МУ 15-42 ФИЗИКА Алмаз

131

Розв'язок. Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі буде відбуватися по колу тільки в тому випадку, коли частка влетить в магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції v B. Оскільки

де m – маса протона.

На рис. 37 суміщена траєкторія протона з площиною креслення й наданий (довільно) напрям вектора v. Силу Лоренца направимо перпендикулярно вектору v до центра кола (вектори an та Fл співнапрямлені). Використовуючи правило лівої руки, визначимо напрямок магнітних силових ліній (напрям вектора B).

Перепишемо вираз (1) в скалярній формі (у проекції на радіус):

вираз (2) перепишемо так:

Q B m 2 / R.

Звідси знаходимо радіус кола:

R m / (QB).

Помітивши, що m є імпульс протона (p), цей вираз можна записати у вигляді:

Імпульс протона знайдемо, скориставшись зв'язком між роботою сил електричного поля й зміною кінетичної енергії протона, тобто:

A T

або

Q( 1 2) T2 T1,

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

132

де 1 2 – прискорююча різниця потенціалів (або прискорююча напруга U);

T1 і T2 – початкова та кінцева кінетичні енергії протона.

Нехтуючи початковою кінетичною енергією протона ( T1 0) і виразивши кінетичну енергію T2 через імпульс p, отримаємо:

QU p2 / (2m).

Знайдемо з цього виразу імпульс p 2mQU і підставимо його у форму-

лу (3):

R 2mQU

QB

або

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю довжини (м):

Підставимо у формулу (4) числові значення фізичних величин і зробимо обчислення:

норідне магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції. На рис. 38 лінії магнітної індукції перпендикулярні площини креслення й спрямовані «від нас» (позначені хрестиками).

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

133

Рух електрона по колу еквівалентно круговому току, який в даному випадку визначається виразом:

e

Iекв T ,

де e – заряд електрона;

T – період його звернення.

Знаючи Iекв, знайдемо магнітний момент еквівалентного кругового струму. За визначенням, магнітний момент контуру зі струмом виражається співвідношенням:

де S – площа, обмежена колом, описуваного електроном (S R2 ). Підставивши Iекв з (1) у вираз (2), отримаємо:

(див. приклад 8). Змінивши Q на e , знайдемо цікаву для нас швидкість

e BR/ m і підставимо її у формулу (3):

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

134

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю магнітного моменту ( A м2 ):

7,03 пА м2.

Приклад 10. Електрон рухається в однорідному магнітному полі (B 10 мТл) по гвинтовій лінії, радіус R котрої дорівнює 1 см та крок h 6 см. Визначити період T обертання електрона та його швидкість .

Розв'язок. Електрон буде рухатися по гвинтовій лінії, якщо він влітає в однорідне магнітне поле під деяким кутом ( /2) до ліній магнітної індукції. Розкладемо, як це показано на рис. 39, швидкість v електрона на дві складові: паралельну вектору B (vII) й перпендикулярну йому

(v ).

Рисунок 39 – Рух електрона по гвинтовій лінії у однорідному магнітному полі

Швидкість vII в магнітному полі не змінюється й забезпечує переміщення електрона вздовж силової лінії. Швидкість v в результаті дії

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

135

сили Лоренца буде змінюватися лише за напрямком (Fл v ) (за відсутності паралельної складової (vII 0) рух електрона відбувався б по колу в площині, яка перпендикулярна магнітним силовим лініям). Таким чином, електрон буде брати участь одночасно у двох рухах: рівномірному переміщенні зі швидкістю II й рівномірному русі по колу зі швидкістю .

Період обертання електрона пов'язаний з перпендикулярною складовою швидкості співвідношенням:

Знайдемо відношення R / . Для цього скористаємося тим, що сила Лоренца повідомляє електрону нормальне прискорення an 2 / R. Згідно з другим законом Ньютона можна написати:

Fл man

або

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю часу

(c):

Модуль швидкості , як це видно з рис. 45, можна виразити через

та II:

22

II .

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

136

З формули (2) виразимо перпендикулярну складову швидкості:

Паралельну складову швидкості II знайдемо з наступних міркувань. За час, що дорівнює періоду обертання T , електрон пройде вздовж силової лінії відстань, яка дорівнює кроку гвинтової лінії, тобто h T II, звідки:

II hТ.

Підставивши замість T праву частину виразу (2), отримаємо:

e Bh

II 2 m .

Таким чином, модуль швидкості електрона:

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю швидкості (м/ с). Для цього зауважимо, що R та h мають однакову одиницю метр (м). Тому в квадратних дужках поставимо тільки одну з величин (наприклад, R):

1кг м с

1 м/с.

1 кг с2

Зробимо обчислення:

Приклад 11. Альфа-частинка пройшла прискорючу різницю потенціалів U 104 В і влетіла в схрещені під прямим кутом електричне ( E 10 кВ/м) і магнітне (B 0,1 Тл) поля. Знайти відношення заряду

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

137

альфа-частинки до її маси, якщо, рухаючись перпендикулярно до обох полів, частка не відчуває відхилень від прямолінійної траєкторії.

Розв'язок. Для того, щоб знайти відношення заряду Q альфачастинки до її маси m, скористаємося зв'язком між роботою сил електричного поля й зміною кінетичної енергії частинки:

QU m 2 / 2,

звідки

Швидкість альфа-частинки знайдемо з наступних міркувань. У схрещених електричному й магнітному полях на рухому заряджену частинку діють дві сили:

а) сила Лоренца Fл Q vB , спрямована перпендикулярно швид-

кості v й вектору магнітної індукції B;

б) кулонівська сила Fк QE, співнапрямлена з вектором напруже-

ності E електростатичного поля (Q 0). На рис. 40 направимо вектор магнітної індукції B уздовж осі Oz, швидкість v – в позитивному напрямку осі Ox, тоді Fл і Fк будуть спрямовані так, як показано на рисунку.

Рисунок 40 – Рух альфа-частинки в схрещених полях

Альфа-частинка не буде відчувати відхилення, якщо геометрична сума сил Fл Fк буде дорівнюватиме нулю. У проекції на вісь Оу отрима-

ємо наступну рівність (при цьому враховано, що v B і sin 1):

QE Q B 0,

звідки

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

138

E / B.

Підставивши цей вираз швидкості у формулу (1), отримаємо:

Q/ m E2(2UB2).

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю питомого заряду (Кл/кг):

Приклад 12. Коротка катушка, яка містить N 103 витків, рівномірно обертається з частотою n 10 c 1 щодо осі АВ, що лежить в площині катушки й перпендикулярних лініях однорідного магнітного поля ( B 0,04 Тл) (рис. 41). Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина катушки складає кут 60° з лініями поля. Площа S катушки дорівнює 100 см2.

Рисунок 41– Катушка у магнітному полі

Розв'язок. Миттєве значення ЕРС індукції 1 визначається основним рівнянням електромагнітної індукції Фарадея – Максвелла:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

Потокозчеплення NФ, де N – число витків катушки, які пронизані магнітним потоком Ф. Підставивши вираз у формулу (1), отримаємо:

При обертанні катушки магнітний потік Ф, що пронизує катушку в момент часу t, змінюється за законом:

Ф BS cos ωt,

де B – магнітна індукція; S – площа катушки;

– кутова швидкість катушки.

Підставивши у формулу (2) вираз магнітного потоку Ф і продиференціюювавши за часом, знайдемо миттєве значення ЕРС індукції:

i NBSω sin ωt.

Помітивши, що кутова швидкість пов'язана з частотою обертання n катушки співвідношенням 2 n і що кут t /2 (рис. 41), отримаємо (враховано, що sin( / 2 ) cosα):

i 2 nNBS cos α.

Переконаємося в тому, що права частина цієї рівності дає одиницю ЕРС (В):

i 2 3,14 10 103 0,04 10 2 0,5 В 25,1 В.

Приклад 13. Квадратна дротяна рамка зі стороною a 5 см та опором R 10 мОм знаходиться в однорідному магнітному полі (B 40 мТл). Нормаль до площини рамки складає кут 30° з лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q, який пройде по рамці, якщо магнітне поле вимкнути.

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

140

Розв'язок. При виключенні магнітного поля відбудеться зміна магнітного потоку. Внаслідок цього в рамці виникне ЕРС індукції, яка визначається основним законом електромагнітної індукції:

i dФ. dt

Виникла ЕРС індукції викличе в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити, скориставшись законом Ома для повного кола Ii i / R, де R – опір рамки, тоді:

Проінтегрувавши вираз (1), знайдемо:

Помітивши, що при вимкненому полі (кінцевий стан) Ф2 0, остання рівність перепишеться у вигляді:

Знайдемо магнітний потік Ф1. За визначенням магнітного потоку ма-

ємо:

Ф1 BS cos α,

де S – площа рамки.

У нашому випадку (рамка квадратна) S a2, тоді:

Підставивши (3) в (2), отримаємо:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики