- •Тема приложения определенного интеграла
- •§1. Понятие площади плоской фигуры
- •§2. Вычисление площадей плоских фигур
- •I Декартова система координат
- •II Полярная система координат
- •§3. Вычисление длин линий
- •I Определение понятия длины кривой
- •II Явное задание линии
- •III Параметрическое задание линии
- •IV Полярные уравнения линии
- •§4. Вычисление объёмов некоторых тел
- •I Понятие объёма тела. Объём цилиндра
- •II Вычисление объёма тела по его поперечным сечениям
- •III Вычисление объёмов тел вращения
- •§5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- •I Определения
- •II Общая формула
- •1) 2) 3)
- •III Частные случаи и примеры
- •§6. Теоремы Паппа-Гульдина
I Определение понятия длины кривой
Рассмотрим плоскую линию АВ, заданную параметрическими уравнениями где и– непре-рывные функции. Такую кривую называют простой, если различным значениям параметра соответствуют различные точки кривой, за исключением значенийи, которым может соответствовать одна точка в случае замкнутой кривой. Простой линией является, например, график функции.
Разобьем эту линию точками наn частей и соединим соседние точки отрезками прямых. Получим n-звенную ломанную, вписанную в линию АВ. Длину k-го звена ломанной обозначим (это расстояние между точкамии). Длину наибольшего звена обозначим. Периметр ломанной:.
Определение. Если при существует конечный предел, то:1) линиюАВ называют спрямляемой; 2) число l называют длиной линии.
II Явное задание линии
Теорема 1. Пусть АВ – это график непрерывно-дифференцируемой функции . Такая линия спрямляема и её длина вычисляется по формуле
(1)
Доказательство. Для определенности считаем, что точка А имеет координаты , а точкаВ – . Обозначим черезкоординаты точки, так что абсциссы этих точек дают разбиение отрезка[a,b]: . Длинаk-го звена ломанной
Как обычно обозначим , а к приращению функции применим теорему Лагранжа:
.
Следовательно,
.
Длина всей ломанной
представляет собой интегральную сумму для функции . Kроме того, условие равносильно. В силу условий теоремы функцияF(x) непрерывна, следовательно, интегрируема. Поэтому , т.е. длина линииАВ, есть не
что иное, как интеграл в правой части формулы (1). Теорема доказана.
Пример 1. Вычислить длину части полукубической параболы , расположенной внутри параболы.
Решение. Находим точки пересечения линий:
(корень – посторонний, ибо линии распо-
х ложены в правой полуплоскости). Уравнения
линий не изменяются при замене на(– y). Это
означает симметрию относительно оси Ox.
Поэтому достаточно вычислить длину части ли-
линии, лежащей в 1-й четверти. Здесь полукуби-
ческая парабола – это график функции
.
Подготовительные вычисления
Итак, искомая длина:
.
Замечание 1. Если линия АВ задана явным уравнением то её длина выражается формулой
III Параметрическое задание линии
Теорема 2. Пусть простая линия АВ задана параметрическими уравнениями
причем функции и– непрерывно-дифференцируемы. Тогда линия спрямляема и ее длину можно вычислить по формуле
(2)
Доказательство. Обозначим абсциссы крайних точек линии и пусть. Для упрощения доказательства будем считать, чтона, а, следовательно (в силу непрерывности), сохраняет знак. Условиеозначает возрастание функции. Значити . В формуле (1) сделаем замену переменной . Тогда и , а формула (1) принимает вид
Элементарные преобразования приводят нас к формуле (2).
Если же , то убывает на и. Та же замена приведет нас к соотношению
Изменение направления интегрирования (от до) снова приведет нас к формуле (2). Теорема доказана.
Заметим, что есть доказательства формулы (2), не использующие условие знакопостоянства . Но они очень громоздкие и используют такие свойства непрерывных функций, которые находятся за пределами нашей программы.
Пример 2. Вычислить длину одной арки циклоиды
Циклоида – это плоская кривая, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R, катящаяся без скольжения по прямой линии.
Решение. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра от 0 до . Вычислим производныеии найдем сумму их квадратов:
Заметим, что , ибо. Имеем для искомой длины:
Замечание 2. Формула (2) естественным образом обобщается на случай пространственных линий :
Пример 3. Найти длину одного витка винтовой линии
Решение. Первый виток соответствует изменению параметра от 0 до . Имеем для длины: