МУ 15-42 ФИЗИКА Алмаз

81

Рисунок 7 – Рівновага системи чотирьох зарядів

де F2, F3, F4 – сили, з якими відповідно діють на заряд Q1 заряди

Q2 , Q3, Q4 ;

F – рівнодіюча сил F2 та F3.

Оскільки сили F і F4 направлені по одній прямій в протилежні сторони, то векторну рівність (1) можна замінити скалярною: F F4 0, звідки F4 F. Визначив в останньої рівності F через F2 і F3 та враховуючи, що F3 F2, отримаємо:

F4 F2 2(1 cos α).

Застосувавши закон Кулона й маючи на увазі, що Q2 Q3 Q1, знай-

демо:

З геометричних побудов у рівносторонньому трикутнику випливає,

що:

З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

82

Q4 Q1 / 3.

Зробимо обчислення:

Q4 10 9 / 3 Кл = 5,77 10 10Кл=577 пКл.

Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 3. Два точкових електричних заряди Q1 1 нКл і Q2 2 нКл знаходяться в повітрі на відстані d 10 см один від одного.

Визначити напруженість E та потенціал поля, яке створене цими зарядами в точці A, віддаленої від заряду Q1 на відстань r1 9 см та від заря-

ду Q2 на r2 7 см.

Розв'язок. Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, кожен заряд створює поле незалежно від присутності у просторі інших зарядів. Тому напруженість E електричного поля в точці, яку шукаємо може бути знайдена як геометрична сума напруженостей E1 та E2 полів, які створені кожним зарядом окремо: E E1 E2. Напруженості електрично-

Вектор E1 (рис. 8) спрямований по силовій лінії від заряду Q1, тому що цей заряд позитивний; вектор E2 направлено також по силовій лінії, але до заряду Q2 , тому що цей заряд негативний.

Рисунок 8 – Визначення вектора E у точці А

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

2rr1 2

У даному випадку, щоб уникнути громіздких записів зручно значення cos обчислити окремо:

Потенціал електричного поля, яке створене у вакуумі точковим зарядом Q на відстані r від нього, виражається формулою:

4 0r

У нашому випадку відповідно до формул (5) і (6) отримаємо:

Q1 Q2 4 0r1 4 0r2

або

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

84

Приклад 4. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q 40 нКл з лінійною щільністю 50 нКл/м. Визначити напруженість

E електричного поля, яке створене цим зарядом у точці А, що лежить на осі кільця й віддалена від його центру на відстань, рівну половині радіуса.

Розв'язок. Поєднаємо координатну площину xOy з площиною кільця, а вісь Oz– з віссю кільця (рис. 9).

пруженість dE електричного поля, яке створене цим зарядом, може бути записана у вигляді:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

85

де r – радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки А. Розкладемо вектор dE на дві складові: dE1, перпендикулярно пло-

щині кільця (співнапрямлену з віссю Oz), і dE2 , паралельну площині кільця (площині xOy), тобто:

dE dE1 dE2.

Напруженість E електричного поля в точці А знайдемо інтегруван-

ням:

E E1 E2 ,

L L

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів dQ, та dQ'(dQ dQ'), розташованих

прямлені з віссю Oz (одиничним вектором k ), тобто dE1 kdE1, тоді

E k dE1 .

L

Так як

то

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

86

Таким чином:

Зі співвідношення Q 2 R визначимо радіус кільця:

R Q / (2 ),

тоді:

Модуль напруженості:

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю напруженості (В/м):

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

87 1. Для визначення напруженості E1 в області I проведемо гауссову поверхню S1 радіусом r1 і скористаємося теоремою Остроградського –

Гауса:

E EndS 0,

S1

(оскільки сумарний заряд, що знаходиться всередині гауссової поверхні, дорівнює нулю). З міркувань симетрії En E1 const.

Відтак, E 0 та E1 (напруженість поля в області I) в усіх точках, які відповідають умові r1 R1, буде дорівнювати нулю.

Рисунок10 – Гауссові поверхні для двох концентричних сфер

2. В області II гауссову поверхню проведемо радіусом r2. В цьому випадку (діелектричну проникність ε середовища будемо вважати рівною одиниці (вакуум)):

E Q1 / 0,

(оскільки всередині гауссової поверхні знаходиться тільки заряд Q1). Так як En E const, то E можна винести за знак інтеграла:

E2 Q1 /( 0S2),

де S2 4 r22 − площа гауссової поверхні, тоді:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

чимо напруженість E області III через E3 та врахуємо, що в цьому випадку гауссову поверхню охоплює обидві сфери і, отже, сумарний заряд буде дорівнювати Q1 Q2, тоді:

E3 Q1 Q22 .

4 0r3

Переконаємося в тому, що права частина рівності (1) і (2) дає одиницю напруженості:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

89

Графік залежності Er представлений на рис. 11.

Рисунок 11 – Графік залежності E(r)

Приклад 6. Точковий заряд Q 25 нКл перебуває в полі, яке створене прямим нескінченним циліндром радіусом R 1 см, рівномірно зарядженим з поверхневою щільністю 0,2 нКл/см2. Визначити силу F , яка діє на заряд, якщо його відстань від осі циліндра r 10 cм.

Розв'язок. Значення сили F , яка діє на точковий заряд Q, що знаходиться в полі, визначається за формулою:

де E – напруженість поля.

Як відомо, напруженість поля нескінченно довгого рівномірно заря-

ходиться на ньому Q, двома способами: Q S 2 Rl; Q l Прирівнявши праві частини цих формул і скоротивши отриману рівність на l, знайдемо 2 R . З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду: E R /( 0r). Підставивши вираз E в (1), отримаємо:

F Q R.

0r

Зробимо обчислення:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

90

F 2,5 10 8 2 10 6 1 Н 5,65 10 4Н 565 мкН. 8,85 10 12 10

Сила F співнапрямлена з напруженістю E, яка в силу симетрії (циліндр нескінченно довгий) перпендикулярна поверхні циліндра.

Приклад 7. По тонкій нитці, яка зігнута по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною щільністю 10 нКл/м. Визначити напруженість E та потенціал електричного поля, яке створене таким розподіленим зарядом у точці, яка співпадає з центром кривизни дуги. Довжина l нитки становить 1/3 довжини кола й дорівнює 15 см.

Розв'язок. Виберемо осі координат так, щоб початок координат співпадав з центром кривизни дуги, а вісь Oy була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 12). На нитці виділимо елемент довжини dl. Заряд dQ dl, що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Рисунок 12 – Напруженість dE поля, яке створене зарядом dQ

Визначимо напруженість електричного поля в точці O. Для цього знайдемо спочатку напруженість dE поля, створюваного зарядом dQ:

де r – радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор dE через проекції dEx і dEy на осі координат:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики