МУ 15-42 ФИЗИКА Алмаз
.pdf
|
111 |
378. Визначити кількість теплоти Q, що виділилася за час t 10 c |
|
в провіднику опором R 10 Ом, якщо сила струму в ньому, рівномірно |
|
зменшуючись, змінилася від I1 10 A до I2 0. |
|
379. Сила струму в ланцюзі змінюється за законом I I |
0 sin ωt. |
Визначити кількість теплоти, що виділиться в провіднику |
опором |
R 10 Ом за час, що дорівнює чверті періоду (від t1 |
0 до t2 T /4, де |
T 10 c). |
|
380.Сила струму в ланцюзі змінюється з часом за законом I I0e t. |
|
Визначити кількість теплоти, що виділиться в |
провіднику опором |
R 20 Ом за час, протягом якого струм зменшиться в e разів. Коефіцієнтприйняти рівним 2 10 2c 1.
ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут
112
4ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
4.1Основні формули
Зв'язок магнітної індукції В з напруженістю Н магнітного поля:
|
B 0H , |
(4.1) |
де – магнітна проникність ізотропного середовища; |
||
0 |
– магнітна постійна. У вакуумі 1, |
і тоді магнітна індукція у |
вакуумі: |
|
|
|
B 0H . |
(4.2) |
Закон Біо – Савара – Лапласа:
|
0 |
|
|
I |
|
0 |
|
I sin α |
|
|
dB |
dlr |
|
або dB |
|
dl, |
(4.3) |
||||
|
4 |
|
r3 |
|
4 |
|
r2 |
|
де dB – магнітна індукція поля, яке створене елементом проводу довжиною dl з струмом I ;
r – радіус-вектор, спрямований від елемента провідника до точки, в якій визначається магнітна індукція;
– кут між радіус-вектором і напрямком струму в елементі прово-
ду.
Магнітна індукція в центрі кругового струму:
B 0I ,
2R
де R – радіус кругового витка.
Магнітна індукція на осі кругового струму:
B |
0 |
|
R2I |
, |
2 |
|
(R2 h2)3/2 |
||
|
|
|
(4.4)
(4.5)
де h – відстань від центру витка до точки, в якій визначається магнітна індукція.
Магнітна індукція поля прямого струму:
B 0I /(2 r0),
Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики
113
де r0 – відстань від осі проводу до точки, в якій визначається магнітна індукція.
Магнітна індукція поля, яке створене відрізком проводу зі струмом (див. рис. 25, a та приклад 1):
Рисунок 25 – Визначення вектора B для а) несиметричного та |
б) |
||||||
симетричного випадків |
|
|
|
||||
B |
0 |
|
I |
(cos α cos α |
2 |
). |
(4.7) |
|
|
||||||
1 |
|
|
|||||
|
4 r0 |
|
|
|
Позначення ясні з рисунка. Напрямок вектора магнітної індукції B позначено крапкою – це означає, що B направлений перпендикулярно до площини креслення до нас.
При симетричному розташуванні решт проводу відносно точки, в якій визначається магнітна індукція (рис. 25, б), cosα2 cos α1 cos α, тоді:
B |
0 |
|
I |
cos α. |
(4.8) |
|
|
||||
|
2 r0 |
|
|||
Магнітна індукція поля довгого соленоїда: |
|
||||
В 0nI , |
(4.9) |
де n – відношення числа витків соленоїда до його довжини.
Сила, що діє на дріт зі струмом у магнітному полі (закон Ампера):
F I lВ |
або F IBl sin α, |
(4.10) |
|
|
|
|
|
де l – довжина дроту;
ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут
114
– кут між напрямком струму у дроті й вектором магнітної індукції
B.
Цей вираз справедливий для однорідного магнітного поля й прямого відрізка дроту. Якщо поле неоднорідне й дрот не є прямим, то закон Ампера можна застосовувати до кожного елементу дроту окремо:
dF I dlB . |
(4.11) |
|
|
|
|
Магнітний момент плоского контуру зі струмом:
pm nIS, |
(4.12) |
де n – одиничний вектор нормалі (позитивної) до площини контуру; I – сила струму, що протікає по контуру;
S – площа контуру.
Механічний (обертальний) момент, який діє на контур зі струмом,
що вміщений в однорідне магнітне поле: |
|
|
|
||
M p |
B |
або M p |
m |
B sin α, |
(4.13) |
m |
|
|
|
|
де – кут між векторами pm і B.
Потенційна енергія (механічна) контуру зі струмом у магнітному по-
лі: |
|
|
мех pmB |
або мех pmB cos α. |
(4.14) |
Відношення магнітного моменту pm до механічного L пульсу) зарядженої частинки, що рухається по колу:
pm 1 Q , L 2 m
де Q – заряд частинки; m – маса частинки. Сила Лоренца:
F Q vB |
або F Q B sin α, |
|
|
|
|
(моменту ім-
(4.15)
(4.16)
де v – швидкість зарядженої частинки;– кут між векторами v і B. Магнітний потік:
Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики
115
а) у разі однорідного магнітного поля й плоскої поверхні:
Ф ВS cos α або |
Ф ВnS, |
(4.17) |
де S – площа контуру;
– кут між нормаллю до площини контуру й вектором магнітної індукції:
б) у випадку неоднорідного поля й довільної поверхні: |
|
Ф BndS |
(4.18) |
S |
|
(інтегрування ведеться по всій поверхні). |
|
Потокозчеплення (повний потік): |
|
NФ. |
(4.19) |
Ця формула вірна для соленоїда й тороїда з рівномірним намотуванням щільно прилеглих один до одного N витків.
Робота по переміщенню замкнутого контуру в магнітному полі:
A I Ф. |
(4.20) |
||
ЕРС індукції: |
|
||
i |
d |
. |
(4.21) |
|
|||
|
dt |
|
|
Різниця потенціалів на кінцях дроту, що рухається зі швидкістю v у |
|||
магнітному полі: |
|
||
U Bl sin α, |
(4.22) |
де l – довжина дроту;
– кут між векторами v і B.
Заряд, що протікає по замкнутому контуру при зміні магнітного потоку, який пронизує цей контур:
Q Ф / R або Q N Ф / R / R, (4.23)
де R – опір контуру.
Індуктивність контуру:
L Ф/ I . |
(4.24) |
ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут
116
ЕРС самоіндукції: |
|
||
s L |
dI |
. |
(4.25) |
|
|||
|
dt |
|
|
Індуктивність соленоїда: |
|
||
L 0n2V, |
(4.26) |
де n – відношення числа витків соленоїда до його довжини; V – об'єм соленоїда.
Миттєве значення сили струму в ланцюзі, що має опір R та індуктивність L:
а) при замиканні ланцюга: |
|
|
|
|||
I |
|
(1 e Rt/L), |
(4.27) |
|||
|
||||||
|
R |
|
|
|
||
де – ЕРС джерела струму; |
|
|||||
t – час, що минув після замикання ланцюга; |
|
|||||
б) при розмиканні ланцюга: |
|
|||||
I I0e Rt/L , |
(4.28) |
|||||
де I0 – сила струму в колі при t 0; |
|
|||||
t – час, що минув з моменту розмикання ланцюга. |
|
|||||
Енергія магнітного поля: |
|
|
|
|
|
|
W |
LI |
2 |
. |
(4.29) |
||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
Об'ємна щільність енергії магнітного поля (відношення енергії магнітного поля соленоїда до його об'єму):
BH / 2 |
або B2 / (2 0) |
або 0H2 / 2, |
(4.30) |
де B – магнітна індукція;
H– напруженість магнітного поля.
4.2Методичні вказівки до розділу «Електромагнетизм»
При знаходженні індукції магнітного поля методом суперпозиції з використанням або безпосередньо закону Біо – Савара – Лапласа, або
Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики
117
формул, виведених раніше з цього закону, слід мати на увазі, що цей закон справедливий тільки для лінійних струмів, тобто для провідників, поперечні розміри яких пренебрежимо малі в порівнянні з відстанню від провідника до заданої точки поля. Відсутність будь-яких даних про поперечні перерізи провідників в умові задачі є неявною вказівкою на лінійність струму.
Напрямок сили Ампера можна визначити або за правилом лівої руки, або безпосередньо у напрямку векторного добутка. Рух заряджених частинок в електричному й магнітному полях відбуваються під дією електри-
чної сили Fел qE і магнітної (лоренцева) сили Fл q B . На частинки діє також сила тяжіння Fт mG, де G – напруженість гравітаційного поля, але, як показують розрахунки, для заряджених мікрочастинок, що рухаються навіть у слабких електричних і магнітних полях, величиною Fт можна знехтувати. Так як сила Лоренца Fл нормальна до вектора , вона змінює лише напрям швидкості, але не його модуль, тобто вона обумовлює нормальне прискорення зарядженої частинці. Це означає, що заряджена частинка рухається в магнітному полі по дузі кола.
Розрахунок роботи сил поля слід проводити за формулою А I Ф, де Ф Ф2 Ф1 – кінцеве прирощення магнітного потоку, що пронизує контур. При русі прямого провідника в полі під величиною Ф слід розуміти абсолютне значення магнітного потоку, яке пересічене провідником при його русі. У цьому випадку знак роботи слід визначати за напрямом руху провідника. Якщо напрямок його руху збігається з напрямком сили Ампера, то А I Ф, в іншому випадку А І Ф.
У явищах електромагнітної індукції магнітний потік крізь контур змінюється як при русі контуру або окремих його ділянок, так і при зміні в часі магнітного потоку. В обох випадках для визначення ЕРС індукції користуються законом Фарадея (4.21).
Знак ЕРС індукції так само, як і напрямок індукційованого струму, може бути визначений безпосередньо з наведеної формули або за допомогою правила Ленца. У першому випадку слід вибрати який-небудь напрямок нормалі. Це визначить знак магнітного потоку й знак його похідної. Якщо в результаті застосування формули (4.21) індукований струм у контурі (або ЕРС індукції) виявиться величиною позитивною, то це означає, що напрямок нормалі вибрано правильно, тобто якщо дивитися з кінця вектора нормалі на контур, струм буде йти проти годинникової стрілки.
Якщо прямолінійний провідник рухається в однорідному полі, причому провідник, швидкість його руху й вектор індукції поля взаємно перпендикулярні, то можна скористатися виразом i B l. У загальному випадку:
ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут
118
i B dl .
l
4.3 Приклади розв'язання задач
Приклад 1. По відрізку прямого дроту довжиною l 80 см тече струм I 50 A. Визначити магнітну індукцію B поля, що створене цим струмом, в точці А, яка рівновіддалена від кінців відрізка дроту й яка знаходиться на відстані r0 30 см від його середини (рис. 26).
Рисунок 26 – Розташування точки А відносно відрізку прямого дроту з постійним струмом
Розв'язок. Для вирішення завдань скористаємося законом Біо – Савара – Лапласа й принципом суперпозиції магнітних полів. Закон Біо – Савара – Лапласа дозволяє визначити магнітну індукцію dB, що створюється елементом струму Idl . Зауважимо, що вектор dB у точці А спрямований за площину креслення. Принцип суперпозиції дозволяє для визначення B скористатися геометричним підсумовуванням (інтегруванням):
B dB, |
(1) |
l |
|
де символ l означає, що інтегрування поширюється на всю довжину дроту.
Запишемо закон Біо – Савара – Лапласа у векторній формі:
|
0I |
|
|
|
||
dB |
dlr |
|
, |
|||
|
||||||
|
4 r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики
119
де dB – магнітна індукція, що створюється елементом дроту довжиною dl з струмом I в точці, яка визначається радіусом-вектором r ;
0 – магнітна постійна;– магнітна проникність середовища, в якій знаходиться дріт (у
нашому випадку 1). Зауважимо, що вектори dB від різних елементів струму співнапрямлені (рис. 26), тому вираз (1) можна переписати у скалярній формі:
B dB,
l
де
dB 0I sin α dl. 4 r2
У скалярному виразі закону Біо – Савара – Лапласа кут є кут між елементом струму Idl і радіусом-вектором r . Таким чином:
B |
0I |
|
sin |
α |
dl. |
(2) |
4 |
2 |
|
||||
|
l |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перетворимо фундаментальний вираз так, щоб була одна змінна – кут . Для цього виразимо довжину елемента дроту dl через кут d : dl rd / sinα (рис. 26).
|
Тоді |
підінтегральний |
вираз |
sin α |
dl |
запишемо у |
вигляді |
||||
|
|
||||||||||
sin α |
|
rd |
|
d |
|
|
r2 |
|
|
||
|
|
. Зауважимо, |
що змінна r |
також залежить |
від , |
||||||
r2 |
sin α |
|
|||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
(r r0 / sin a), отже:
d sin α d . r r0
Таким чином, вираз (2) можна переписати у вигляді:
B 0I 2 sin αd ,
4 r0 1
де 1 и 2 – межі інтегрування. Зробимо інтегрування:
ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут
120
B |
0I |
(cos α |
cos α |
2 |
). |
(3) |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
||
|
4 r0 |
|
|
|
|
Зауважимо, що при симетричному розташуванні точки А щодо відрізка дроту cos α2 cos α1. З урахуванням цього формула (3) набуде вигляду:
B 0I cos α1. 2 r0
З рис. 26 маємо:
cosα1 |
|
l / 2 |
|
|
|
l |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(l / 2)2 r2 |
4r2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
l2 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Підставивши вираз cos 1 у формулу (4), отримаємо:
B |
0I |
|
|
l |
|
. |
2 r0 |
|
|
|
|
||
|
|
4r02 l2 |
||||
|
|
|
|
|
Провівши обчислення за формулою (5), знайдемо:
B 26,7 мкТл.
(4)
(5)
Напрямок вектора магнітної індукції B поля, що створене прямим струмом, можна визначити за правилом свердлика (правило правого гвинта). Для цього проводимо магнітну силову лінію (штрихова лінія на рис. 27) та по дотичній до неї в точці, що нас цікавить, проводимо вектор B. Вектор магнітної індукції B в точці А (рис. 26) направлений перпендикулярно до площини креслення від нас.
Рисунок 27 – Дія правила правого гвинта
Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики