Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МУ 15-42 ФИЗИКА Алмаз

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.6 Mб
Скачать

81

Рисунок 7 – Рівновага системи чотирьох зарядів

F2 F3 F4 F F4 0,

(1)

де F2, F3, F4 – сили, з якими відповідно діють на заряд Q1 заряди

Q2 , Q3, Q4 ;

F – рівнодіюча сил F2 та F3.

Оскільки сили F і F4 направлені по одній прямій в протилежні сторони, то векторну рівність (1) можна замінити скалярною: F F4 0, звідки F4 F. Визначив в останньої рівності F через F2 і F3 та враховуючи, що F3 F2, отримаємо:

F4 F2 2(1 cos α).

Застосувавши закон Кулона й маючи на увазі, що Q2 Q3 Q1, знай-

демо:

 

QQ

 

 

 

 

Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

1

 

 

2(1 cos α),

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

r2

 

 

4

r

 

 

4

0

 

 

 

 

 

звідки

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

1 1

 

 

2(1 cos α).

(2)

 

 

 

4

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З геометричних побудов у рівносторонньому трикутнику випливає,

що:

r

r /2

 

r

 

r

 

;

cos α cos60 1/2.

 

2 cos 30

 

 

 

1

cos( /2)

3

 

 

З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

82

Q4 Q1 / 3.

Зробимо обчислення:

Q4 10 9 / 3 Кл = 5,77 10 10Кл=577 пКл.

Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 3. Два точкових електричних заряди Q1 1 нКл і Q2 2 нКл знаходяться в повітрі на відстані d 10 см один від одного.

Визначити напруженість E та потенціал поля, яке створене цими зарядами в точці A, віддаленої від заряду Q1 на відстань r1 9 см та від заря-

ду Q2 на r2 7 см.

Розв'язок. Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, кожен заряд створює поле незалежно від присутності у просторі інших зарядів. Тому напруженість E електричного поля в точці, яку шукаємо може бути знайдена як геометрична сума напруженостей E1 та E2 полів, які створені кожним зарядом окремо: E E1 E2. Напруженості електрично-

го поля, яке створюється в повітрі ( 1)

зарядами Q1 та Q2 :

E

 

 

Q1

 

 

;

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

r2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

E

 

 

Q2

 

 

 

.

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

r2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

Вектор E1 (рис. 8) спрямований по силовій лінії від заряду Q1, тому що цей заряд позитивний; вектор E2 направлено також по силовій лінії, але до заряду Q2 , тому що цей заряд негативний.

Рисунок 8 – Визначення вектора E у точці А

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

Модуль вектора E знайдемо за теоремою косинусів:

83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E E2

E2 2E E

2

cos α,

(3)

1

2

1

 

 

 

 

де – кут між векторами E1

и E2 , який може бути знайдений з три-

кутника зі сторонами r1, r2та d :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2 r2

r2

 

 

 

 

cosα

 

1

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2rr1 2

У даному випадку, щоб уникнути громіздких записів зручно значення cos обчислити окремо:

(0,1)2

(0,09)2 (0,07)2

cos α

 

 

= – 0,238.

 

 

 

 

2 0,09 0,07

Підставляючи вираз E1 з (1) і E2

з (2) в (3) та виносячи загальний

множник 1/(4 0) за знак кореня, отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

1

 

 

Q12

 

Q22

2

 

 

Q1

 

 

 

Q2

 

 

cos α.

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

r4

r4

 

 

r2r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів потенціал

результуючого поля, яке створене двома зарядами Q1

 

та Q2,

дорівнює

алгебраїчній сумі потенціалів:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

Потенціал електричного поля, яке створене у вакуумі точковим зарядом Q на відстані r від нього, виражається формулою:

 

Q

.

(6)

 

4 0r

У нашому випадку відповідно до формул (5) і (6) отримаємо:

Q1 Q2 4 0r1 4 0r2

або

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

84

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

Зробимо обчислення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 4 9 109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 9 2

2 10 9 2

2

 

 

 

 

10 9 2 10 9

0,238

В м

0,09 4

 

0,09 2

0,07 2

 

 

 

0,07 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,58 103 В м 3,58 кВ м;

 

 

 

 

 

1

 

10 9

 

 

2 10 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

–157 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 4 9 109 0,09

 

 

 

 

 

0,07

 

 

 

 

 

 

Приклад 4. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q 40 нКл з лінійною щільністю 50 нКл/м. Визначити напруженість

E електричного поля, яке створене цим зарядом у точці А, що лежить на осі кільця й віддалена від його центру на відстань, рівну половині радіуса.

Розв'язок. Поєднаємо координатну площину xOy з площиною кільця, а вісь Oz– з віссю кільця (рис. 9).

 

Рисунок 9 – Визначення вектора E в точці А

На

кільці виділимо малу ділянку довжиною dl. Так як заряд

dQ dl,

що знаходиться на цій ділянці можна вважати точковим, то на-

пруженість dE електричного поля, яке створене цим зарядом, може бути записана у вигляді:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

85

 

dl

 

r

 

dE

 

,

 

 

 

4 0r2 r

де r – радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки А. Розкладемо вектор dE на дві складові: dE1, перпендикулярно пло-

щині кільця (співнапрямлену з віссю Oz), і dE2 , паралельну площині кільця (площині xOy), тобто:

dE dE1 dE2.

Напруженість E електричного поля в точці А знайдемо інтегруван-

ням:

E E1 E2 ,

L L

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів dQ, та dQ'(dQ dQ'), розташованих

симетрично щодо центру кільця, вектори dE

та dE' в точці А рівні по

 

2

2

модулю й протилежні за напрямком: dE

dE' . Тому векторна сума (ін-

2

 

2

теграл) dE2 0. Оскільки складові dE1

для всіх елементів кільця співна-

L

 

 

прямлені з віссю Oz (одиничним вектором k ), тобто dE1 kdE1, тоді

E k dE1 .

L

Так як

dE dE cos α;

 

 

 

dE

dl

;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4 0r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r R2(R/ 2)2

 

 

R / 2;

cos α (R /2)r 1/

 

 

5

5,

то

dE

1

 

4

 

 

dl

 

dl

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4 0 5R2

5

 

 

5 5 0R2

 

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

86

Таким чином:

 

2 R

 

dl

 

 

2

E k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

5 5 0R

 

 

 

0

 

 

5 5 0R

Зі співвідношення Q 2 R визначимо радіус кільця:

R Q / (2 ),

тоді:

 

 

2 2

 

4 2

E k

 

 

 

k

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 5 0Q

5

 

5 0Q

Модуль напруженості:

 

 

 

 

4 2

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5 0Q

 

 

 

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю напруженості (В/м):

 

2

 

(1 Кл/м)

2

 

 

 

1 Кл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 В/м.

 

0 Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Ф/м 1 Кл 1 Ф 1 м

 

 

Виразимо фізичні величини, що входять до формули (1), в одиницях

СІ 5 10 8Кл/м, Q 4 10 8Кл, ε0

8,85 10 12Ф/м і зробимо

обчис-

лення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

4 3,14 (5 10 8)2

 

В/м 7,92 кВ/м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 5 8,85 10 12

4 10 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5. Дві концентричні провідні сфери радіусами R1 6 см і

R2 10 см несуть відповідно заряди

Q1 1 нКл і

Q2 – 0,5 нКл.

Знайти

напруженість E поля в точках, віддалених від центру сфер на відстанях

r1 5 см, r2 9 см, r3

15 см. Побудувати графік E(r).

 

Розв'язок. Зауважимо, що точки, в яких потрібно знайти напруже-

ності електричного поля,

лежать у

 

трьох областях (рис. 10): області

I (r1 R1), області II(R1 < r2 < R2), області III (r3 > R2).

 

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

87 1. Для визначення напруженості E1 в області I проведемо гауссову поверхню S1 радіусом r1 і скористаємося теоремою Остроградського –

Гауса:

E EndS 0,

S1

(оскільки сумарний заряд, що знаходиться всередині гауссової поверхні, дорівнює нулю). З міркувань симетрії En E1 const.

Відтак, E 0 та E1 (напруженість поля в області I) в усіх точках, які відповідають умові r1 R1, буде дорівнювати нулю.

Рисунок10 – Гауссові поверхні для двох концентричних сфер

2. В області II гауссову поверхню проведемо радіусом r2. В цьому випадку (діелектричну проникність ε середовища будемо вважати рівною одиниці (вакуум)):

E Q1 / 0,

(оскільки всередині гауссової поверхні знаходиться тільки заряд Q1). Так як En E const, то E можна винести за знак інтеграла:

E Q1 / 0

або

ES2 Q1

/ 0 .

Позначивши напруженість E для області II

через E2 , отримаємо:

E2 Q1 /( 0S2),

де S2 4 r22 − площа гауссової поверхні, тоді:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

88

Q1

 

 

E

.

(1)

 

2

4

r2

 

 

 

 

0 2

 

 

3. В області III гауссова поверхня проводиться радіусом r3.

Позна-

чимо напруженість E області III через E3 та врахуємо, що в цьому випадку гауссову поверхню охоплює обидві сфери і, отже, сумарний заряд буде дорівнювати Q1 Q2, тоді:

E3 Q1 Q22 .

4 0r3

Помітивши, що Q2 0, цей вираз можна переписати у вигляді:

 

E

Q1

 

Q2

 

 

.

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

r2

 

 

 

0 3

 

 

 

 

Переконаємося в тому, що права частина рівності (1) і (2) дає одиницю напруженості:

 

 

Q

 

 

 

 

1 Кл

 

1 Кл

1 В/м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Ф/м 1 м2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

r2

 

 

 

1 Ф 1 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виразимо

всі

 

 

 

 

величини

 

в одиницях

 

СІ

(Q 10 9 Кл;

Q 0,5 10 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Кл;

r

0,09 м;

 

r

0,15 м; 1/(4

0

) 9 109м/Ф)

 

та зро-

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бимо обчислення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 10

 

 

 

 

 

В/м 1,11 кВ/м;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,09)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

(1 0,5)10 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 10

 

 

 

 

 

 

 

В/м 200 В/м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,15)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Побудуємо графік

E(r).

В області I (r1 R1)

E 0.

В

 

області

II (R r R ) E (r)

 

 

змінюється за законом 1/ r2 . У точці r R

 

напруже-

1

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

R2) 2,5 кВ/м. У точці

 

 

 

 

1

 

 

 

ність

E (R ) Q /(4

0

r R

( r

прагне до R

 

2

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

зліва)

E (R ) Q /(4

0

R2) 0,9

кВ/м. В області

III (r R )

E (r) змі-

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

нюється за законом 1/ r2 , причому в точці r R

(r прагне до R

 

право-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

руч)

E (R ) (Q

 

Q

 

)/(4

0

R2) 0,45 кВ/м.

Таким

чином,

 

функція

 

 

 

 

3

2

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(r) у точках r R1

 

 

та r R2 зазнає розрив.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

89

Графік залежності Er представлений на рис. 11.

Рисунок 11 – Графік залежності E(r)

Приклад 6. Точковий заряд Q 25 нКл перебуває в полі, яке створене прямим нескінченним циліндром радіусом R 1 см, рівномірно зарядженим з поверхневою щільністю 0,2 нКл/см2. Визначити силу F , яка діє на заряд, якщо його відстань від осі циліндра r 10 cм.

Розв'язок. Значення сили F , яка діє на точковий заряд Q, що знаходиться в полі, визначається за формулою:

F QE,

(1)

де E – напруженість поля.

Як відомо, напруженість поля нескінченно довгого рівномірно заря-

дженого циліндра:

 

 

 

E

 

,

(2)

 

 

2 0r

 

де – лінійна щільність заряду.

. Для

Виразимо лінійну щільність через поверхневу щільність

цього виділимо елемент циліндра довжиною l і виразимо заряд,

що зна-

ходиться на ньому Q, двома способами: Q S 2 Rl; Q l Прирівнявши праві частини цих формул і скоротивши отриману рівність на l, знайдемо 2 R . З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду: E R /( 0r). Підставивши вираз E в (1), отримаємо:

F Q R.

0r

Зробимо обчислення:

ДВНЗ «ДонНТУ»Автомобільно-дорожній інститут

90

F 2,5 10 8 2 10 6 1 Н 5,65 10 4Н 565 мкН. 8,85 10 12 10

Сила F співнапрямлена з напруженістю E, яка в силу симетрії (циліндр нескінченно довгий) перпендикулярна поверхні циліндра.

Приклад 7. По тонкій нитці, яка зігнута по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною щільністю 10 нКл/м. Визначити напруженість E та потенціал електричного поля, яке створене таким розподіленим зарядом у точці, яка співпадає з центром кривизни дуги. Довжина l нитки становить 1/3 довжини кола й дорівнює 15 см.

Розв'язок. Виберемо осі координат так, щоб початок координат співпадав з центром кривизни дуги, а вісь Oy була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 12). На нитці виділимо елемент довжини dl. Заряд dQ dl, що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Рисунок 12 – Напруженість dE поля, яке створене зарядом dQ

Визначимо напруженість електричного поля в точці O. Для цього знайдемо спочатку напруженість dE поля, створюваного зарядом dQ:

 

dl

 

r

 

dE

 

,

 

 

 

4 0r2 r

де r – радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор dE через проекції dEx і dEy на осі координат:

Методичний посібник та контрольні завдання з загального курсу фізики

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.