Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

метода по вышке 211

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Підставимо

отримані

значення для (

) ,

A1 A4

формулу (1.11):

sin б =

≈ 0,3037 , звідки б ≈ 17,68°.

531

Відповідь: Кут між ребром A1A4 і гранню A1A2 A3 — б ≈ 17,68°.

4) Визначимо площу грані A1A2 A3.

Розв'язання. Площу грані A1A2 A3 знайдемо за допомогою формули

A A A

(A A × A A

)(кв.од.).

(1.13)

1 3 1 2

Враховуючи, що

A1A3 × A1A2

531 (див. попередню задачу),

та, використовуючи формулу (1.13), отримаємо:

														S									A				=		1			531 (кв.од.).
														S													=					531 (кв.од.).
																A A				2					3		2
																	1			2					3		2										531
Відповідь: Площа грані																	A A A											дорівнює									531	(кв.од).
Відповідь: Площа грані																	A A A											дорівнює										(кв.од).
																	1			2					3												2
5) Визначимо об'єм піраміди A1A2 A3 A4 .																																					2
5) Визначимо об'єм піраміди A1A2 A3 A4 .
Розв'язання. Об'єм піраміди, побудованої на векторах																																								A1 A2 , A1A3 ,
A1A4 як на ребрах, визначимо за допомогою мішаного добутку цих
векторів з точністю до знака:																						1		(A A															)=
		V								A			A				= ±					1									A A					3	A A
		V															= ±														A A						A A
			A A						2			3			4					6							1 2								1		1 4
					1				2			3			4					6
						1			x2 − x1										y2 − y1												z2 − z1									(1.14)
									x2 − x1										y2 − y1												z2 − z1									(1.14)
		= ±							x		3	− x							y				3		− y						z		3		− z		.
		= ±				6			x			− x							y						− y						z				− z		.
						6			x							1			y								1				z					1
									x		4	− x							y				4		− y						z		4		− z
											4					1							4				1						4			1
Підставимо координати векторівA1 A2 ,																																				A1A3 ,			A1A 4	у формулу
(1.14):																	3			6							3
										= ± 1							3			6							3			= ± 1 (3 3 1 +1 2 3 + (−2) 2 6 −
V			A		A					= ± 1							1 3 - 2													= ± 1 (3 3 1 +1 2 3 + (−2) 2 6 −
A A			A	3	A		4
	1	2		3			4							6			2			2							1						6
														6			2			2							1						6
−2 3 3 −(−2) 2 3 −1 1																								6) = ±								1		(−21).
−2 3 3 −(−2) 2 3 −1 1																								6) = ±										(−21).
																															6
Оскільки визначник дорівнює від`ємному числу, у даному випадку
перед формулою потрібно взяти знак мінус. Отже,
		V							A			A				=		21			=					7		(куб.од).
		V														=					=							(куб.од).
			A A					2						4					6							2
				1				2			3			4					6							2

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Відповідь: Об'єм піраміди A1A2 A3 A4 дорівнює 3,5 (куб.од). 6) Складемо рівняння прямої A1A2 .

Розв'язання. Використовуємо рівняння прямої, що проходить через

точки A1(x1, y1,z1)і A2 (x2, y2,z2 ):

x − x1

y − y1

z − z1

(1.15)

− x

− y

− z

Підставимо у формулу (1.15) координати точок A1 і A2, одержимо:

x − 2

y − (−1)

z −1

5 − 2 5 − (−1) 4 −1

звідки

x − 2

y +1

z −1

Помноживши останнє рівняння на 3, одержимо канонічне рівняння

прямої A1A2 :

x 1− 2 = y 2+1 = z 1−1.

Відповідь: рівняння прямої A1A2 : x 1− 2 = y 2+1 = z 1−1.

7) Складемо рівняння площини A1A2 A3.

Розв'язання. Використовуємо рівняння площини, що проходить

через три дані точки A1(x1, y1,z1),

A2 (x2, y2,z2 )і A3(x3, y3,z3 ):

x −x1

y − y1

z −z1

x 2 −x1

y2 − y1

z 2 −z1

= 0.

(1.16)

x3 −x1

y3 − y1

z3 −z1

Рівняння площини, що проходить через точки A1(2;−1;1),

A2 (5;5;4) ,

A3(3;2;−1) , відповідно до формули (1.10), запишеться наступним чином:

x −2

y +1

z −1

5 −2 5 +1 4 −1

= 0

3 −2

2 +1

−1−1

або

x −2

y +1

z −1

= 0 .

- 2

Розклавши останній визначник за елементами першого рядка, одержимо:

«Вища математика»

(x − 2)

−(y +1)

+ (z

−1)

3 6

= 0

− 2

1 3

або

−21x +9y +3z + 48 = 0.

Відповідь: рівняння площини A1A2 A3: −7x +3y +z +16 = 0.

8) Складемо рівняння висоти, опущеної

з вершини A4

на грань

A1A2 A3.

Розв'язання. Для складання рівняння висоти

A4 A5, яка проходить

через точку

A (x

, y

)

перпендикулярно

до

площини

A A A

використовуємо канонічне рівняння прямої:

x − x4

y − y4

z − z4

(1.17)

де m, n, p — координатори напрямного вектора цієї прямої.

У якості напрямного вектора висоти A4 A5 оберемо нормальний вектор площини A1A2 A3:

N = [A1A3 ×A1A 2 ]={21; −9; −3},

який перпендикулярний до площини A1A2 A3, тобто колінеарний до

прямої A4 A5.

Підставимо у рівняння (1.11) координати точки A4 (4;1;2) і замість

m, n, p – координати вектора N ={21; −9; −3}, одержимо:

x21− 4 = y−−91 = z−−32 .

Звідси одержимо канонічне рівняння висоти A4 A5: x 7− 4 = y−−31 = z−−12 .

Відповідь: рівняння висоти A4 A5 — x 7−4 = y−−31 = z−−12 .

Задача №3. Дано три вершини A(2;−1) , B(5;3), C(7;11) трикутника.

Знайти рівняння і довжини його медіани, висоти і бісектриси, проведених з вершини A . Зробити креслення.

Побудуємо трикутник (рис. 1.2).

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

		C(7;11)
		M(6;-7)
		L(50/9; 47/9)
1	1	B(5;3)
1		B(5;3)


0		x
0		x
A(2;-1)		K=(66/17; -25/17)
		K=(66/17; -25/17)

Рисунок 1.2 – Трикутник

Розв'язання.

1) Нехай точка М є серединою сторони BC . Координати точки М визначимо за формулами поділу відрізка у даному відношенні:

xM =

xB + л xC

; yM =

yB + л yC

(1.18)

1 + л

1 +

Точка М є серединою відрізка

BC ,

тому л =1. Формули

(1.18)

приймуть вигляд:

xB + xC

yB + yC

xM =

;

yM =

(1.19)

Підставивши у формули (1.19) координати точок B(5;3) і C(7;11) ,

одержимо:

5 +7

3 +11

= 6; yM =

= 7, М (6; 7).

Рівняння медіани AM одержимо за формулою (1.15):

7y ++11 = x6 −−22 ,

отже, 2х-у-5=0.

Довжина медіани — відстань між точками А і M , яку знаходимо за формулою (1.8):

AM = (6 −2)2 +(7 +1)2 = 80 = 4 5.

Відповідь: рівняння медіани AM : 2х-у-5=0; довжина медіани AM = 4 5.

2) Щоб знайти рівняння висоти AK , складемо рівняння сторони BC за формулою (1.15):

11y −−33 = x7 −−55 , тобто y – 3 = 4 (x - 5)

«Вища математика»

або 4x – y – 17=0.

Кутовий коефіцієнт цієї сторони КВС = 4. Через те що BC AK , кутові коефіцієнти цих прямих зв'язані рівністю:

KAK = −KBC−1 .

Зформули (1.19) випливає, що K AK = − 14 . Рівняння висоти AK

будемо шукати у вигляді:

		y − yA = K AK (x − xA) .	(1.20)
Підставивши у формулу (1.20) координати точки A(2;−1)			і кутовий
коефіцієнт K AK = −	1	, одержимо рівняння висоти AK :
коефіцієнт K AK = −	4	, одержимо рівняння висоти AK :
	4

y +1 = − 14 (x −2)

або x + 4y + 2=0.

Для знаходження довжини AK спочатку знайдемо координати точки К. Ця точка є точкою перетину BC і AK , тому її координати знаходимо як розв'язок системи рівнянь:


				24
4x − y −17 = 0,			y = −					,
4x − y −17 = 0,			y = −			17		,
	+ 4y + 2	= 0.			66
x	+ 4y + 2	= 0.	x =		66		.
x			x =	17			.
				17

Отже, K = (66/17; -25/17).

		66	2			25		2	8 17
AK	=		−2	+	−		+1	=		.
		17				17			17

Відповідь: рівняння висоти AK : x + 4y + 2=0; довжина висоти AK = 81717 (лін.од).

3) Переходячи до розгляду бісектриси AL, згадаємо, що вона ділить сторону BP на частини, відповідно пропорційні двом іншим сторонам, тобто:

LCBL = ACAB .

AB = (5 −2)2 +(3 +1)2 = 5, AC = (7 −2)2 +(11+1)2 =13,

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

отже,

л =

За формулами (1.18) маємо:

xL =

+ л xC

5 +5/13

; yL =

yB + л yC

3 +5/13 11

1 + л

1 +5/13

1 + л

1 +5/13

Рівняння прямої, проведеної через A(2;−1) і L(50/9; 47/9) має вигляд:

y +1

x − 2

47/9 +

50/9 −

звідки y56+1 = x32− 2

або 7x −4y −18 = 0.

Довжина бісектриси AL:

	AL	=	50		−2	2		47				2			8	65
						+				+1			=				.
			9			+		9		+1			=			9	.


Відповідь: рівняння бісектриси AL : 7x − 4y −18 = 0;
довжина бісектриси							AL		=		8	65		.
											8	65

												9
												9
Задача №4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку
А(2;5) і паралельна до прямої 3x − 4y +15 = 0 .
Розв'язання. Умовою паралельності												двох				прямих y = k1x +b1 і
y = k2x +b2 є рівність їх кутових коефіцієнтів:
						k1 = k2 .											(1.21)
Рівняння вихідної прямої будемо шукати у вигляді:
				y − ya = k(x − xa ) .													(1.22)
Запишемо рівняння даної прямої у формі:

y = 34 x + 154 .

Таким чином, кутовий коефіцієнт k = 34 . Дана пряма паралельна до шуканої, тому з умови (1.21) отримуємо, що кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює 34 . Точка А(2;5) лежить на шуканій прямій, тому,

підставляючи у рівняння (1.22) значення k = 34 , xA = 2, yA = 5,

отримаємо:

y −5 = 3/4(x −2)

або

«Вища математика»

				17
3x −4y +14 = 0.
Відповідь: Рівняння шуканої прямої має вигляд 3x −4y +14 = 0.
Задача №5. Знайти кут між прямими:
2x + 5y –15 = 0 і 3x – 7y +2 =0.
Розв'язання. Тангенс кута між прямими y = k1x +b1 і				y = k2x +b2
визначається за формулою:
tg ϕ =	k2 −k1		.	(1.23)

1+ k k		2
1

Якщо 1 + k1k2 = 0 , прямі перпендикулярні.

Рівняння заданих прямих запишемо у вигляді: y = − 52 x + 3 і y = 73 x + 72 .

Таким чином, кутові коефіцієнти даних прямих відповідно дорівнюють 2/5, 3/7. Підставивши у формулу (1.23) значення для кутових коефіцієнтів, отримаємо:

tg ϕ =		3/7 −(−2/5)	=1,
	1	+3/7 (−2/5)

звідки ц = 45˚.

Відповідь: Кут між заданими прямими ц = 45˚.

Задача №6. Скласти рівняння й побудувати лінію, кожна точка якої рівновіддалена від двох заданих точок М1(-2; 4) і М2 (6; 8).

Розв'язання. Нехай М(х; у) – довільна точка шуканої лінії. За умовою задачі:

M1M		=		M 2 M		.	(1.24)

З іншого боку, за формулами відстані між двома точками одержуємо:

M1M = (x +2)2 +(y −4)2 ; M 2M = (x −6)2 +(y −8)2 .

Підставляючи ці вирази в рівняння (1.24), знаходимо рівняння даної

лінії:

(x + 2)2 +(y −2)2 = (x −6)2 +(y −8)2 .

Спростимо отримане рівняння. Підносячи до квадрату обидві частини рівняння й розкриваючи дужки в підкореневих виразах, знаходимо:

x 2 +4x +4 + y 2 −8y +16 = x 2 −12x +36 + y 2 −16y +64.

Після перенесення усіх членів в ліву частину і елементарних перетворень, одержимо рівняння:

2x + y −10 = 0.

Це рівняння є рівнянням прямої лінії (рис.1.3).

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

З елементарної геометрії відомо, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох заданих точок M1 і M 2 , є пряма, що проходить

через його середину, перпендикулярна до відрізку M1M 2 .

. M 2

2х+у-10=0

0				5	х

Рисунок 1.3 – Пряма

Задача №7. Точка M рухається так, що в будь-який момент часу її відстань до точки A(6;0) вдвічі більша за відстань до точки B(23 ;0) .

Знайти рівняння траєкторії

прямування точки M .

Розв'язання. Поточні

координати точки M позначимо через х, у,

тобто M (x, y) . За умовою задачі

= 3

Знайдемо відстані

за формулою (1.8):

MA = (x −6)2 + (y −0)2 ;

MB = (x − 2/3)2 + (y −0)2 .

Підставляючи ці вирази в попередню рівність, одержимо рівняння траєкторії прямування точки M :

(x −6)2 + y2 = 3 (x − 2/3)2 + y2 .

Спрощуючи це рівняння, знаходимо: x2 + y2 = 4.

Отримали рівняння кола з радіусом R = 2 з центром у початку координат.

Задача №8. Скласти рівняння й побудувати лінію, кожна точка якої рівновіддалена від точки F(0; 3) і прямої у = -5.

Розв'язання. Нехай M (x, y) – довільна точка шуканої лінії. За

умовою:

(1.25)

де N – основа перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму у = -5.

= x2 + (y −3)2

(y −(−5))2 .

Підставивши отримані довжини в (1.25), отримаємо:

«Вища математика»

x2 + (y −3)2 = (y +5)2 . Звідси x2 + y2 −6y +9 = y2 +10y + 25.

Після перетворень отримаємо рівняння x2 =16 y +16,

яке визначає параболу (рис 1.4). y

-4								0								4	x

- 1

Рисунок 1.4 – Парабола

Задача №9. Яке геометричне місце точок визначає рівняння: 3x2 +3y2 − 4x +9y + 4 = 0 .

Розв'язання. Поділимо обидві частини рівняння на 3 і, доповнюючи до повних квадратів, отримаємо:

	2				2		4				2			3		9		4		9		4
x		−	2			x +			+ y			+ 2			y +		−		−		+		= 0
x		−	2		3	x +	9		+ y			+ 2		2	y +		−	9	−	4	+	3	= 0
					3		9							2		4		9		4		3
	−	2		2				3		2	49
або x					+ y +					=			.
або x		3			+ y +			2		=	36		.
		3						2			36

Порівнявши отримане рівняння з рівнянням

(x −a)2 + (y − b)2 = R 2,

яке визначає коло з центром у точці С (а; в) і радіусом R, отримаємо висновок:

		a =	2	; b = -	3	; R =	7	,
		a =	3	; b = -	2	; R =	6	,		2		3
			3		2		6

тобто вихідне рівняння визначає коло з центром у точці									C		;		і
тобто вихідне рівняння визначає коло з центром у точці									C	3	;		і
	7									3		2
радіусом R =	7	.
радіусом R =	6	.
	6

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Задача №10. Визначити вид і розташування на площині лінії

4x2 −9y2 −8x −36y −68 = 0.

Розв'язання. Перетворимо ліву частину рівняння, виділяючи повні квадрати:

4(x2 − 2x +1) −9(y2 + 4y + 4) − 4 +36 −68 = 0

або 4(x −1)2 −9(y + 2)2 = 36.

Розділимо обидві частини рівняння на 36: (x −91)2 − (y +42)2 =1.

Порівнявши отримане рівняння з рівнянням

(x − x1)2 − (y − y1)2 =1, a2 b2

яке визначає гіперболу (центр у точці C (x1; y1) , піввісі a і b), отримаємо

висновок, що шукане рівняння визначає гіперболу з центром у точці C(1;−2) і піввісями a=3, b=2.

Задача №11. Визначити вид кривої і її розташування на площині за рівнянням

9x2 + 4y2 −54x −32y +109 = 0.

Розв'язання. Згрупуємо доданки із змінними х та у і доповнимо одержені вирази до повних квадратів:

9(x −3)2 + 4(y − 4)2 = 36.

Розділимо обидві частини рівняння на 36:

(x −3)2 + (y − 4)2 =1. 4 9

Порівнявши отримане рівняння з рівнянням

(x − x1)2 + (y − y1)2 =1, a2 b2

яке визначає еліпс із центром у точці C (x1; y1) і піввісями a і b, робимо

висновок, що шукане рівняння визначає еліпс із центром у точці С(3; 4) і піввісями a=2, b=3.

Задача №12. Лінія задана рівнянням r = r(ϕ) у полярній системі координат:

r =1−zinr ϕ.

Потрібно:

«Вища математика»

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016645.4 Кб3Метод_ИР - Основы механики ХимОборуд_А4.pdf
#
03.03.20161.6 Mб28Метод_курс_ТЭС2.doc
#
15.11.2019419.84 Кб1Метода ОПУТ4-2.doc
#
03.03.20162.55 Mб87метода 2013.doc
#
03.03.2016478.72 Кб6Метода Інд Економіка і бізнес.doc
#
03.03.20161.22 Mб5метода по вышке 211.pdf
#
03.03.20162.81 Mб58Метода ТИС_03.12.11.doc
#
17.11.2018379.39 Кб2Методические рекомендации (1).doc
#
03.03.2016434.69 Кб64Методические указания (право).doc
#
03.03.20161 Mб17Методические указания и контрольные задания по промышленной электронике .doc
#
03.03.2016253.44 Кб4Методические указания курс.doc