Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

метода по вышке 211

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

50.Напрямний вектор. Канонічне рівняння прямої у

просторі.

51.Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки у

просторі.

52.Кут між двома прямими у просторі.

53.Умови паралельності двох прямих у просторі.

54.Умови перпендикулярності двох прямих у просторі.

55.Поверхня у просторі. Рівняння площини у просторі, нормальний вектор.

56.Загальне рівняння площини та його дослідження.

57.Неповні рівняння площини і їх дослідження.

58.Рівняння площини, що проходить через три дані точки.

59.Кут між площинами.

60.Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

61.Кут між прямою і площиною.

62.Умови паралельності прямої і площини.

63.Умови перпендикулярності прямої і площини.

64.Поняття поверхні другого порядку.

65.Циліндричні поверхні та їх рівняння.

66.Еліптичний циліндр.

67.Гіперболічний циліндр.

68.Параболічний циліндр.

69.Конічні поверхні та їх рівняння.

70.Сфера та її рівняння.

71.Еліпсоїд і його рівняння.

72.Однопорожнинний гіперболоїд і його рівняння.

73.Двопорожнинний гіперболоїд і його рівняння.

74.Еліптичний параболоїд і його рівняння.

75.Гіперболічний параболоїд і його рівняння.

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

МОДУЛЬ 2

2.1 Приклади розв’язування типових задач

Задача №1. Знайти: Y =	lim	7x3 + 6x	−1	.
		3 −3x2 +	5x + 4
	x→+∞ 6x

Розв'язання. Маємо невизначеність виду [ ∞∞]. Поділимо чисельник і знаменник дробу на x3 .

7x3 + 6x −1

7 +

−

Y = lim

lim

x→ +∞ 6x

− 3x

+ 5x

+ 4

x→ +∞

−

Тепер можна застосувати теорему про границю дробу:

Теорема 2.1. Якщо

lim

f (x) = b,

lim ϕ(x) = c,

c ≠ 0, то функція

f (x)

x→+∞

f (x)

має границю при x → +∞, причому lim

, тобто границя

ϕ(x)

x→+∞ ϕ(x)

відношення функцій дорівнює відношенню границь, якщо границя знаменника не дорівнює нулеві.

Зважаючи на те, що при x → ∞	6	,	1	,....,	4	– нескінченно малі
	х2		х3		х3

величини, маємо Y = 76 .

Відповідь: Y = 76 .

Застосований прийом є загальним: щоб розкрити невизначеність

виду ∞∞ , задану відношенням двох многочленів, треба чисельник і

знаменник поділити на xk , де k — найвищий ступінь зазначених многочленів. Тоді границя частки двох многочленів дорівнює:

-відношенню коефіцієнтів при старших ступенях х, якщо ступені чисельника і знаменника однакові;

-нулю, якщо ступінь знаменника більше ступеня чисельника;

-нескінченості, якщо ступінь знаменника менше ступеня

чисельника.

Наприклад,

«Вища математика»

lim

6x5 −7x4 +3x3 −4x2

+8x −9

= 2;

−11x −2

x→∞3x5 +5x4 −6x3 +7x2

lim

2x 4 −7x

= 0;

2 +9x 5 −8x

x→∞ 5x

−5x −2

lim

4x 3 −6x 2 +1x −18

= ∞.

3x 2 −9x + 24

x→∞

Задача №2. Знайти Y = lim

x 2 −9

x +1

−

x→3

Розв'язання. При x = 3 чисельник і знаменник дробу обертаються в

нуль. Знаменник містить ірраціональний вираз

x + 1 − 2. Позбудемося

ірраціональності у знаменнику. Для цього помножимо чисельник і

знаменник на спряжений знаменнику вираз

x + 1 + 2,

який не дорівнює

нулеві для x ≥ −1, x ≠ 3. Маємо:

Y = lim

x2 −9

lim

(x −3)(x +3)(

x +1 + 2)

x +1 − 2

( x

+1 − 2)(

x +1 + 2)

x→3

= lim

(x −3)(x +3)(

x +1 + 2)

lim

(x −3)(x +3)(

x +1 + 2)

x→3

( x +1)2 − 22

x→3

x +1 − 4

= lim

(x −3)(x +3)(

x +1 + 2)

= lim (x +3)( x +1 + 2) =

x→3

x −3

x→3

= (3 +3)(

3 +1 + 2) = 24.

Відповідь: Y=24.

невизначеність виду 0

Таким чином, щоб

розкрити

в якій

чисельник або знаменник містить ірраціональність, треба позбутися ірраціональності.

Деякі невизначеності виду 00 розкриваються за допомогою першої важливої границі:

lim	sin α	=1.	(2.1)
	α
α→0

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

x−a 2

sin

2 x

Задача №3. Знайти Y = lim

x→0

x 2

Розв'язання. Використовуємо (2.1):

2 x

x 2

sin

Y = lim

= lim

x→0

Відповідь. Y =

Наслідки першої важливої границі:

lim

sin ax

= a;

x→0

lim

tg x

=1;

x→0

lim

arcsin x

=1;

x→0

lim

arctg x

=1.

x→0

Задача №4. Знайти Y = lim

cos a - cos x

x→a

x 2 −a 2

Розв'язання. Скористаємося тим,

що

при

x →a

виконується:

→ 0, а тому:

x − a

sin

→1.

x − a

Маємо:

x +a

x −a

x +a

x −a

2sin

sin

Y = lim

lim

x −a

x→a

+ a)(x −a)

x→a

+ a

sin

sin a

= lim

x→a

x + a

Відповідь: Y = sin2aa .

«Вища математика»

Такі ж результати можна отримати й за допомогою наступної теореми.

Теорема 2.2. При розкритті невизначеностей виду [0/0] можна чисельник і знаменник заміняти величинами, їм еквівалентними.

Задача №5. Знайти Y =	lim	sin(x2	−9)	.

	x→3 x2 −4x +3

Розв'язання. Синус нескінченно малого кута еквівалентний самому цьому куту (точніше, його величині в радіанах), тому:

Y =

lim

sin(x2

−9)

lim

−9

lim

(x −3)(x +3)

lim

x +3

= 3.

(x −3)(x −1)

x→3 x2 − 4x +3

x→3

x→3 x −1

Відповідь: Y=3.

Перейдемо до задач, пов'язаних з розкриттям невизначеностей виду

[1∞]. При цьому можуть бути застосовані наступні формули (друга важлива границя):

			1 x
lim	1	+			= e;

x→∞			x
lim (1 + x)				1	= e;
				x
x→0						(2.2)
			k x

lim	1	+			= ek ;

x→∞			x

lim (1 + kx)1x = ek . x→0

Задача №6. Знайти lim (1 +5tg2x)3ctg2x .

x→0

Розв'язання. Для того щоб розв'язання цієї задачі звести до формул (2.2), зробимо заміну змінної:

tg 2 x = z .
Тоді:
ctg 2 x =	1	=	1	.
	tg 2 x
			z

Оскільки,

lim z = lim tg 2 x = 0 , x→0 x→0

то нова змінна z →0 , коли x →0. Маємо:

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

	1				1 3
lim (1+5tg2x)3ctg2x = lim (1 +5z)3			= lim (1			= e15.
lim (1+5tg2x)3ctg2x = lim (1 +5z)3		z	= lim (1	+5z) z		= e15.
x→0	z→0
x→0	z→0		z→0

Відповідь: Y = e15 .

	1	x
Задача №7. Знайти Y =		x+1
	lim		.

Розв'язання.	x→∞ x3

Теорема 2.3. Якщо існують кінцеві границі

місце формула:

lim		lim
lim	[f(x)]ϕ(x)= lim f(x) x →a
x→a	x→a

lim f(x) і	lim ϕ(x) , має
x→a	x→a
ϕ(x)
.

Згідно з теоремою 2.3:

lim 1 x +1

x→∞ x3

		1	xlim→∞	x
				x +1
=	lim				.

x→∞ x3

lim

= 0;

lim

=1,

x→∞ x3

x→∞ x +1

тому

x+1

= 0.

lim

x→∞ x 3

Відповідь. Y=0.

2x+4

Задача №8. Знайти Y =

lim

x +7

x→∞ x +5

Розв'язання. Розділимо чисельник і знаменник дробу на х і скористаємося формулами (2.2):

«Вища математика»

2x +4

+ 7

2x +4

1 +

lim

= lim

2x +4

x→∞ x

x→∞

1 +

x 2

lim 1

lim 1 +

lim 1

x→∞

x x→∞

5 4

x 2

5 2x

lim 1 +

lim 1

x→∞

x x→∞

lim 1

x→∞

=(e7 )2 = e14 = e4. (e5 )2 e10

Відповідь: Y = e 4 .

Задача №9. Знайти похідну функції:

y =

1 + x 2

Розв'язання. За формулою похідної дробу:

′

u v − v u

v 2

У даному випадку u = x,

v =

1+x 2 ,

тому

′

x′ 1 + x

1 + x

−

y′ =

+ x

2 2

Виконавши диференціювання, отримаємо:

	1 1 + x 2 −	1	2xx
		+ x 2
y′ =	2 1			.
	1 + x 2

Після спрощень одержимо:

y′ =	1	.
	(1 + x 2 )3

(2.3)

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Відповідь: y′ =

(1 + x 2 )3

Задача №10. Знайти похідну функції y = cos

1 + x

Розв'язання. Для

функції

y = cos

останньою

операцією є

+ x

обчислення косинусу,

тому

проміжним

аргументом є

u =

+ x

Проміжним аргументом виразу

є v =

.Тому дана функція має

вигляд:

1 + x

x +

y = cos u; u =

v =

1+ x

Застосувавши формулу:

′ =

(cos u)′u ( v)′v (

)′x ,

+ x

отримаємо:

y′ = −sin

−

+ x

(1 + x)2

Остаточно:

1 + x

′

3 sin

1 + x .

2(1 + x) 2

sin

Відповідь: y′ =

1 + x

2(1 + x) 2

Задача №11. Знайти похідну функції y = arcctg

(x > 0) .

Розв'язання. Спочатку введемо проміжну функцію u, а потім безпосередньо продиференцюємо вихідну функцію.

Переформулюємо задачу:

«Вища математика»

y = arcctg u;

u =

;

y′ = −

′

1 1

= −

−

1 + u 2

1 + u

x 2 x

Оскільки u =

, то u 2 =

, тому

y′ = −

−

x 2

Остаточно:

1 + x −1

′

= 2

x (1+ x) .

Відповідь:

′

= 2

x (1+ x) .

Задача №12. Знайти похідну функції y = e

x2 +x+e .

Розв'язання:

y′ = e x2 +x+e

(2x +1).

x 2 + x +2

y′

x2 +x+e

Відповідь:

(2x +1).

x 2 + x +2

Задача №13. Знайти похідну функції y = ln

, x > 0 .

1 + x2

Розв'язання. Перепишемо функцію у вигляді:

y = ln x -

ln(1+ x 2 ) .

Тоді

1+ x 2 −x 2

y′ =

1 1 1

−

2x =

1+ x 2

x(1+ x 2 )

Відповідь:

′

= x(1 + x 2 ) .

Задача

№14.

Знайти

похідну

функції,

заданої неявно:

y5 −5axy + x 5 = 0.

Розв'язання. Продиференцюємо обидві частини рівності: 5y 4 y′−5ay −5axy′+5x 4 = 0.

ДВНЗ«ДонНТУ» Автомобільно-дорожній інститут

Згрупуємо доданки:

y′(y4 −ax) = ay −x 4 .

Остаточно одержуємо:

y′ = ay − x 4 . y4 − ax

Відповідь: y′ = (ay − x 4 ) /( y 4 −ax).

Задача №15. Визначити похідну степенево-показникової функції:

y = (sin x)cos x

(0 < x < р).

Розв'язання. Прологарифмуємо обидві частини рівності:

ln y = cos x ln sin x.

Тепер продиференцюємо обидві частини останньої рівності,

враховуючи, що ln y – складна функція змінної х:

y′ = −sin x ln sin x +cos x

cosx.

sin x

Помножимо обидві частини цієї рівності на у, що за умовою задачі

дорівнює (sin x)cos x . Остаточно одержимо:

cos

cos x

cos

y′ = y −sin x ln sin x

−sin x ln sin x

(sin x)

sin x

Відповідь:

cos

y′ = y −sin x ln sin x +

= (sin x)

cos x

−sin x ln sin x +

sin x

Задача №16. Знайти

2 y

, якщо

dx 2

x = t2 + 2t;

y = ln(t +1).

Розв`язання.

Якщо функція у від незалежної змінної х задана через допоміжну змінну (параметр) t:

x = x(t),	y = y(t),
то похідні від у по х визначаються формулами:
y′x	=	dy	=	yt′	.	(2.4)

		dx		xt′

«Вища математика»

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016645.4 Кб3Метод_ИР - Основы механики ХимОборуд_А4.pdf
#
03.03.20161.6 Mб28Метод_курс_ТЭС2.doc
#
15.11.2019419.84 Кб1Метода ОПУТ4-2.doc
#
03.03.20162.55 Mб87метода 2013.doc
#
03.03.2016478.72 Кб6Метода Інд Економіка і бізнес.doc
#
03.03.20161.22 Mб5метода по вышке 211.pdf
#
03.03.20162.81 Mб58Метода ТИС_03.12.11.doc
#
17.11.2018379.39 Кб2Методические рекомендации (1).doc
#
03.03.2016434.69 Кб64Методические указания (право).doc
#
03.03.20161 Mб17Методические указания и контрольные задания по промышленной электронике .doc
#
03.03.2016253.44 Кб4Методические указания курс.doc