Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Питання для самоконтролю

1.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

2.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

3.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

4.Як обчислити кут між двома площинами?

5.Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин, двох прямих,

прямої і площини?

6. Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини?

Література [1,2,4]

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №9

Тема 5. Елементи теорії границь

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття границі послідовності та границя функції, нескінченно малих і нескінченно великих величин. А також, набути навички обчислення границь функцій, розкриття деяких невизначеностей та вміти застосовувати першу і другу важливі границі для обчислення границі функцій.

План заняття

1.Числова послідовність. Обмежені і необмежені послідовності. Границя послідовності.

2.Границя функції в точці. Основні теореми про границі.

3.Односторонні границі.

4.Нескінченно малі функції. Еквівалентність нескінченно малих функцій.

5.Нескінченно великі функції.

6.Перша і друга важливі границі.

7.Розкриття деяких невизначеностей.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Числова послідовність

Означення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у

відповідність число хn, то кажуть, що задана послідовність x1, х2, …, хn = {xn}.

Загальний елемент послідовності є функцією від n:

xn = f(n).

Таким чином послідовність може розглядатись як функція порядкового номера

елемента.

Задати послідовність можна різноманітними способами – головне, щоб було вказано спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

Наприклад. {xn} = {(-1)n} або {xn} = -1; 1; -1; 1; {xn} = {sin n/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0.

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

тобто усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою зверху, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

xn M.

Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

xn M.

Наприклад. {xn} = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }.

Означення. Число а називається границею послідовності {xn}, якщо для будь-

якого додатного >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

утворяться нові послідовності, при цьому якщо збігається одна з них, то збігається і друга.

Теорема. Послідовність не може мати більш однієї границі.

Слід зауважити, що зворотне твердження є невірним, тобто із обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Границя функції в точці

A +

A

A -

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій

справа.

Зазначене означення відноситься до випадку, коли функція f(x) невизначена в самій точці х = а, але визначена в деякому довільному околі цієї точки.

у

f(x)

А2

А1

Границі А1 і А2 називаються також односторонніми границями функції f(x) в

точці х = а.

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності

lim A .

x a

Означення. Функція f(x) називається обмеженою в околі точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x) <M в околі точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінчену границю при х а, то вона обмежена в околі точки х = а.

Нескінченно малі функції

Означення. Функція f(x) називається нескінченно малою при х а, де а може

бути числом або однією з величин , + або - , якщо lim f (x) 0 .

x a

Нескінченно малою функція може бути лише якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при х а мала границю, яка дорівнює А,

необхідно і достатньо, щоб в околі точки х=а виконувалась умова

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при х а також нескінченно мала функція при х а.

4)Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Нескінченно великі функції і їх зв‟язок з нескінченно малими

Означення. Границя функції f(x) при х а, де а- число, дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М>0 існує таке число >0, що нерівність

f(x) >M

виконується при всіх х, які задовольняють умові

Якщо в означенні замінити умову f(x) >M на f(x)>M, то отримаємо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені випадки можна зобразити наступним чином:

Означення. Функція називається нескінченно великою при х а, де а – число

або одна з величин , + або - , якщо lim f (x) A , де А – число або одна з величин

x a

, + або - .

швидкістю їх спадання, тобто по швидкості їх наближення до нуля.

Наприклад, функція f(x)=x10 прямує до нуля швидше, ніж функція f(x)=x.

тобто функція f(x)=x10 – нескінченно мала більш високого порядку, ніж f(x) = x.

Означення. Нескінченно мала функція називається нескінченно малою

Окрім двох зазначених важливих границь, можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Приклади

1.Знайти границю lim tg5x

x0 sin 7x