§5. Вычисление площадей поверхностей вращения

I Определения

Определение 1. Поверхность вращения – это поверхность, которая получается при вращении плоской линии вокруг оси, лежащей в её плоскости и не пересекающей её.

Ось вращения может и пересекать линию, если это ось симметрии линии. В этом случае рассматривают лишь «половину» линии.

Впишем в кривую произвольную ломанную и обозначимдлину наибольшего её звена. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим площадь этой поверхности.

Определение 2. Конечный предел называют площадью поверхности вращения.

Можно показать, что если линия имеет длину, то поверхность, полученная её вращением, имеет площадь.

II Общая формула

Линия , вращением которой вокруг оси абсцисс получена поверхность, может быть задана одним из следующих способов:

1) 2) 3)

Теорема. Если функции, определяющие линию, непрерывны вместе со своими производными, то площадь поверхности вращения (вокруг оси ) определяется формулой:

(1)

где – подынтегральное выражение, фигурирующее в соответствующей формуле для длины дуги.

Идея доказательства. Пусть концы -го звена ломанной имеют координаты и . Это звено при вращении вокруг оси опишет боковую поверхность усеченного конуса с радиусами основанийии образующей(длина-го звена). Для площади такой поверхности известна формула

Вся ломанная даст поверхность с площадью

Если, например, имеющаяся кривая – это график функции , тогда (см. §3, II). Также, заменяя на получим

В этой сумме нетрудно увидеть интегральную сумму, которая в пределе даст интеграл из (1).

III Частные случаи и примеры

1) Найти площадь сферического пояса, полученного вращением дуги окружности , , вокруг оси абсцисс.

Формула имеет вид

Проведём предварительные вычисления:

, .

Теперь вычисляем площадь:

Сферический пояс – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Полученный результат показывает, что площадь сферического пояса зависит лишь от расстояния между плоскостями, и не зависит от их положения относительно сферы.

2) Найти площадь поверхности, полученной вращением астроиды , вокруг оси .

Общая формула принимает вид

Астроида симметрична относительно оси вращения. Поэтому необходимо рассматривать лишь часть её, например, для . Предварительные вычисления:

, ,

Так как то, чтобы не «разбираться» с модулем, воспользуемся симметрией астроиды относительно оси , т.е. будем рассматривать:

3) Дуга кардиоиды ,, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела вращения.

Формула (1) в этом случае принимает вид:

Имеем для кардиоиды

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти площадь поверхности тора, полученного вращением окруж-ности , , вокруг оси .

2. Круговой сегмент, основание которого , высота, вращается вокруг основания. Найти площадь поверхности получающегося тела вращения.

3. Первая арка циклоиды ,,, вращается: а) вокруг оси; б) вокруг оси. Найти площади получающихся поверхностей вращения.