II Полярная система координат

В полярной системе координат базовой фигурой является не криволинейная трапеция, а криволинейный сектор.

Определение. Криволинейным сектором называют плоскую фигуру, ограниченную непрерывной линией и двумя лучамии, где.

Теорема 4. Криволинейный сектор является квадрируемой фигурой. Его площадь определяется формулой:

(4)

Доказательство. Разобьём отрезок точкамии для каждого частичного отрезкапостроим круговые секторы, радиусы которых равны наименьшемуи наибольшемузначениям функциина.

При этом и, где(в силу непрерывности функции). Получим две веерообразные фигуры, первая из которых вписана в криволинейный сектор, а вторая описана. Площади этих фигур равны соответственно:

; .

В этих суммах нетрудно увидеть интегральные суммы для интегрируемой функции . Следовательно, они имеют общий предел, равный интегралу из формулы (4), что и доказывает эту формулу.

Пример 6. Вычислить площадь фигуры ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда

Решение. Первый виток спирали соответствует изменению углаот 0 до:

Теорема 5. Если фигура ограничена двумя непрерывными линиями ии двумя лучами, причёми, то она является квадрируемой и её площадь вычисляется по формуле:

(5)

Доказательство. Описанную в теореме фигуру можно представлять как разность двух криволинейных секторов. Записав площадь каждого из них по формуле (4), а затем, используя свойство линейности определён-ного интеграла, получим требуемую формулу (5).

Пример 7. Вычислить площадь части фигуры, ограниченной линией , лежащей вне окружности.

Решение. Лемниската (как и окружность) симметрична относительно осей координат, т.к. пере-менные ивходят в урав-нение лишь в чётных степенях. Достаточно рассматривать линии и фигуру, которую они ограничивают, только в пер-вой четверти. Перейдём в полярную систему координат и получим полярные уравнения линий, использую известные формулы, связывающие декартовые и полярные координаты:

Уравнение лемнискаты:

Окончательно, – полярное уравнение лемнискаты. Уравне-ние окружности ,. Лемниската существует для тех, для которых. В первой четверти – это сектор.

Найдем точки пересечения линий, для этого приравниваем правые части уравнений: В первой четверти это уравнение имеет единственный корень. Далее, максимальное удаление точки от полюса равноа (при ). Точки же окружности находятся ближе к полюсу. Итак, окончательно часть фигуры в первой четверти ограничена лучамии, и линиями(ближняя к полюсу граница) и(дальняя граница). Искомая площадь:

Задачи (для самостоятельного решения).

1. Найти площадь фигуры, которая ограничена замкнутой линией

.

2. Найти прямую y=kx, которая разбивает параболический сегмент, ограни-

ченный линиями и, на две равновеликие части.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей линии .

4. Какую часть площади круга составляет площадьn-лепестковой

розы ?

5.* Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией

§3. Вычисление длин линий