§6. Теоремы Паппа-Гульдина

Приведём без доказательства две интересные и полезные (для решения обратных задач) теоремы.

Теорема 1. Площадь поверхности, образованной вращением линии вокруг оси, не пересекающейи лежащей с ней в одной плоскости, равна длине линии, умноженной на длину пути, который пробегает при вращении центр тяжести линии:

Здесь: – длина линии ,– расстояние от центра тяжести линии до оси вращения.

Теорема 2. Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси , не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости, равен площади фигуры, умноженной на длину пути, который пробегает при вращении центр тяжести фигуры:

Здесь: – площадь фигуры,– расстояние от её центра тяжести до оси вращения.

Используя эти теоремы, легко получить объём и площадь поверхности тора. Заметим, что центр тяжести, как окружности, так и круга находятся в одной точке – центре круга (окружности). Если окружность радиуса вращается вокруг оси, отстоящей от её центра на расстоянии, то:

Пример_1. Найти положение центра тяжести однородной полуокружности.

Решение. Полуокружность при вращении вокруг прямой, проходящей через её концы образует сферу, поверхность которой равна . Также из теоремы 1 следует, что эта поверхность равна, где –расстояние от искомого центра тяжести до оси вращения. Сравнивая эти выражения легко получить:

В силу симметрии и однородности полуокружности, центр тяжести лежит на оси симметрии, то есть на радиусе, перпендикулярном диаметру, причём, на расстоянии от этого диаметра.

Пример_2. Найти центр тяжести однородного полукруга радиуса .

Решение. Если вращать такой полукруг вокруг диаметра (основания), то получим шар объёма . А по теореме 2 тот же объём равен, где– расстояние от центра тяжести до диаметра. Сравнивая эти выражения, получим

как и в случае полуокружности, можно сказать: центр тяжести полукруга находится на радиусе перпендикулярном основанию полукруга на расстоянии .

Задача. Равносторонний прямоугольный треугольник, понимаемый как линия, а не фигура, вращается вокруг одного из катетов. По аналогии с примером 1 найдите центр тяжести такого треугольника (одномерного, или каркасного). Убедитесь, что этот центр тяжести не совпадает с точкой пересечения медиан – центром тяжести треугольника, понимаемого как плоская фигура (т.н. двумерный треугольник).