Visual_Studio_2010

ключения рекурсии сначала приведем fact() к виду с хвостовой рекурсией, например

int fact (int n) { return fact_w (1,n);

}

Вспомогательная функция fact_w() будет содержать хвостовую рекурсию. Ее программный код выглядит так:

int fact_w (int r, int n) { if (n == 0)

return r; else

return fact(r*n,n-1);

}

В функции fact_w() хвостовая рекурсия присутствует в силу рекурсивного обращения только к самой функции в операторе return.

Обратимся к известному положению об исключении хвостовой рекурсии: если функция f(x) содержит в конце рекурсивный вызов в виде return f(y), то рекурсию можно исключить путем присваивания x = y и перехода goto на начало функции [14]. Программный код исключения хвостовой рекурсии будет следующим:

int fact_w (int r, int n) { met:

if (n == 0) return r;

else {

r = r*n; n = n-1; goto met;

}

}

Использование оператора goto нежелательно с точки зрения современных представлений и методов структурного программирования, преобразуем конструкцию с goto к циклу:

int fact_w (int r, int n) { while (n != 0) {

r = r*n; n = n-1;

}

return r;

}

В качестве окончательной оптимизации можно исключить и вспомогательную функцию fact_w(), выполнив подстановку тела функции в точку ее

321

вызова (inlining). В итоге получим следующий программный код функции, вычисляющей факториал числа:

/*

*Оптимизация функции

*вычисления факториала числа

*/

int fact (int n)

{

int r = 1; while (n != 0) {

r = r*n; n = n-1;

}

return r;

}

В приведенной функции нет ни рекурсивных вызовов, ни оператора goto.

Во многих случаях использование рекурсивных функций оправдано, хотя бы с точки зрения формирования особого мышления, свойственного профессиональным программистам, и, как было отмечено, некоторые динамические информационные структуры легче реализуются с помощью рекурсии.

Каждая функция в программе на языке С находится на одном уровне с остальными функциями, составляющими программный проект, может вызвать любую другую функцию или быть вызвана. Отсюда функция main() может вызывать сама себя в рамках некоторой рекурсии или быть вызвана из других функций, хотя подобное встречается достаточно редко [7]. Следует иметь в виду, что когда программа составляется из нескольких функций, ее выполнение начинается с первого оператора функции main().

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 1. Написать рекурсивную функцию определения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Программный код решения примера

#include <stdio.h>

#include <conio.h> #include <stdlib.h>

// Прототип рекурсивной функции int gcd(int a, int b);

int main (void) { int a = 0,

b = 0, in;

322

// Проверка ввода двух целых чисел do {

printf("\n Enter the two different natural numbers, through the gap: ");

in = scanf_s("%d%d", &a, &b);

if (in != 2)

{

printf("\n Error input. Press any key to exit: "); _getch();

exit(1);

}

if ( (a != b) && (b != 0) ) break;

if (b == 0) a = b;

} while ( (a == b) );

// Вывод результата на консоль

printf("\n a = %d, b = %d, GCD = %d; \n", a, b, gcd(a,b));

printf("\n\n Press any key: "); _getch();

return 0;

}

// Определение рекурсивной функции int gcd(int a, int b)

{

if ( (a % b) == 0) return b;

else

return gcd(b, a % b);

}

Решение примера выполнено на основе простой хвостовой рекурсии, поскольку значения вызовов функции самой себя gcd(b, a % b) возвращаются оператором return. Известно, что если даны два числа А и В, то максимальный остаток от деления числа А на число В будет на единицу меньше числа В. В определении рекурсивной функции gcd() условием останова является то, что остаток от деления двух данных чисел равен нулю. Рекурсивные вызовы функции gcd() связаны с изменением расположения первоначально заданных аргументов, когда аргумент, стоящий на втором месте (b), будет на первом, а на втором месте определяется операция остатка от деления, т. е. a%b. И это происходит до тех пор, пока остаток от деления не станет равным нулю, т. е. выполнится условие останова (базовое условие).

Возможный результат выполнения программы приведен на рис. 18.1.

323

Рис. 18.1. Наибольший общий делитель для чисел 123 и 45

Задание 1

1.В программе оператор if используйте для рекурсивных вызовов, а оператор else – как условие останова.

2.B программу включите определение количества рекурсивных вызовов.

3.Видоизмените программу для случая ошибочного ввода чисел, предусмотрите повторное приглашение на ввод чисел.

4.Напишите функцию вычисления наибольшего общего делителя на основе итерации (с использованием операторов цикла).

Пример 2. Написать рекурсивную функцию, которая выводит на консоль двоичный эквивалент целого десятичного числа, введенного пользователем с клавиатуры.

Для решения примера отметим, что в двоичной системе счисления числа представлены в виде суммы степеней 2. Подобно тому, как в десятичной системе счисления число 234 означает 2102 + 3 101 + 4 100, число 101 в двоичной системе означает 122 + 0 21 + 1 20 [7]. В двоичных числах используются только цифры 0 и 1.

Очевидно, что за основу решения примера следует брать целочисленное деление. Если введено число n, то оно может быть либо четным, либо нечетным. Тогда остаток от деления на 2 будет равняться нулю для четных чисел и единице – для нечетных.

Программный код решения примера

#include <stdio.h>

#include <conio.h> #include <locale.h>

// Прототип рекурсивной функции void dec2bin(unsigned long int);

int main (void)

{

unsigned long int n;

setlocale(LC_ALL, "Russian"); // для русских шрифтов

printf("\n\t Введите целое десятичное число\n \ (или нечисловой символ для завершения программы): ");

324

while (scanf_s("%ul", &n) == 1) { printf("\n Двоичный эквивалент: "); dec2bin(n);

printf("\n\n\t Введите целое десятичное число\n \ (или нечисловой символ для завершения программы): ");

}

printf("\n\n ... Нажмите любую клавишу: ");

_getch();

return 0; // выход из программы

}

// Определение рекурсивной функции void dec2bin(unsigned long int n)

{

int r;

r = n % 2;

if (n >= 2 ) dec2bin(n/2);

printf("%d", r);

return;

}

В программе шаги рекурсии осуществляются при условии, что аргумент рекурсивной функции больше или равен двум. Как только это условие нарушается, происходит распечатка результата и выход из функции. Например, при n = 10 остаток от целочисленного деления r = 10%2 = 0. В то же время аргумент функции dec2bin() будет равняться 5. Тогда остаток от целочисленного деления r = 5%2 = 1. Далее аргумент функции будет равняться 2 (5/2), так как аргумент функции определен через целое число. Остаток от целочисленного деления r = 2%2 = 0. Теперь аргумент рекурсивной функции будет равен 1, что прерывает рекурсивные вызовы функции (нарушается условие проверки оператором if). Остаток от деления r = 1%2 = 1. Вывод результата на консоль будет осуществляться из стека по дисциплине LIFO (Last Input First Output – последним вошел, первым вышел).

Пример выполнения программы показан на рис. 18.2.

325

Рис. 18.2. Преобразование десятичных чисел в двоичные эквиваленты

Задание 2

1.Определите, какой тип рекурсии используется в приведенной программе.

2.В программу включите защиту от ввода отрицательных целых чисел.

3.Вывод результатов преобразования десятичных чисел в двоичные эквиваленты осуществите в текстовый файл с именем compX.txt, где Х – номер компьютера, на котором выполняется лабораторная работа. В текстовый файл занести также и преобразуемое десятичное число.

4.В программе вместо функции printf() как функции вывода результата примените функцию putchar().

5.В программу внесите изменения для подсчета количества рекурсивных вызовов.

6.Напишите программу преобразования десятичного числа в двоичный эквивалент не на основе рекурсивного подхода, а с помощью операций с разрядами.

7.Напишите программу с рекурсивной функцией вывода на консоль десятичного числа для введенного пользователем его двоичного эквивалента.

Пример 3. С использованием косвенной рекурсии написать программу по решению следующей задачи. Строка состоит из клеток, пронумерованных от 1 до n. Состояние клетки можно изменить: если она пуста, поставить в нее шашку (занять ее), иначе убрать из нее шашку (освободить ее). Вначале строка пуста.

326

Нужно занять все клетки, соблюдая правило: изменение клетки допустимо, если она имеет номер 1 или расположена непосредственно после занятой клетки, имеющей минимальный номер среди занятых клеток.

Вход. Целое n, 1 n 15.

Выход. Последовательность элементов вида +i или –i, обозначающих соответственно занять клетку i и освободить клетку i [9]. Например, при n = 3 выход имеет вид +1+2–1+3+1.

Программный код решения примера

#include <stdio.h>

#include <conio.h> // для getch(); #include <stdlib.h> // для exit();

// Прототипы функций void fillOnly(int); void free_n(int); void fill_n(int);

int main (void) {

int n = 1; // размер строки

int in = 1; // контроль ввода n

printf("\n Enter a length of string (naturel number): "); in = scanf_s("%i", &n);

if (in != 1 || n < 1 || n > 15)

{

printf("\n Error input. Press any key to exit: "); _getch();

exit(0);

}

puts("\n\tResult:"); fill_n(n);

printf("\n\n Press any key to exit: "); _getch();

return 0;

}

//Объявления функций

// 1-я функция

void fillOnly(int n) { if (n == 1)

printf("\t%+3d\n", 1);

else { fillOnly(n-1);

printf("\t%+3d\n", n); free_n(n-1);

}

}

327

// 2-я функция void free_n(int n)

{

if (n == 1) printf("\t%+3d\n", -1);

else

{

fillOnly(n-1); printf("\t%+3d\n", -n); free_n(n-1);

}

}

//3-я функция

void fill_n(int n)

{

if (n == 1) printf("\t%+3d\n", 1);

else

{

if (n == 2) printf("\t%+3d\n\t%+3d\n", 1, 2);

else

{

fillOnly(n-1);

printf("\t%+3d\n", n);

fill_n(n-2);

}

}

}

В программе вывод результата на консоль выполнен в виде столбца. Для этого используется эскейп-последовательность \t в функциях printf(). Форматный вывод значений в функциях printf() выполнен с помощью спецификации %+3d, что позволяет автоматически устанавливать знаки чисел, под которые отводятся 3 позиции.

Как видно из приведенного программного кода, в каждой из функций имеется вызов самой функции и других функций. Это указывает на косвенное обращение к функциям.

Результат выполнения программы представлен на рис. 18.3.

328

Рис. 18.3. Пример заполнения и освобождения клеток

Задание 3

1.В программе укажите рекурсивные функции. Объясните их работу.

2.Проверьте работу программы при смене порядка объявлений функций.

3.Проверьте работу программы без использования прототипов функций.

4.Для случая, когда n 5, предусмотрите вывод результата в строку, а не в столбец.

5.В программу добавьте программный код для подсчета рекурсивных вызовов каждой из рекурсивных функций.

6.Постройте зависимость количества рекурсивных вызовов одной из функций от введенного числа n.

7.Постройте зависимость числа комбинаций заполнения и освобождения клеток от введенного числа n.

329

Пример 4. Написать программу по решению задачи «Ханойская башня». Имеется пирамида из n колец, лежащих на основании А (на стержне, на столбе) одно на другом в порядке убывания размеров. Кольца должны быть перемещены на основание В в том же порядке, в котором они были на основании А, при использовании промежуточного основания С. Единственными разрешенными перемещениями являются такие, при которых кольцо, взятое с вершины одной из пирамид, помещается на большее кольцо либо на пустое основание. Осуществить выдачу на печать (на консоль, в текстовый файл) последовательности перемещений колец. Алгоритм решения этой задачи достаточно подробно описан в работе [10].

Решение задачи «Ханойская башня»

Для рекурсивного решения задачи следует пройти три этапа.

1-й этап – параметризация. Естественным параметром является n – число колец. В число параметров можно включить также три основания: А (исходное), В (конечное), С (промежуточное).

2-й этап – поиск тривиальных случаев. Здесь тривиальным случаем будет такой, при котором n = 0; тогда просто нечего делать.

3-й этап – редукция общего случая к более простому. Здесь надо отме-

тить, что n колец могут быть перемещены с А на В следующим путем:

переноса (рекурсивно) n – 1 колец с вершины А (исходное основание) на С (промежуточное основание) с учетом правил: основание В (конечная цель) используется как промежуточное;

перемещения на В кольца наибольшего диаметра, оставшегося на А;

переноса (рекурсивно) n – 1 других колец с С на В при соблюдении правил

с А в качестве промежуточного основания.

Алгоритм решения задачи запишем в следующем виде: hanoi(n–1, A, C, B);

переместить (A, B); hanoi(n–1, C, B, A);

где hanoi() – имя рекурсивной функции [10].

Пример промежуточного положения Ханойской башни при n = 4 показан на рис. 18.4.

ходных дисков [10]. С увеличением n число перемещений быстро нарастает. На рис. 18.5 приведена зависимость элементарных перемещений от числа дисков.

330