2.2. Закономірності стисненого руху тіл у середовищі

Закономірності вільного падіння ізольованого твердого тіла в необмеженому об’ємі середовища лише частково висвітлюють явища, що мають місце в гравітаційних процесах. При масовому русі частинок під впливом тих же сил, що і при вільному падінні, виникають більш складні гідродинамічні явища, обумовлені перемішуванням частинок у подовжньому і поперечному напрямках, тертям частинок одна об одну і стінки апарата, виникненням висхідних потоків середовища в проміжках між частинками. У результаті цього виникають додаткові сили опору, що різко змінюють характер руху кожної окремої частинки в порівнянні з умовами вільного падіння, унаслідок чого швидкість руху частинки значно зменшується.

Знання закономірностей стисненого руху маси частинок у середовищах використовується при рішенні багатьох практичних задач в галузі гравітаційного збагачення, гідротранспорту, процесів, що протікають у «киплячому» шарі.

Вивчення закономірностей стисненого падіння частинок базується на двох концепціях:

- перша концепція розглядає стиснене падіння як груповий рух частинок, що являють собою фільтраційне середовище, крізь яке рідина протікає у вертикальному напрямку знизу вгору;

- друга концепція розглядає стиснене падіння як падіння окремої частинки, що знаходиться в масі інших, при цьому за основу приймається швидкість вільного падіння, а умови стиснення враховуються поправочними коефіцієнтами.

Відповідно до цих концепцій запропоновано багато формул для визначення швидкості стисненого руху зерен у середовищах. Кожна з формул відбиває суть окремих явищ і базується на відповідних гіпотезах.

Характерною для першої концепції є формула, запропонована Б.В. Кізевальтером:

, м/с, (2.30)

де

, (2.31)

або

, (2.32)

де δ, Δ – густини частинки і середовища, кг/м³; d – еквівалентний діаметр, м; Θ – коефіцієнт розпушення (об'ємний вміст рідкої фази в розглянутому об’ємі):

Θ = W_Ж / (W_Ж + W_Т) ; (2.33)

φ – коефіцієнт сферичності; Ar – параметр Архімеда (2.20); v – кінематичний коефіцієнт в'язкості, м²/с:

v = μ /Δ; (2.34)

M, n – коефіцієнти, що визначаються залежно від L (табл. 2.1).

Таблиця 2.1 – Параметри m і n

Коефіцієнт	L
	7	7 - 17	17 - 750	750 - 5000	5000 - 130000
М n	1,8 1,0	2,4 5/6	3,6 2/3	5,7 3/5	7,2 4/7

Формула (2.30) прийнятна при значеннях коефіцієнта розпушення Θ ≤ 0,8, коли сукупність падаючих тіл можна розглядати як фільтраційне середовище. При Θ > 0,8 за формулою (2.30) одержують завищені результати, а при Θ = 1 швидкість V_ст прямує до нескінченності.

Формули, що базуються на першій концепції, громіздкі, незручні для інженерного розрахунку, тому вони застосовуються значно рідше формул, що базуються на другій концепції.

Найбільш розповсюдженою формулою, що базується на другій концепції, є формула:

V_cm = V₀ Θ ^m, (2.35)

де V_cm і V₀ – швидкості стисненого і вільного падіння, м/с; Θ – коефіцієнт розпушення, частки од.; m – показник степеня, що залежить від розміру, густини і форми частинок, а також від співвідношення розмірів частинок і апарата, у якому відбувається розділення, він приймає значення: m = 1 – у формулі Фінкея, m = 2 у формулі Ханкока, m = 3 – у формулі Лященка.

Результати досліджень залежності показника степеня m від параметра Рейнольдса наведено на рис. 2.5. Як легко простежити, величина показника степеня m змінюється від 4,65 до 2,39 у діапазоні чисел Рейнольдса 0,3 – 500, поза цим діапазоном величина показника степеня має постійне значення: при Re < 0,3 m = 4,65; при Re > 500 m = 2,39.

Швидкості, розраховані за формулою Фінкея, завищені, за формулою Лященко – занижені. Формула Ханкока для частинок крупністю 0,1 – 12,5 мм дозволяє одержати результати близькі до фактичних.

Запропоновано ряд інших формул, що визначають швидкості стисненого падіння на основі різних гіпотез. На основі подібності падіння поєднаної маси частинок до падіння у важкій рідині Річардс запропонував формулу:

V_cm= 0,174, м/с, (2.36)

де d – крупність частинок, м; δ і Δ_CP - густини частинок і середовища, кг/м³.

Відомий ряд формул для визначення швидкості стисненого падіння залежно від об'ємного вмісту твердої фази в пульпі:

– формула Стокса-Ейнштейна:

V_cm= V₀ / (1 – 2,5 С) ; (2.37)

– формула Загустіна:

V_cm= V₀ (1 – 2,5 С) ; (2.38)

– формула Годена:

V_cm= V₀ (1 – С^0,67)(1 – С)(1 – 2,5 С) , (2.39)

де С – об'ємна концентрація твердої фази, частки од.

Формули (2.37) – (2.38) можуть бути використані при розрахунку швидкостей частинок крупністю d > 1 мм, формула (2.39) – частинок крупністю d < 0,1 мм і об'ємної концентрації твердої фази С ≤ 0,3.

За методом Т.Г.Фоменка для обчислення швидкості стисненого падіння спочатку визначають параметр Архімеда (2.20), а потім по кривій ψ_ст = f (Ar) (рис. 2.6) або за формулою (2.40) знаходять коефіцієнт ψ_ст:

; (2.40)

Після визначення ψ_ст розраховують швидкість стисненого падіння за формулою (2.22), замінивши в ній V₀ на V_cm і ψ на ψ_ст. Результати розрахунку близькі до фактичного в діапазоні крупності частинок від 0,05 до 12,5 мм.

Коефіцієнт рівнопадання в умовах стисненого падіння визначається з урахуванням додаткових сил опору, які виникають при русі тіла. Додатковий опір враховується заміною у формулі (2.24) густини рідини Δ на густину середовища Δ_СР :

e = [(δ₂ – Δ_СР) / (δ₁ – Δ_СР)] ⁿ . (2.41)

За методами П.В.Лященка та Т.Г.Фоменка визначення коефіцієнта рівнопадання при стисненому падінні виконується за тією ж методикою, що й при вільному, але з поправкою на густину середовища, що змінилася.

Коефіцієнт рівнопадання частинок у стиснених умовах значно більший, ніж у вільних, що дозволяє розширити шкалу класифікації. Наприклад, для вугілля і породи у вільних умовах він дорівнює 3, а в стиснених умовах – 12.