6.1.4. Оценивание систематической составляющей погрешности измерения.

Выше отмечалось, что результат любого наблюдения может содержать как случайную, так и систематическую погрешность. Систематические погрешности искажают результаты наблюдений. Поэтому устранению их придается большое значение. Любая систематическая погрешность обязательно должна быть выявлена и исключена из результата измерения. Это можно сделать: а) до начала измерения путем выявления и устранению источников систематических погрешностей - профилактика погрешностей, б) в процессе эксперимента применением специальных методов - экспериментальное исключение погрешностей. Если же систематическая погрешность не может быть исключена указанными способами, а существует возможность вычислить ее, то в результаты измерений (экспериментальные данные) вносят поправки. Поправка по числовому значению равна систематической погрешности и противоположна ей по знаку:

П = - .

Наиболее распространенным способом внесения поправки является алгебраическое суммирование результата измерения и поправки (с учетом ее знака). Следовательно, при этом способе исключения систематической погрешности результат измерений исправляют путем вычисления.

Результаты наблюдений могут содержать остатки систематических погрешностей уже после исключения систематических погрешностей и внесения поправок. Эти остатки представляют собой неисключенные систематические погрешности (НСП) экспериментальных данных. В качестве НСП результатов измерений чаще всего выступают инструментальные погрешности (погрешности применяемых средств измерений), погрешности метода измерения, погрешности, обусловленные действием внешних дестабилизирующих факторов и т. п. То есть на результат измерения могут влиять несколько источников НСП.

В измерительной технике и метрологии существует правило, в соответствии с которым необходимо обязательно оценивать и учитывать возможные значения систематических погрешностей, если их исключение оказывается невозможным. Следовательно, для получения НСП результата измерения необходимо просуммировать составляющие НСП всех источников. В принципе, сами систематические погрешности — детерминированные величины, однако составляющие НСП от разных источников рассматривают как случайные величины, их распределение внутри заданных границ считают равномерным и доверительную границу НСП результата измерения оценивают по следующей формуле:

. (6.6)

Здесь: k – коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р, зависящий от количества составляющих НСП «m» и от соотношения их значений; - граница i - й составляющей НСП. При доверительной вероятности Р=0,9 (также Р=0,95) коэффициент k мало чувствительный к изменению количества составляющих НСП и к изменению их значений, поэтому принимают k=0,95 при Р=0,9 и k=1,1 при Р=0,95. Значение k при других значениях Р можно определить с использованием графических зависимостей, которые приводятся в соответствующей литературе.

Пример 1.

Электронным вольтметром выполнено многократное измерение известной Е.Д.С. источника опорного напряжения Е₀ = 1,260 В. Путем статистической обработки результатов наблюдений, приведенных в таблице ниже, необходимо:

1) оценить результат многократного измерения ();

2) определить поправку, которую следует внести в исходные результаты наблюдений при условии наличия в них систематической погрешности;

3) оценить СКО случайного рассеивания результатов наблюдений и СКО среднего арифметического (результата измерения); записать результат многократного измерения в виде точечной и интервальной оценки.

U1	U2	U3	U4	U5	U6	U7	U8	U9	U10	U11	U12
1,256	1,243	1,264	1,223	1,237	1,247	1,226	1,213	1,254	1,224	1,227	1,254

Решение примера.

1) В качестве результата многократного измерения принимаем среднее арифметическое результатов наблюдений, считая распределение результатов наблюдений нормальным. Оценку результата измерения определяем:

 В.

2) Систематическая погрешность – это отклонение результата измерения (т.е. среднего арифметического) от действительного значения измеряемой Е.Д.С. Е₀ = 1,210 В. Поэтому определяем систематическую погрешность, содержащуюся в результатах наблюдений, по формуле:

(1,239  – 1,260) В  = -0,021 В = -21 мВ.

Разброс исходных результатов наблюдений свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Значит и среднее арифметическое результатов наблюдений , полученное на конечном множестве результатов наблюдений, тоже отягощено случайной погрешностью. Поэтому правомерно утверждать, что систематическая погрешность определена приближенно – с точностью до значения случайной погрешности среднего арифметического. Следовательно, говорить о содержании в результатах наблюдений систематической погрешности можно лишь в вероятностном смысле. Поэтому утверждать с определенной вероятностью, что результат измерения  = 1,239 В содержит систематическую погрешность =-21 мВ можно в том случае, если модуль оценки систематической погрешности будет больше, чем доверительная граница случайной погрешности.

Для того, чтобы доказать или опровергнуть наличие в результатах наблюдений систематической погрешности  = -21 мВ, далее выполним оценку доверительной границы случайной погрешности среднего арифметического:

- определяем оценку СКО случайного рассеивания результатов наблюдений по формуле:

1,63·10^-2 В;

- определяем оценку СКО результата измерения (среднего арифметического) - по формуле:

 4,7·10^-3 В = 4,7 мВ.

- доверительную границу случайной погрешности среднего арифметического (результата измерения) оцениваем по формуле:

 2,2·4,7 мВ = 10,34 мВ,

где  = 2,2 – значение коэффициента Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0,95 и количестве наблюдений п = 12.

Вывод: поскольку доверительная погрешность  = 10,34 мВ при Р = 0,95 меньше 21 мВ, принимаем, что в исходных результатах наблюдений с вероятностью Р = 0,95 присутствует постоянная систематическая погрешность  -21 мВ. Поэтому в результат измерения следует внести поправку П_u = – Δ_s = 21 мВ.

Можно задаться другим значением вероятности и повторить проверку, если не устраивает принятая доверительная вероятность Р = 0,95; например: =2,72, а  = 3,11 при .

3) Учитывая ранее установленное значение СКО  = 4,7·10^-3 В, записываем исправленный результат многократного измерения в виде:

- точечной оценки:  В ( = -0,021 В),  = 4,7·10^-3 В, n = 12;

- интервальной оценки: (1,260 ± 0,010) В, .

Примечание: при записи результата измерения в виде интервальной оценки выполнено округление в соответствии с принятыми правилами.

6.1.5. Оценивание итоговой погрешности измерения с учетом двух составляющих - случайной и НСП.

После оценивания НСП и случайной составляющей погрешности измерения дальнейшая обработка результатов прямого многократного измерения сводится к вычислению доверительной границы суммарной (итоговой) погрешности . При этом могут быть три варианта.

а) Суммарную погрешность результата измерения можно характеризовать доверительной границей только случайной составляющей погрешности, если НСП по сравнению со случайной погрешностью мала. В этом случае:

.

Критерий ничтожной малости НСП по сравнению со случайной погрешностью, имеет вид:

.

б) Если мала случайная погрешность, то суммарную погрешность результата измерения может характеризовать только доверительная граница НСП. В таком случае:

.

Критерий ничтожной малости случайной погрешности по сравнению с НСП, имеет вид:

.

в) В суммарной погрешности результата измерения надо учитывать обе составляющие погрешности (случайную и НСП), если

0,8 <  < 8.

При этом для расчета доверительной погрешности результата измерения используют эмпирическую формулу:

, где , . (2.7)

В приведенной формуле доверительную границу случайной погрешности и границу НСП результата измерения необходимо брать при одной и той же доверительной вероятности Р.

6.1.6. Критерий ничтожно малой погрешности.

Вопрос о том, какими составляющими погрешностей можно пренебрегать при расчете, возникает постоянно. Это связано с тем, что точность определения суммируемых погрешностей невысока, поэтому нет смысла суммировать те из них, которые по сравнению с другими имеют малые значения, поскольку это не повысит точности суммарной погрешности. Пренебрежение малыми погрешностями позволит упростить вычисления при нахождении результирующей погрешности. Следовательно, необходимо установить критерий ничтожно малой погрешности, т.е. правило, позволяющее исключать ничтожно малую погрешность из расчета. Этот критерий также необходим при выборе класса точности образцового средства измерений в зависимости от класса точности поверяемого средства измерений.

Один из возможных вариантов определения критерия ничтожно малой погрешности опирается на следующее утверждение: если одна величина больше другой на порядок, то второй величиной можно пренебречь.

Известно, что при сложении некоррелированных случайных погрешностей суммируются геометрически их дисперсии (или СКО). В случае двух составляющих СКО суммарной случайной погрешности определяется по формуле

где (₁), (₂) — СКО первой и второй составляющих, соответственно.

В соответствии с приведенным выше критерием, если дисперсия ²(₁) первой составляющей, больше дисперсии ²(₂) второй составляющей в 10 и более раз, то СКО () суммарной случайной погрешности будет не более, чем 1,05×(₁). Следовательно, пренебрежение дисперсией второй составляющей по сравнению с дисперсией первой составляющей приводит к тому, что СКО суммарной погрешности будет определено с ошибкой, не превышающей 5%, что вполне приемлемо.

Если дисперсия первой составляющей ²(₁) больше дисперсии второй составляющей ²(₂) в 10 раз, то СКО первой составляющей больше, чем СКО второй составляющей примерно в 3 раза (в 3,16 раза). Следовательно, критерий ничтожно малой погрешности для СКО погрешности можно сформулировать следующим образом: погрешностью можно пренебречь, если ее СКО (или доверительный интервал) в 3 раза меньше, чем у остальных погрешностей.