точках сферы направление векторов E и n совпадают, следова- |
|||||||||||||
тельно, |
|
α = 0 , |
cosα =1 . |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
Кроме того, во всех точках сферы, равноудаленных от центра симметрии |
|||||||||||||
модуль напряженности имеет одно и тоже значение. |
|||||||||||||
|
r = const , E = E(r)= const , |
||||||||||||
∫E dS = ∫E(r)dS = E(r)∫dS = E(r) 4π r2 |
|||||||||||||
S |
S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
||
|
|
∫dS = S = 4π r2 . |
|
|
|||||||||
По теореме Гаусса |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
1 |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
= |
|
q , |
|||||||
|
∫E |
dS = |
ε0 |
∑qi |
|
ε |
|
||||||
|
S |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
E(r)4πr2 = |
|
|
|
q |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
E(r)= |
|
q |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
4πε0 r 2 |
|
Вектор |
направлен от центра, если q > 0 и к центру оболочки, если q < 0 . |
||
E |
Область r ≤ R .
Проведем сферу радиусом r ≤ R . Предположим, что электрическое поле в этой области существует, тогда оно также будет центрально - симметричным.
16
r
Поток вектора E при этом равен
∫E dS = E(r)4π r2 .
S
По теореме Гаусса для этой же поверхности
r |
r |
1 |
n |
∫E dS = |
ε0 |
∑qi = 0 . |
|
S |
|
i=1 |
|
Внутри поверхности нет электрических зарядов. Следовательно,
E(r)4π r 2 = 0 , E(r)= 0 .
Электрическое поле внутри равномерно заряженной сферической оболочки отсутствует и напряженность во всех точках внутри оболочки равна нулю.
График зависимости модуля E от расстояния от центра O представлен на рисунке. В точке r = R напряженность изменяется скачком.
2. Заряд равномерно распределен по объему шара
Электрический заряд q распределен по объему шара радиусом R с постоянной объемной плотностью
ρ = const .
17
Электрическое поле в этом случае также будет центральносимметричным.
Область r ≥ R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проведем сферу радиусом r > R , |
центр которой совпадает с центром за- |
||||||||||||||||||
ряженного шара. Найдем поток вектора E через эту сферу. |
|||||||||||||||||||
∫EdS = E(r)4π r2 . |
|
||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По теореме Гаусса |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r r |
= |
внутр . |
|
||||||||||||||
|
∫EdS |
|
|
||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь qвнутр - суммарный электрический заряд внутри поверхности S . |
|||||||||||||||||||
qвнутр = ∫ρdV = ρ∫dV = ρ |
4 |
π R 3 |
, |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
E(r)4π r2 = |
|
|
1 |
|
ρ |
4 |
|
π R 3 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
π R |
ρ |
|
|||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||
E(r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 r 2 |
|
|
|
|
||||||||
Обозначим |
|
|
4πε |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ρ |
4 |
πR 3 |
|
|
= ρV = q , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где q - электрический заряд шара. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
E(r) = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4πε |
0 r 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18
Область r < R .
Проведем сферическую поверхность радиусом r < R с центром в точке O .
Поток вектора E через эту поверхность равен
∫EdS = E(r)4π r2 .
S
По теореме Гаусса
r r |
= |
|
1 |
qвнутр , |
|
|
||||||||
∫EdS |
ε0 |
|
|
|||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
qвнутр = ∫ρdV = ρV |
= ρ |
4πr3 |
, |
|||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
E(r)4πr2 |
= |
|
1 |
|
|
ρ |
4 |
πr3 , |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
ε0 |
|
|
|
||||||||
E(r) = |
|
|
ρ |
|
r |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3ε0 |
|
|
|
|
||||||
График для модуля E(r) представлен на рисунке.
3. Заряд равномерно распределен по бесконечно длинной прямой ли-
нии
Электрический заряд равномерно распределен с постоянной линейной плотностью λ по длинной прямой нити.
19
Электрическое поле обладает радиальной симметрией: вектор напряженности всегда направлен вдоль прямой, перпендикулярной нити и модуль E зависит только от расстояния до нити.
Проведем поверхность S в виде прямого цилиндра радиуса r , ось которого совпадает с заряженной нитью. Обозначим высоту цилиндра h .
Вычислим поток вектора E через поверхность цилиндра
∫EdS = ∫E1dS + ∫ EdS + ∫E2dS,
S |
S1 |
Sбок |
S2 |
где S1 ,S2 - площадь оснований, Sбок - площадь боковой поверхности.
В каждой точке обоих оснований вектора нормали и напряженности электрического поля взаимноперпендикулярны, следовательно, первый и третий интеграл равны нулю.
∫E1dScosα1 = 0 ,
S1
∫E2 dScosα2 = 0 .
S2
Вычислим поток через боковую поверхность
∫ EdS = ∫ EdScosα = ∫ E(r)dS = E(r) ∫dS = E(r)Sбок = E(r)2π 2h .
Sбок |
Sбок |
Sбок |
Sбок |
20