2.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде

.

Если к тому же

,

то

. (6)

Пусть в уравнении (6) выполняются условия:

,

тогда оно примет вид

. (7)

Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.

Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим

(8)

Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл

(9)

Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и . Пусть, например, . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение . Аналогично, если , то является решением уравнения (7).

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Преобразуем уравнение:

или

,

при этом . Интегрируя уравнение, получим

или

К этому решению нужно добавить решение вида , а решение вида входит в общее решение при . Окончательно, имеем

Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:

Разделим переменные:

Интегрируя, получим

или .

Если известна начальная масса M₀ при , тогда

и .

Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t₁ масса вещества стала равной M₁. Тогда

или

Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.

Лекция № 38

2.3. Однородные уравнения

Определение 1. Функция называется однородной функцией, если выполняется .

Например, функция является однородной, так как

.

Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, если однородная функция.

Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.

По условию . Положим в этом тождестве , тогда

и уравнение примет вид

.

Сделаем замену и .

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

или .

Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение.

Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решением или .

П ример 1. Определить кривую, проходящую через точку , если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.

Если  текущая точка у

кривой, то по условию задачи,

получаем уравнение

у

Получили однородное урав-

нение, поэтому сделаем замену О А В х

и .

Тогда уравнение примет вид

.

Разделяем переменные

и интегрируем

.

Выполнив обратную замену , имеем

.

Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты

находим и получим искомое уравнени кривой

.