Числовые ряды Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
1.1. Числовой ряд и его сумма
Определение 1.
Пусть дана числовая последовательность
.
Образуем выражение
(1)
которое
называется
числовым
рядом.
Числа
называются членами
ряда,
а выражение
общим
членом
ряда.
Пример
1.
Найти общий член ряда
.
При
,
при
,
при
Нетрудно
заметить, что общий член ряда
.
Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом
.
Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:
;
;
;
…
.
Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.
Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.
Определение
3.
Числовой ряд
называется сходящимся,
если
,
где число
называется суммой
ряда,
и пишут
.
Если
предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример
2.
Проверить
на сходимость ряд
.
Для
того, чтобы вычислить n-ю
частичную сумму
представим общий член
ряда
в виде суммы простейших дробей
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В
Отсюда
находим, что
,
а
.
Следовательно,
общий член ряда имеет вид
Тогда частичную сумму можно представить в виде
.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид
.
Вычислим сумму ряда
Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.
Пример
2.
Проверить
на сходимость ряд
бесконечную геометрическую прогрессию.
Как
известно, сумма первых п
членов геометрической прогрессии при
q
1
равна
.
Тогда имеем следующие случаи:
1.
Если
,
то
2.
Если
,
то
,
т.е. ряд расходится.
3.
Если
,
то ряд имеет вид
и тогда
,
т.е. ряд расходится.
4.
Если
,
то ряд имеет вид
и тогда
,
если частичная сумма имеет четное число
членов и
,
если нечётное число, т.е.
не существует, следовательно, ряд
расходится.
Определение
4.
Разность между суммой ряда S
и частичной суммой
называется остатком
ряда
и обозначается
,
т.е.
.
Так
как для сходящихся рядов
,
то
,
т.е.
будет б.м.в. при
.
Таким образом, значение
является приближенным значением суммы
ряда.
Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:
1.
Если ряды
и
сходятся, т.е. имеют соответственно
суммы S
и Q,
то сходится ряд
,
где
,
а его сумма равна A
S
+
B
Q.
2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного
ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.
1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
Теорема.
Если ряд
сходится,
то общий член ряда стремится
к
нулю
при
,
т.е.
.
Действительно, имеем
,
тогда
,
что
и требовалось доказать.
Следствие.
Если
же
,
то ряд расходится.
Обратное, вообще говоря, неверно, что
будет показано ниже.
Определение
5.
Ряд вида
называется
гармоническим.
Для
этого ряда выполняется необходимый
признак, так как
.
В то же время он является расходящимся. Покажем это
Таким образом, гармонический ряд расходится.