- •Дифференциальные уравнения Лекция № 37. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 38
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 39. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 40
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
Теорема 4. Если функции и два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид , гдеипроизвольные константы.
Вначале покажем, что является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены прии:
.
Далее покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значенияи, при которых такое решение удовлетворяло бы им.
Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значенийи
. (5)
с определителем Вронского
так как и- ЛНЗ решения уравнения (3).
Из решения системы (5) определяем и. Таким образом,
является общим решением уравнения (3).
Лекция № 40
4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
Общий вид ЛОДУ-2
, (1)
где
Будем искать решение этого уравнения в виде .
Подставим в уравнение (1):
(2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие три случая:
1. Корни уравнения идействительные и.
Тогда, очевидно, что и. Эти решения ЛНЗ, так как
В этом случае общее решение примет вид
. (3)
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Составим характеристическое уравнение:
Воспользуемся формулой (3):
.
2. Корни идействительные и
Тогда в качестве первого частного решения можно взять . Покажем, что в этом случае, является решением также функция. Подставим её в уравнение и с учетом теоремы Виета, получим
.
Эти решения ЛНЗ, так как
В этом случае общее решение примет вид
. (4)
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Составим характеристическое уравнени
Воспользуемся формулой (4)
.
3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. .
Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функцииu и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:
Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.
Итак, в этом случае частные решения имеют вид
и .
Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,
,
то
и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:
Очевидно, линейно-независимыми среди них будут
,
Так как
Окончательно, общее решение будет иметь вид
. (5)
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Составим характеристическое уравнение:
Воспользуемся формулой (5):
.
4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2)
(6)
гдефункции непрерывнынанекотором отрезке .
Ему соответствует однородное уравнение
(7)
Пусть известно общее решение уравнения (7)
. (8)
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решениясоответствующего однородного (7).
Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены
.
Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как есть частное решение уравнения (6).
Таким образом, является решением уравнения (6).
Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значенияи, при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение
в эти условия, тогда получим систему
(9)
Система (9) является линейной системой для определения ис определителем
так как и ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и. Таким образом,является общим решением уравнения (6).
Замечание. Если функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.