Тема 6. Методи аналізу рядів розподілу

План вивчення теми

1. Поняття та основні складові рядів розподілу. Види рядів розподілу, основні методи їх побудови

2. Характеристики центру розподілу і порядкові статистики (середня, мода, медіана, їх взаємозв’язок; квантилі розподілу - квартилі, квінтилі, децилі, перцентилі) та їх роль в аналізі закономірностей розподілу

3. Характеристики вимірювання варіації ознак - абсолютні та відносні міри варіації (розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації). Варіація альтернативної ознаки

4. Характеристики форми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу

5. Показники диференціації та концентрації

Після вивчення теми студенти повинні:

• знати: в чому полягають аналітичні функції рядів розподілу, основні їх види та методи побудови; методологічні аспекти вимірювання закономірностей розподілу: центру розподілу, варіації ознак, форми розподілу й диференціації та концентрації;

• уміти: аналізувати закономірності розподілу, оцінювати, відповідно до мети дослідження, ступінь варіації ознак і однорідність сукупності, симетричність і рівномірність розподілу, оцінювати інтенсивність структурних зрушень; виявляти закони розподілу тощо.

Бібліографічний список: [7 – 10; 17 - 22 ]

6.1. Поняття та основні складові рядів розподілу. Види рядів розподілу, основні методи їх побудови

Статистичний ряд розподілу – упорядкований розподіл одиниць сукупності, що вивчається, на групи за певною варіативною ознакою. Наприклад, розподіл працівників підприємства за рівнем кваліфікації. В даному разі варіативною ознакою буде кваліфікація працівника (якісна ознака). Якщо вивчати обсяги виготовленої продукції або проданих товарів, то варіативною ознакою буде кількість продукції чи товарів або їх вартість (кількісна ознака). Статистичний ряд розподілу характеризує склад явища, що вивчається, дозволяє судити про однорідність чи неоднорідність сукупності, закономірності розподілу, межі варіації одиниць сукупності тощо.

Ряди розподілу, які побудовані за атрибутивними ознаками, називаються атрибутивними. В таких рядах порядок розташування елементів сукупності, що вивчається, не має значення. Наприклад, розподіл працівників підприємства за професією. Ряди розподілу, які побудовані за кількісними ознаками в порядку зростання чи зниження їх значень, називаються варіаційними.

Ряд розподілу складається з двох елементів: варіанти та частоти. Числові значення кількісної ознаки (варіанти) можуть бути додатними і від’ємними, абсолютними і відносними. Наприклад, якщо досліджується ефективність діяльності фірми чи підприємства, то додатна величина характеризує поліпшення, а від’ємна – погіршення роботи; якщо досліджуються результати економічної діяльності фірми чи підприємства, то додатна величина характеризує прибутки, а від’ємна – збитки.

Частоти – це числа, що показують, скільки разів зустрічається та чи інша варіанта в ряді розподілу (якщо мова йде про дискретну величину), або скільки варіант потрапляють в певний інтервал (якщо мова йде про неперервну величину). Підсумок всіх частот складає обсяг сукупності і визначає кількість елементів всієї сукупності, що вивчається.

Іноді у варіаційних рядах замість частот використовують частки – це частоти, подані у вигляді відносних величин (як частина одиниці або у відсотках). Підсумок часток відповідно дорівнює одиниці або 100 %. Заміна частот частками дозволяє порівнювати варіаційні ряди з різним обсягом сукупностей.

Варіаційні ряди залежно від характеру варіації поділяються на дискретні та інтервальні.

Дискретні варіаційні ряди ґрунтуються на ознаках, виражених дискретними величинами. Наприклад, розподіл сімей за числом дітей у сім’ї. Інтервальні варіаційні ряди ґрунтуються на ознаках, виражених неперервними величинами або дискретними величинами, значення яких варіюють у досить широких межах і можуть бути наведені у вигляді інтервалів. Наприклад, такі ознаки, як вартість товару або його вагу, зручніше наводити інтервальними варіаційними рядами.

Для графічного зображення рядів розподілу застосовуються такі діаграми, як полігон, гістограма та кумулятивний полігон.

Основні принципи та методика побудови рядів розподілу наведено у підрозділі 3.3. «Методологічні засади побудови статистичних групувань» теми 3.

6.2. Характеристики центру розподілу і порядкові статистики (середня, мода, медіана, їх взаємозв’язок; квантилі розподілу - квартилі, квінтилі, децилі, перцентилі) та їх роль в аналізі закономірностей розподілу

Виявлення закономірностей зміни частот залежно від зміни варіативної ознаки, що покладена в основу групування і є основою аналізу варіаційних рядів розподілу. При такому аналізі найчастіше використовують такі групи показників:

• характеристики центру розподілу;

• характеристики розміру варіації;

• характеристики форми розподілу.

Центром розподілу називається значення варіативної ознаки, навколо якого групуються інші варіанти. До характеристик центру розподілу належать середня, мода, медіана, чверть (квартиль) і десята частина (дециль).

Види та методика визначення середньої величини детально розглянуто у попередній темі. Для повнішого розкриття властивостей ряду розподілу визначають моду М_о, медіану М_е, квартилі Qu₁, Qu₂, Qu₃ та децилі – від D₁ до D₉.

Мода (Мо) – значення варіанти, яке найчастіше повторюється в ряду розподілу. У дискретних рядах моду легко відшукати візуально, безпосередньо за найбільшим значенням частоти або частки.

В інтервальному ряді за тим самим принципом визначається модальний інтервал, тобто інтервал, частота якого має найбільше значення. Якщо треба більш точно встановити модальний рівень, його обчислюють за формулою:

,

де Мо – мода

х _Мо – нижня межа модального інтервалу

h _Mo – ширина модального інтервалу

f _Mo – частота модального інтервалу

f _{Mo – 1} – частота попереднього (перед модального) інтервалу

f _{Mo + 1} – частота наступного (після модального) інтервалу.

Слід зауважити, що ця формула використовується для інтервальних варіаційних рядів з рівними інтервалами. Визначення моди в ряді розподілу із нерівними інтервалами має свої особливості.

Графічним методом мода визначається за допомогою гістограми.

Медіана (Ме) – варіанта, що ділить упорядкований варіаційний ряд на дві, рівні за обсягом частини. Наприклад, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме = 30, це означає, що половина робітників мають вік менше 30 років, половина – старші за цей вік.

Визначаючи медіану, використовують кумулятивні частоти S_fi або частки S_di. У дискретному ряді медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину сукупності, тобто S_fi ≥ 0,5 f_i (для кумулятивної частки S_di ≥ 0,5).

Кумулятивні частоти визначаються доданням наступного значення частоти до суми значень попередніх частот. При цьому не має значення які інтервали у варіаційному ряді розподілу: рівні чи нерівні.

В інтервальному ряді за цим принципом визначають медіанний інтервал.

Значення медіани, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:

,

де Ме – медіана

х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу

h_Me – ширина медіанного інтервалу

0,5 f _i – половина сукупності

S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу

f _Ме – частота медіанного інтервалу.

Медіану можна визначити графічним способом, використовуючи для цього кумулятивний полігон.

В аналізі закономірностей розподілу крім медіани використовуються також й інші структурні (або порядкові) характеристики, які ділять всі одиниці розподілу на рівні за чисельністю групи. Вони отримали загальну назву квантилі. Частинним випадком квантилів є, насамперед, квартилі, квінтилі, децилі та перцентилі (діле сукупність на сто рівних частин).

3. Характеристики вимірювання варіації ознак - абсолютні та відносні міри варіації (розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації). Варіація альтернативної ознаки

Варіація, тобто коливання, мінливість будь-якої ознаки є властивістю статистичної сукупності. Здатність ознаки змінювати індивідуальні значення називається варіабельністю. Вона зумовлена дією безлічі взаємопов’язаних причин, серед яких є основні та другорядні. Основні причини формують центр розподілу. Другорядні причини впливають на форму розподілу.

Для виміру та оцінки варіації використовують систему абсолютних та відносних характеристик. До абсолютних характеристик належать: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія. До відносних характеристик варіації належать різноманітні коефіцієнти, найбільш поширене використання серед яких мають коефіцієнти варіації, що побудовані на відношенні абсолютних характеристик з середньою арифметичною. Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги під час вирішення тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки Х та наявних даних (первинні чи похідні, згруповані чи ні).

Розмах варіації – різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки, розраховується за формулою:

R = X _max – X _min,

де X _max – максимальне значення ознаки

X _min – мінімальне значення ознаки.

Розмах варіації характеризує межі, в яких змінюється кількісне значення ознаки. Цей показник встановлює крайні числові значення варіант, що складають досліджувану сукупність.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу та нижньою межею першого. Проте, якщо інтервал відкритий, для обчислення розмаху варіації використовується середина інтервалу. Звичайно, спочатку інтервал має бути закритим згідно з відповідними правилами.

Крім розмаху варіації, у практиці статистичного аналізу широко застосовують інші абсолютні характеристики варіації, що ґрунтуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної.

Оскільки відповідно до першої властивості середньої арифметичної  ( Х _і – ) = 0, то при розрахунку такого роду характеристик використовують або модулі, або квадрати відхилень. У результаті маємо такі характеристики варіації: середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсію. Розрахункові формули цих показників наведені в табл. 6.5.

Якщо статистична сукупність надана у вигляді інтервального варіаційного ряду, то для розрахунку показників варіації використовуються розрахункові формули за зваженою формою. При цьому замість індивідуального значення ознаки обирається середина відповідного інтервалу.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню відстань між середньою арифметичною величиною та відповідними індивідуальними значеннями окремих ознак, а це завжди додатна величина. Саме тому у формулах відхилення кожної варіанти від середньої арифметичної береться за модулем.

Таблиця 6.5