8.4.2. Метод конечных разностей

Состоит в том, что сводит решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

Рассмотрим сущность такого метода решения для дифференциального уравнения второго порядка

Разобьем область интегрирования на равных частей точкамиx_i=ih , i=0,1,…,n

x₀=a, x_n=b

x_i=x₀+ih , i=1,2,…,n

Решение краевой задачи сведем к вычислению значений сеточной функции y_i в узловых точках x_i.

Для этого напишем уравнения для внутренних узлов

Заменим производные, входящие в эти уравнения, их конечно-разностными аппроксимациями

В результате этого получаем систему разностных уравнений i=1,2,…,n-1

, (8.24)

которая является системой из n-1 алгебраического уравнения, относительно значений сеточной функции y₁,y₂,…,y_n-1

Пример 1

Таким образом, получена система из n-1 линейного уравнения

Пример 2

Путем несложных преобразований, также получаем систему из n-1 линейного уравнения

Входящие в систему y₀ и y_n берутся из граничных условий, если они заданы в частном виде.

Если краевые условия заданы в общем виде

,

то их необходимо также представить в разностном виде путем аппроксимации производных ис помощью конечно-разностных соотношений

Краевые условия примут вид (8.25)

Из этих соотношений легко выразить y₀ и y_n

Система алгебраических уравнений, к которой сведено решение краевой задачи, является линейной или нелинейной в зависимости от того линейное или нелинейное исходное дифференциальное уравнение. Соответственно решаются эти системы методами для решения систем линейных или нелинейных уравнений.