Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати

поняття невласних інтегралів, дослідження невласних інтегралів на збіжність та

вивчити подвійні інтеграли.

План заняття

1.Невласні інтеграли від функцій, визначених на нескінченному проміжку

(невласні інтеграли першого роду).

2.Невласні інтеграли другого роду.

3.Подвійні інтеграли.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Невласні інтеграли першого роду

Нехай функція f(x) визначена і неперервна на інтервалі [a; ) . Тоді вона неперервна на будь-якому відрізку [a,b] .

Якщо границі в правій частині рівності існують і скінченні, то невласний

інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку – розбіжним. У випадку

Питання для самоконтролю

1.Що називається невласним інтегралом першого роду?

2.Що називається невласним інтегралом другого роду?

3.Яке значення називають подвійним інтегралом?

4.У чому полягає геометричний зміст подвійного інтеграла?

5.Поняття повторного інтегралу.

6.Зв'язок між подвійним та повторним інтегралами.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 25,26 Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та

різницеві рівняння

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість вивчити види диференціальних рівнянь та методи їх розв‟язання.

План заняття

1.Звичайні диференціальні рівняння.

2.Загальний розв‟язок диференціального рівняння та його властивості.

3.Диференціальні рівняння першого порядку.

4.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

5.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Звичайні диференціальні рівняння Розв'язок різноманітних геометричних, фізичних а також економічних задач часто

зводяться до рівнянь, які пов‟язують незалежні змінні, які характеризують ту чи

іншу задачу, з деякою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних

порядків.

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов‟язує незалежні змінні, їх функції і похідні (або диференціали) цієї функції.

Означення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається

диференціальним рівнянням в частинних похідних.

Означення. Найвищій порядок похідних, які входять в рівняння, називається

порядком диференціального рівняння.

Наприклад.

замість невідомої функції обертає рівняння в тотожність.

Властивості загального розв‟язку

1)Так як постійна С – довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має нескінченну множину розв‟язків.

2)За деяких початкових умов х=х0, у(х0)=у0 існує таке значення С=С0, при якому розв‟язком диференціального рівняння є функція у= (х, С0).

Означення. Розв'язок виду у= (х, С0) називається частинним розв’язком

диференціального рівняння.

Означення. Задачею Коші (Огюстен Луі Коші (1789-1857)- французький математик) називається знаходження будь-якого частинного розв‟язку диференціального рівняння виду у= (х, С0), що початковим умовам у(х0)=у0.

Теорема Коші (теорема про існування і єдиність розв‟язку диференціального

, який визначений на деякому інтервалі, який містить точку х0, і приймає при х =

х0 значення (х0) = у0, тобто існує єдиний розв’язок диференціального рівняння.

Означення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є

наслідком.

Означення. Інтегральною кривою називається графік y= (x) розв‟язку

диференціального рівняння на площині xOy .

Означення. Особовим розв’язком диференціального рівняння називається таке рішення, в усіх точках якого умова єдиності Коші не виконується, тобто в

околі деякої точки (х, у) існує не менш двох інтегральних кривих.

Особові розв‟язки не залежать від постійної С.

Особові розв‟язки не можна отримати із загального розв‟язку ні за яких

значеннях постійної С. Не кожне диференціальне рівняння має особові розв‟язки.

Диференціальні рівняння першого порядку.

Означення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається

співвідношення, яке пов‟язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду:

F(x, y, y ) 0

Якщо таке співвідношення привести до виду yf (x, y) то це диференціальне рівняння першого порядку буде називатись рівнянням, розв’язаним відносно похідної.

Перетворимо такий вираз далі:

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0

- диференціальна форма рівняння першого порядку.

Розглянемо типи рівнянь першого порядку і методи їх розв‟язку.

Рівняння виду y’ = f(x)

Нехай функція f(x) – визначена і неперервна на деякому інтервалі a<x<b. В

такому випадку всі розв‟язки даного диференціального рівняння знаходяться як y f (x)dx C . Якщо задані початкові умови х0 і у0, то можна визначити постійну

С.

Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення. Диференціальне рівняння yf (x, y) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна записати у вигляді

y (x) ( y) .

Таке рівняння можна зобразити також у вигляді:

X (x)dx Y ( y)dy C .

Після знаходження відповідних інтегралів отримаємо загальний розв‟язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв‟язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частинний розв‟язок.

Однорідні рівняння

Означення. Функція f(x, y) називається однорідною n–го виміру відносно своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (окрім нуля)

виконується тотожність:

однорідним, якщо його права частина f(x,y) є однорідна функція нульового виміру відносно своїх аргументів.

Будь-яке рівняння виду P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 є однорідним, якщо функції P(x,

y) і Q(x, y) – однорідні функції однакового виміру.

Розв'язок будь-якого однорідного рівняння оснований на зведенні цього

рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними.

Розглянемо однорідне рівняння yf (x, y).

Так як функція f(x,y) – однорідна нульового виміру, то можна записати:

f (tx,ty) f (x, y).

Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:

таким чином, отримали рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції u :

інтеграли, отримаємо загальний розв‟язок однорідного диференціального рівняння.

Рівняння, які зводяться до однорідних

Лінійні рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається лінійним відносно невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записано у вигляді:

y P(x) y Q(x),

при цьому, якщо права частина Q(x) дорівнює нулю, то таке рівняння називається

лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним

диференціальним рівнянням. P(x) і Q(x) - функції неперервні на деякому проміжку a<x<b.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння Розглянемо методи знаходження загального розв‟язку лінійного однорідного

диференціального рівняння першого порядку виду y P(x) y 0.

Для цього типу диференціальних рівнянь відокремлювання змінних не є

складністю:

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x) 0) застосовують два методи: метод Бернуллі і метод Лагранжа.

Метод Бернуллі

(Якоб Бернуллі (1654-1705) – швейцарський математик.)