4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде

.

Продифференцируем это равенство:

В силу произвольности выбора функций иположим

(10)

Тогда

Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем

(11)

Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе

(12)

из которой единственным образом находим и, так как её опре-делитель является определителем Вронского. И тогда

Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Воспользуемся формулой (4) .

Здесь .

Составим систему (12)

Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем

Окончательно получим общее решение