Metrologia_13 / Часть 2. Обработка результатов / 7. Оценивание результатов неравноточных измерений

7. ОЦЕНИВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Многократные измерения зачастую требуют много времени для их проведения. На практике не всегда удаётся обеспечить полную воспроизводимость условий повторных измерений. Изменение условий измерений приводит к получению групп (серий, рядов) измерений с разными характеристиками погрешностей. Такие группы измерений называют неравноточными. Если характеристики погрешностей групп измерений одинаковы, группы измерений называют равноточными. Как равноточные, так и неравноточные группы измерений могут быть совместно статистически обработаны с целью нахождения результата измерения.

Появление неравноточных (неравнорассеяных) групп измерений является следствием несоблюдения единства измерений. При этом помимо изменения условий измерений появление неравноточных результатов возможно по следующим причинам:

-в ряде случаев конкретную ФВ измеряют с использованием нескольких средств измерений, которые могут давать неравноценные по точности результаты;

-измерения могут выполняться несколькими исследователями или группами исследователей различной квалификации; при этом преследуется цель «получить возможно большее число результатов единичных измерений и одновременно исключить или сгладить индивидуальные погрешности исследователей»;

-измерения, относящиеся к образцовым мерам или измерительным приборам, часто выполняются с некоторым перерывом во времени. В результате накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверное значение измеряемой величины. Точность рядов наблюдений различна с одной стороны, из-за того, что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой стороны из-за того, что с течением времени СИ стареют и изменяются их характеристики;

-неравноточными следует считать и группы измерений, в которых измерение одной и той же ФВ производится разными методами, характеризующимися различными систематическими погрешностями.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методами обработки результатов неравноточных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины. Для того, чтобы возникающие или вводимые сознательно изменения условий измерения не нарушали требований теории погрешностей, каждая группа результатов наблюдений, относящихся к одинаковым условиям, должна быть оценена с точки зрения степени доверия (её веса) в общей совокупности результатов, подлежащих обработке.

*

При совместной обработке результатов измерений нескольких неравноточных групп основой для расчёта служат следующие данные:

- m – число групп (серий) равноточных результатов.

- n₁ , n₂ ,…, n_m – количество наблюдений в каждой равноточной группе;

- – средние арифметические значения для m групп равноточных результатов наблюдений постоянной ФВ (систематические погрешности должны быть исключены);

- – средние квадратические отклонения (СКО) результатов наблюдений (или их оценки) в отдельных группах (сериях);

*В случае неравноточного измерения значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному её значению, определяется по формуле:

(7.1)

где – среднее взвешенное; – веса групп.

Обозначение веса в формуле тем же символом, что и вероятности (P), не случайно. Наиболее правильным значением веса для данного результата является его вероятность. Если вероятности или веса заранее неизвестны, то их вычисляют по формуле:

, (7.2)

т.е. веса отдельных групп обратно пропорциональны дисперсиям результатов наблюдений.

Другим критерием для определения веса результатов измерений при  = const нередко используется число наблюдений в каждой серии (группе):

. (7.3)

Веса отражают степень доверия к результатам соответствующих групп наблюдений. Чем больше число наблюдений в данной группе и чем меньше дисперсия результатов наблюдений, тем больше степень доверия к полученному при этом среднему арифметическому и с тем большим весом оно должно учитываться при определении среднего взвешенного (оценки истинного значения измеряемой ФВ).

*Случайную погрешность результата при неравноточных измерениях характеризует СКО среднего взвешенного, которое определяется по формуле:

(7.4)

где – СКО результата измерения (среднего арифметического) для j-й группы результатов наблюдений.

Из последней формулы следует, что СКО среднего взвешенного меньше, чем СКО любого из исходных средних арифметических отдельных групп наблюдений и поэтому при обработке неравноточных рядов точность повышается.

Если теоретические дисперсии и неизвестны, то пользуются их статистическими оценками и . Доверительную границу случайной погрешности результата неравноточного измерения вычисляют по формуле:

,

где t_p – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности «Р» и числу степеней свободы , где – наименьшее из .

Следует отметить, что приведенные выражения справедливы не только тогда, когда данными для расчета являются ряды прямых неравноточных наблюдений, но и в случае, если исходные величины являются в свою очередь результатами неравноточных косвенных или совокупных измерений. Операции определения средних взвешенных во все этих случаях не меняются, а точность результата повышается.

Приклад 1.

При багаторазовому вимірюванні незмінної ФВ трьома методами отримано три серії результатів спостережень. Систематичні похибки в результатах спостережень виключені; результати, що містять грубі похибки (Р = 0,95), визначені і виключені з серій; в кожній серії всі результати рівної точності; серії між собою – нерівноточні. Підсумки попередньої статистичної обробки результатів спостережень в серіях надані в таблиці нижче.

=1,227	=12	=2,47∙10-4
=1,242	=13	=1,48∙10-4
=1,241	=11	=3,77∙10-4

Необхідно:

- оцінити результат нерівноточного вимірювання - середнє зважене;

- оцінити СКВ середнього зваженого (СКВ випадкової похибки результату нерівноточного вимірювання); порівняти СКВ середнього зваженого і СКВ середнього арифметичного кожної серії; зробити висновок про доцільність обробки нерівноточного вимірювання;

- записати кінцевий результат нерівноточного вимірювання використовуючи точечну і інтервальну оцінки.

Розв’язання прикладу.

1) Розраховуємо середнє зважене (результат нерівноточного вимірювання) за формулою (3.1)

.

Ваги серій Р₁, Р₂ і Р₃ визначаємо за формулою (3.2) із застосуванням дисперсій результатів спостережень в серіях, наданих в таблиці:

, , .

Звертаємо увагу, що серія з найменшою дисперсією результатів спостережень (друга) має найбільшу вагу у середньому зваженому, а серія з найбільшою дисперсією (третя)- має найменшу вагу. Отже

.

2) Визначаємо СКВ середнього зваженого (СКВ випадкової похибки результату нерівноточного вимірювання) за формулою (3.4)

.

Дисперсію середнього арифметичного і СКО середнього арифметичного кожної серії визначаємо наступним чином:

Отже:

.

Висновок: результат нерівноточного вимірювання (середнє зважене ) точніше результату будь – якої серії (середнього арифметичного , або ), оскільки СКО середнього зваженого менше, ніж СКО середнього арифметичного будь – якої серії [<, < та <].

3) Записуємо результат нерівноточного вимірювання у вигляді точкової оцінки (дивись (1.4) у п. 1.2.3), застосовуючи правила округлення похибки та результату вимірювання:

4) В довідковій таблиці (див. «Додаток № 2») відповідно до n = 36 і P = 0,95 знаходимо значення коефіцієнта Ст’юдента t = 2,03; визначаємо довірчу межу випадкової похибки результату нерівноточного вимірювання і записуємо результат нерівноточного вимірювання у вигляді інтервальної оцінки (дивись (1.5) у п. 1.2.3), застосовуючи правила округлення:

.