Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

метода по вышке 211

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

y′′2

d 2 y

dy′x

( y′x )′t

(2.5)

dx 2

xt′

Знаходимо похідні від х і від у за параметром t:

= x'

= 2t + 2;

= y'

Шукану похідну від у по х знаходимо за формулою (2.4):

y′x =

y′t

(t +1)

−2

(t +1)(2t +2)

2(t +1)2

x′t

Далі знаходимо похідну від

y′x

за параметром t, а потім шукану

другу похідну за формулою (2.5):

dy′x

(y′x )′t =

= −(t +1) −3 ;

−(t +1)−3

y′′

2 =

dy′x

(y′x )′t

x′t

2(t +1)

Відповідь: y′x =

(t +

1) −2 ; y′′2

= −

(t +1) −4 .

Переходимо

до

розв'язання

задач

про найбільші

або найменші

значення величин. Для розв'язання таких задач потрібно, виходячи з умови, вибрати незалежну змінну й виразити досліджувану величину через цю змінну, а потім знайти шукане найбільше або найменше значення отриманої функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути кінцевим або нескінченним, також визначається з умови задачі.

Задача №17. Машина доставляє зерно на елеватор по степовій дорозі, а потім по шосе. Під яким кутом до шосе повинна проходити степова дорога, щоб машини витрачали найменший час на весь шлях, якщо по степовій дорозі швидкість машини у k разів менша, ніж по шосе?

Розв'язання. Зробимо рисунок до задачі:

Рисунок 2.1 – Схема місцевості

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Нехай машина доставляє зерно з пункту А в пункт В. Відрізок АС зображує степову дорогу, а відрізок СВ – шосе (рис. 2.1). Час, витрачений на перевезення зерна, складається із часу проїзду по дорогах АС і СВ. Позначимо швидкість руху по дорозі АС через v, тоді, згідно з умовою, швидкість руху по шосе дорівнює k·v.

Позначимо кут, під яким степова дорога проходить до шосе, б; величину відрізка AD DB через A, а величину відрізка DB через а.

Розглянемо ∆ADC:

AC =

, CB = a - Actg б.

sin б

Час руху машини розглянемо як функцію кута б:

t(α) =

a −Actg б

−

ctg б.

v sin б

vsin б

Визначимо критичну точку. Для цього обчислимо першу похідну:

′	A		cos б			1 1
t (α) =		−		+ 0	+		;
t (α) =		−		+ 0	+		;
			sin 2б
	v		sin 2б			k sin 2б

′		cos б	1			1
t (α) = 0; -			+ 0 +					= 0;
		sin 2б		k	sin 2б
	k cos α =1;		cos α =			1	.

						k

Для дослідження критичної точки обчислимо другу похідну:

sin

б −

2 sin б cos

′′

2 sin б cos б

−

t (α) =

sin

k sin

+ k cos

A sin б(1 + cos

б) − 2 cos б =

A k

− 2 cos б

sin

k sin

A k + k cos2б − 2 cos б

sin3б

Обчислимо значення другої похідної при cos б =

sin б =

1 − cos2б =

1 −

k 2 −1

;

k 2

k + k

− 2

k3 k

−

t′′ =

> 0.

(k2 −1) k2 −1

v k 2 −1

−1

«Вища математика»

З рис. 2.1 видно, що cos б = k1 ≤ ABa .

На вказаному проміжку функція t(б) має єдиний екстремум-мінімум. Отже, з ним збігається найменше значення функції.

Відповідь. Якщо швидкість по шосе в k раз більша за швидкість по степовій дорозі, то степова дорога має проходити до шосе під кутом, що

визначається співвідношенням cos б = k1 .

Задача №18. Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік, використовуючи дані дослідження.

y = x 3 −6x 2 +25x −28 .

2(x −2) 2

Розв'язання.

Дослідження функції проведемо за планом:

1)Знайти область існування функції.

2)Знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з осями координат.

3)Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4)Знайти точки розриву, дослідити їх.

5)Визначити інтервали монотонності, точки локальних максимумів і мінімумів графіка функції.

6)Встановити області опуклості та вгнутості, а також точки перегину графіка функції.

7)Знайти асимптоти кривої.

8)Побудувати графік функції, враховуючи проведені дослідження. Реалізація плану

1.Функція існує для всіх значень х, за винятком х=2.

2.Знаходимо точку перетину з віссю Оу. Для цього покладемо в рівнянні x=0, тоді y=-3,5. Отже, графік даної функції перетинає вісь Оy у

точці (0;-3,5).

Знаходимо точку перетинання з віссю Ох. Покладемо y=0, тоді одержимо рівняння:

x3 −6x2 + 25x − 28 = 0 .

Оскільки даний многочлен є зведеним і має цілі коефіцієнти, то, якщо він має раціональні корені, вони є цілими і знаходяться серед дільників вільного члена. Підставимо у рівняння x = ±1;±2;±4;±7;±14;±28 . Жодне з цих значень не є коренем, тому дане рівняння не має раціональних коренів.

3. Функція не періодична, загального типу, тобто її графік не є симетричним по відношенню до координатних осей.

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

2(x − 2)3

4. Функція в точці х=2 має розрив другого роду:

lim	x3	−6 x2 + 25x −28	= ∞.
		2(x −2) 2
x→2±0

5. Знаходимо першу похідну, дорівнюємо її до нуля і нескінченності. Одержуємо:

y′ = (3x2 −12x + 25)2(x − 2)2 − 4(x − 2)(x3 −6x2 + 25x − 28) = 4(x − 2)4

= x3 −6x2 − x + 6 .

Звідки:

x 3 −6x 2 −x +6 = 0.

Корені цього рівняння: -1; 1; 6. Прирівнюючи до нескінченності, знаходимо:

x 3 −6x 2 −x +6 = ∞, 2(x −2)3

звідки x-2=0, тобто x=2.

Для дослідження на максимум і мінімум у стаціонарних точках (коріння рівняння y′ = 0) знаходимо другу похідну даної функції:


					8
			13 x −
			13 x −
	′′	=			13
y	′′			(x −2) 4 .
y				(x −2) 4 .

Визначаємо знак другої похідної в отриманих стаціонарних точках: y′′(−1) < 0; y′′(1) > 0; y′′(6) > 0.

Отже, при x1 = −1 функція досягає максимуму, при x 2 =1 і x 3 = 6 –

мінімуму. Значення функції x при цих значеннях х: y(−1) = −3,3; y(1) = -4; y(6) = 3,8 .

Знаючи точки екстремуму, легко встановити області зростання й спадання функції:

для-∞ <x<-1 функція зростає; для-1<x<1 функція спадає; для1<x<2 функція зростає; для2<x<6 функція спадає; для6<x<∞ функція зростає.

«Вища математика»

6. Встановлення областей опуклості і вгнутості, а також точок перегину. Для знаходження точок перегину дорівнюємо другу похідну до

нуля. Одержуємо y′′ = 0, тобто x −138 = 0 , звідки x = 138 .

При переході через значення x = 138 друга похідна змінює знак:

	8			8
y′′		−h	< 0; y′′		+h	> 0.
y′′	13	−h	< 0; y′′	13	+h	> 0.
	13			13

Щоб встановити області опуклості й вгнутості, розглянемо знак другої похідної у наступних проміжках:

(−∞,

) , (

,2) , (2,+∞) .

Маємо:

y′′< 0

для − ∞ < x <

- крива опукла;

′′

для 13 < x < 2, y

> 0 - крива вгнута;

для 2 < x < +∞,

y′′ > 0

- крива вгнута.

7. Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді:

де

y=kx+b,

(2.6)

f (x)

k = lim

(2.7)

x→∞

b = lim [f (x) −kx].

(2.8)

x→∞

За формулами (2.7) і (2.8) знаходимо k і b:

k =

lim

−6x 2 + 25x −28

;

2x(x −2)2

x →∞

−6x2 + 25x − 28

= −1.

b =

lim

−

2x(x − 2)2

x→∞

Згідно з (2.6) маємо y =

−1.

Знайдемо вертикальні асимптоти. Для цього розв`язуємо рівняння

= 0 , тобтоx −2 = 0 , звідки x=2.

Тому графік буде необмежено наближатися до вертикальної асимптоти у верхній її частині, оскільки lim y = +∞.

x→2±0

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Тепер установимо взаємне розташування кривої й асимптоти y = 12 x −1.

Для цього складемо різницю ординат кривої і асимптоти:

	x 3 −6x 2 +	25x −28			−		1	x	+1 =	13x −20			.
	2(x −2)2						2			2(x −2)2

Ця різниця дорівнює		нулеві				при			x =		20	, тобто графік кривої
										13
		20		3										20

перетинає асимптоту в точці			, -				. На проміжку − ∞,								ця різниця
				13
		13												13

від`ємна, отже, графік кривої знаходиться під асимптотою, а на проміжку

20
		;+∞ вона додатна, отже, графік знаходиться над асимптотою.

13

Тепер переходимо до побудови графіка. Насамперед, наносимо координатну площину, асимптоти, потім точки максимуму і мінімуму і точку перегину. Знаючи проміжки зростання й спадання функції, а також проміжки опуклості й вгнутості, ми порівняно легко будуємо графік даної

функції (рис. 2.2).

		min
8
-1 0 13	1		х
-	2	6	х
-		6

max min

Рисунок 2.2 – Графік функції

«Вища математика»

2.2 Завдання для самостійної підготовки студентів до модульного контролю

У завданнях №1-№7 необхідно знайти границі, не користуючись правилом Лопіталя.

Завдання №1.

1.1)	lim	x3		− 2x2 +1
				x5 − 4
x→∞
1.3)	lim	− x4 − 2x3 +10
				x3 − 4x +1
x→∞
1.5)	lim	x5		−2x2 +1
			3x5 −4
x→∞
1.7)	lim	x4 −2x2 +1

x→∞ x6 −4x +12
1.9)	lim	2x8 −2x5 +1
				x7 −4
x→∞
1.11)	lim		3x3 −2x2 +1
				4x3 −4
	x→∞
1.13)	lim		x5 −11x3 +1

	x→∞ x4 −4x +6
1.15)	lim		x3 −2x2 +1

	x→∞ x2 −4x −5
1.17)	lim			2x5 −11x3 +1
	x	→∞		7x5 −4
1.19)	lim		x6 − 2x3 + x −3
				x4 −12
	x→∞
1.21)	lim			x2 −2
				5 −4x +7
	x→∞ x
1.23)	lim		x4 − 2x2 +1

	x→∞ −5x4 − 4

1.2)

lim

−2x3 +12

3 −4x +3

x→∞ x

1.4)

lim

−2x2 +1

x→∞ −2x6 −4

1.6)

lim

2x4 −2x3 +12

4 −4x3 +3

x→∞ 11x

1.8)

lim

−2x3 + 2

x→∞ x3 −7x +8

1.10)

lim

x2 −2

3 −4x +3

x→∞ x

1.12)

lim

−2x2 +13

x→∞ 3x3 −4x +3

1.14)

lim

x7 +12x4 +1

5 −4x +3

x→∞ x

1.16)

lim

−2x4 +12

x→∞ x13 −4x8 +3

1.18)

lim

3x3 −2x2 +12

x→∞ 8x3 −4x +3

1.20)

lim

5x2 −3x +1

x→∞ 3x2 + x −5

1.22)

lim

5x2 −3x +1

3 + 4x −5

x→∞ 3x

1.24)

lim

5x4 −3x +1

2 +5x −5

x→∞ 3x

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

1.25)

lim

6x7 −3x5 +1

x→∞ 3x2 +9x −5

1.27)

lim

5x2 −3x +1

x→∞ 3x7 +9x −5

1.29)

lim

11x2 −3x +1

x→∞ 18x2 + x −5

Завдання №2.

2.1)

lim

−3x + 2

x2 − 4

x→2

2.3)

lim

− x −6

2 −9

x→3

2.5)

lim

+ x −20

2 −16

x→4

2.7)

lim

−4x −5

2 −25

x→5

2.9)

lim

+ x −6

x2 −4

x→2

2.11)

lim

x2 + 2x −8

x2 −4

x→2

2.13)

lim

x2 + x −12

x2 −9

x→3

2.15)

lim

x2 + 2x −35

x2 −25

x→5

2.17)

lim

x2 +4x −5

x2 −1

x→1

2.19)

lim

x2 − x −2

x2 −1

x→−1

2.21)

lim

x4 −2x3 + x2

x3 + x2

x→0

1.26)

lim

5x4 −3x +17

x→∞ 3x2 + x −5

1.28)

lim

5x2 −3x +1

x→∞ 3x8 + x7 −15

1.30)

lim

4x2 −3x +1

x→∞ 3x2 + x −5

2.2)

lim

−4x4 − x3

x6 − x3

x→0

2.4)

lim

+ x2 + x

5 − x2 − x

x→0 x

2.6)

lim

−3x3 − x2

x3 −2x2

x→0

2.8)

lim

−2x3 + x

x→0 x8 + x7 − x

2.10)

lim

x3 −1

x −1

x→1

2.12)

lim

x3 −8

x −2

x→2

2.14)

lim

x3 −1

x→1 x2 −1

2.16)

lim

x2 −4

x→2 x3 −8

2.18)

lim

x2 −9

3 −27

x→3 x

2.20)

lim

x2 −4x + 4

x3 −8

x→2

2.22)

lim

x2 −4x + 4

x2 −4

x→2

«Вища математика»

2.23)

lim

x2 −6x +9

x3 −27

x→3

2.25)

lim

−1

x→1 x2 −2x +1

2.27)

lim

x3 −125

x→5 x2 −10x + 25

2.29)

lim

x2 −6x +8

−2

x→2

Завдання №3.

3.1)

2x −1 x

lim

x→∞ 2x +

3.3)

x −1

lim

x→∞ x +1

x −4 x

3.5)

lim

x→∞ x +5

3.7)

2x + 4 x

lim

x→∞ 2x +

3.9)

3x +5 x

lim

x→∞ 3x +

3.11)

lim

5x +11 x

x→∞ 5x

3.13)

lim

21x −10 x

x→∞ 21x +1

3.15)

lim

x +3 2x

x→∞ x −

3.17)

lim

x −1 x

x→∞ x +

3.19)

lim

2x + 4 x

x→∞ 2x +1


2.24)	lim		x2		−12x +36
					x −6
	x→6
2.26)	lim			x2 +16x +64
					x +8
	x→−8
2.28)	lim			x2 −12x + 20
					x −10
	x→10
2.30)	lim	x2			−4x +3
					x −3
	x→3

3.2) lim 7x −8 x x→∞ 7x +9

x −15 x

3.4) lim x→∞ x +16

x −10 x

3.6) lim x→∞ x +11

3.8) lim x +1 4x x→∞ x −1

3.10)	x + 7	2x +4
	lim

	x→∞ x +5

		2x −	1	2x −4
3.12)	lim
			1
	x→∞ 2x +
3.14)	x −1		x −5
	lim

	x→∞ x +1				3x +2
3.16)	x − 4
	lim

	x→∞ x +5				5x −7
		2x +	4
3.18)	lim
			1
	x→∞ 2x +
3.20)		3x +	5		3x −7
	lim
			1
	x→∞ 3x +

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

		5x +11 x +4
3.21)	lim

	x→∞	5x +1
3.23)		21x −10 3x −7
	lim

	x→∞	21x +1
3.25)	x +3 x −8
	lim

	x→∞ x −1
3.27)	x −1 3x +5
	lim

	x→∞ x +1
3.29)		2x + 4 −2x −7
	lim

	x→∞	2x +1

Завдання №4.

4.1)

lim

1−cos x

5x2

x→0

4.3)

lim

arcsin 3x

x→0

4.5)

lim

arctg 3 x

4x3

x→0

4.7)

lim

1−cos8x

1−cos16x

x→0

4.9)

lim

sin 4πx

x→0 sin12πx

4.11)

lim

arc sin 4πx

x→0 arc sin 24πx

4.13)

lim

sin 2 4x

x→0 sin 2 12x

4.15)

lim

tg 2πx

x→0 x2

4.17)

lim

arctg4x

x→0

4.19)

lim

sin 4 5x

x→0

3.22)	7x −8 4x
	lim

	x→∞ 7x +9
3.24)	x −15		3x +15
	lim

	x→∞ x	+16	7x −1
3.26)	x	−10
	lim

	x→∞ x +11
3.28)	x	+1 3x +2
	lim

	x→∞ x	−1
3.30)	x	+ 7 x −4
	lim

	x→∞ x +5

4.2)

lim

sin x

x→0 sin 8x −sin 3x

4.4)

lim

arcsin 6x

x→0 arcsin 3x

4.6)

lim

1 −cos8x

x→0

4.8)

lim

2x2

−cos16x

x→01

4.10)

lim

sin 8x + x

x→0

4.12)

lim

1−cos x

x→0

4.14)

lim

x→0 tg 2 2x

4.16)

lim

arcsin 5x

10x

x→0

4.18)

lim

sin3 5x

x→0 10x3

4.20)

lim

1−cos 4x

2xtgx

x→0

«Вища математика»

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016645.4 Кб3Метод_ИР - Основы механики ХимОборуд_А4.pdf
#
03.03.20161.6 Mб28Метод_курс_ТЭС2.doc
#
15.11.2019419.84 Кб1Метода ОПУТ4-2.doc
#
03.03.20162.55 Mб87метода 2013.doc
#
03.03.2016478.72 Кб6Метода Інд Економіка і бізнес.doc
#
03.03.20161.22 Mб5метода по вышке 211.pdf
#
03.03.20162.81 Mб58Метода ТИС_03.12.11.doc
#
17.11.2018379.39 Кб2Методические рекомендации (1).doc
#
03.03.2016434.69 Кб64Методические указания (право).doc
#
03.03.20161 Mб17Методические указания и контрольные задания по промышленной электронике .doc
#
03.03.2016253.44 Кб4Методические указания курс.doc