Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
2.1. Признаки сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(1)
(2)
Признак
сравнения.
Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная
с некоторого номера, выполняется
неравенство
и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Аналогично, если
и ряд (2) расходится, то расходится и
ряд (1).
Пусть
и
соответственно частичные суммы рядов
(1-2), а Q
сумма ряда (2). Тогда для достаточно
больших п
имеем
.
Так
как
и ограничена, то
,
т.е. ряд (1) сходится.
Аналогично доказывается и вторая часть признака.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
.
Сравним
с членами ряда
.
Начиная
с
,
имеем
.
Так
как
ряд
сходится
,
то
данный
ряд
также
сходится.
На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.
Предельный
признак сравнения.
Если
для двух рядов (1-2) с положи-тельными
членами выполняется условие
,
то
из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.
Пример
4.
Исследовать на сходимость ряд
.
В
качестве ряда для сравнения возьмем
гармонический ряд
,
который является расходящимся.
Тогда
а, следовательно, наш ряд расходится.
Замечание.
Часто для сравнения удобно использовать
так называемый обобщённый
гармонический
ряд
,
который, как будет показано ниже,
сходится при
и расходится при
.
Лекция № 45
2.2. Признак Даламбера
Теорема 1.
Пусть для ряда с положительными членами
сущест-вует конечный или бесконечный
предел
,
тогда:
1. Если
ряд сходится;
2. Если
ряд расходится;
3. Если
ответа на вопрос о сходимости теорема
не даёт. В этом случае требуются
дополнительные исследования.
Вначале докажем
пункт 1.
Из определения предела следует:
выполняется
или
.
Если
,
то можно указать такое
,
для которого выполняется
и тогда
.
Таким образом,
выполняются равенства:
.
(1)
Из формул (1) следует,
что ряд
сходится
.
Тогда по признаку сравнения сходится
и ряд
.
Аналогично
доказывается и случай 2.
Здесь имеем
,
и выполняется неравенство
,
т.е. нарушается необходимый признак
сходимости, следовательно, ряд
расходится.
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда
.
Вычислим предел
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда
.
Вычислим предел
т.е. ряд расходится.
2.3. Радикальный признак Коши
Аналогично можно доказать следующую теорему.
Теорема 2.
Пусть для ряда с положительными членами
сущест-вует конечный или бесконечный
предел
,
тогда:
1. Если ряд сходится;
2. Если ряд расходится;
3. Если ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда
.
Вычислим предел
Пример 4.
Исследовать сходимость ряда
.
Вычислим предел
