175

Дифференциальные уравнения Лекция № 37. Тема 1 : Введение

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k  коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а.

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.

1.2. Определение дифференциального уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется урав-нение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её производные: .

Его общий вид

. (1)

Дифференциальные уравнения, у которых функция у(х) является функцией одного переменного, называются обыкновенными ДУ.

Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.

Определение 3. Решением ДУ (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Замечание 1. Наряду с термином “решение ДУ“ употребляется термин “интеграл ДУ“, под которым, как правило, понимается решение ДУ, полученное неявно, т.е. в виде

Например, для дифференциального уравнения функциюобычно называют решением, а для ДУ выражение обычно называют интегралом уравнения.

Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1)

. (2)

Если уравнение можно разрешить относительно производной, то

, (3)

где функция определена в некоторой областиD.

Для примера рассмотрим уравнение Нетрудно убедится в том, что его решением является функция, гдеС - произвольная постоянная. И на любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С,т.е. имеют вид

или . (4)

Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнения (2) или (3) называется функция (4) удовлетворяющая условиям:

1. Обращает в тождество уравнение при любых значениях С;

2. Для любой точки можно найти такое значение постояннойдля которогоили.

Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения.

Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида

или . (5)

В этом случае задача о нахождении частного решения называется задачей Коши.

Пример 1. Решить задачу Коши:

Как было показано, общее решение имеет вид . Определим константуС, исходя из начального условия

решение задачи Коши.

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении функциянепрерывна в некоторой областиD, содержащей точку , то существует решениеэтого уравнения, удовлетво-ряющее начальному условию. Если, кроме этого, в этой области непрерывна производная, то решение уравнения единственно.

Пример 2. Найти область единственности решения ДУ

.

Здесь . Тогда

и при возможно нарушение единственности решения. Во всех остальных точках решение единственное.