8.2 Методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на четыре группы:

1. графические

2. аналитические

3. приближенные

4. численные

Графические методы используют геометрические построения. Одним из них является метод изоклин для решения уравнений первого порядка. Он основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определённому изоклинами. Изоклина – линия постоянного наклона.

Аналитические методы рассматриваются в курсе высшей математике и дают возможность получить решение в виде формул (аналитического выражения ) путем аналитических преобразований. Например, для уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородными, линейными, для линейных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы в настоящее время является основным инструментом решения дифференциальных уравнений. Необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием быстродействующих ЭВМ.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его суть состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемыми узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом, для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения (глава 3. Аппроксимация производных). Такая замена дифференциального уравнения называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

8.3 Задача Коши

8.3.1 Общие сведения

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(8.5)

и принимающую при х=х₀ значение у₀ у(х₀)=у₀

Для решения будем использовать разностные методы. Введем последовательности точек х₀, х₁,…, х_к и шаги h_i=x_i+1-x_i (i=0,1,…,k-1).

В каждой точке x_i , называющейся узлом, вместо значений функции y(x_i) вводятся значения y_i, аппроксимирующие точное решение на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы {x_i,y_i} (i=0,1,…,k) называют сеточной функцией.

Далее, заменяя значение производной в уравнении (8.5) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциального уравнения (8.5) к разностной схеме относительно сеточной функции

y_i+1=Ф(x_i,h_i,y_i+1,y_i,…,y_i-r+1), i=0,1,…,k-1, (8.6)

y(x₀)=y₀

Здесь разностное уравнение (8.6) записано в общем виде, а конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (8.6).

На основании анализа вида разностного уравнения (8.6) можно провести некоторую классификацию численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы бывают

- явными, если в правой части (8.6) отсутствует y_i+1, то есть значение y_i+1 явно вычисляется по r предыдущим значениям y_i, y_i-1,…, y_i-r+1. При этом, если r=1, получается одношаговый метод, r=2 – двухшаговый, в общем случае r-шаговый или многошаговый при r≥2.

- неявными, если в правую часть (8.6) входит искомое значение y_i+1. В этом случае (8.6) относительно y_i+1 приходится решать итерационными методами.