Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Курсовой ЭТФ

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.55 Mб
Скачать

Вариант 9

В результате исследований, как должна меняться нагрузка при изменении напряжения, чтобы температура узла АД не превышала допустимого значения.

Таблица. Влияние тока холостого хода на величину нагрузки при постоянной температуре и изменении напряжения

 

I*0 0.3

I*0 0.5

I*0 0.7

I*0 0.8

U

1

1

1

1

0.95U

0.93

0.93

0.96

0.94

0.9U

0.87

0.88

0.91

0.88

0.85U

0.8

0.82

0.85

0.85

Создайте текстовый файл ad.txt с исходными данными. Пользуясь его содержимым, определите предельную нагрузку для АД с I*0 0.5 при напряжении 0,77U, и для АД с I0* 0.6 при напряжении 0,9Uи 0,85U. Функциональные зависимости β(U1) и β(I0) построить с помощью сплайн-интерполяции.

Впрограмме исходные данные рекомендуется считывать из файла ad.txt или

склавиатуры. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.

Вариант 10

В результате исследований, как должна меняться нагрузка при изменении напряжения, чтобы температура узла АД не превышала допустимого значения.

Таблица. Влияние тока холостого хода на величину нагрузки при постоянной температуре и изменении напряжения

 

I*0 0.3

I*0 0.5

I*0 0.7

I*0 0.8

U

1

1

1

1

0.95U

0.93

0.93

0.96

0.94

0.9U

0.87

0.88

0.91

0.88

0.85U

0.8

0.82

0.85

0.85

Создайте текстовый файл ad.txt с исходными данными. Пользуясь его содержимым, определите предельную нагрузку для АД с I*0 0.5 при напряжении 0,77U, и для АД с I0* 0.6 при напряжении 0,9Uи 0,85U. Функциональные зависимости β(U1) и β(I0) построить с помощью линейной интерполяции.

Впрограмме исходные данные рекомендуется считывать из файла ad.txt или

склавиатуры. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.

41

Вариант 11

В результате исследований, как должна меняться нагрузка при изменении напряжения, чтобы температура узла АД не превышала допустимого значения.

Таблица. Влияние тока холостого хода на величину нагрузки при постоянной температуре и изменении напряжения

 

I*0 0.3

I*0 0.5

I*0 0.7

I*0 0.8

U

1

1

1

1

0.95U

0.93

0.93

0.96

0.94

0.9U

0.87

0.88

0.91

0.88

0.85U

0.8

0.82

0.85

0.85

Создайте текстовый файл ad.txt с исходными данными. Пользуясь его содержимым, определите предельную нагрузку для АД с I*0 0.5 при напряжении 0,77U, и для АД с I0* 0.6 при напряжении 0,9Uи 0,85U. Функциональные зависимости β(U1) и β(I0) построить с помощью сплайн-интерполяции.

Впрограмме исходные данные рекомендуется считывать из файла ad.txt или

склавиатуры. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.

Вариант 12

В результате исследований, как должна меняться нагрузка при изменении напряжения, чтобы температура узла АД не превышала допустимого значения.

Таблица. Влияние тока холостого хода на величину нагрузки при постоянной

температуре и изменении напряжения

 

I*0 0.3

I*0 0.5

I*0 0.7

I*0 0.8

U

1

1

1

1

0.95U

0.93

0.93

0.96

0.94

0.9U

0.87

0.88

0.91

0.88

0.85U

0.8

0.82

0.85

0.85

Создайте текстовый файл ad.txt с исходными данными. Пользуясь его содержимым, определите предельную нагрузку для АД с I*0 0.7 при напряжении

0,77U, и для АД с I0* 0.4 при напряжении 0,9Uи 0,85U. Функциональные зависимости β(U1) и β(I0) построить с помощью линейной интерполяции.

Впрограмме исходные данные рекомендуется считывать из файла ad.txt или

склавиатуры. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.

42

Вариант 13

Известная табличная зависимость пускового тока статора I1п(А) от входного напряжения U1 (В) для общепромышленного асинхронного двигателя АД АИУМ225М4, которая хранится в текстовом файле aium225m4.txt.

U1

0,7U

0,8U

0,9U

U

1,1U

1,2U

1,3U

I1п

299

342

384

427

470

512

555

Построить интерполяционный полином Лагранжа и линейный сплайн зависимости I1(β). Найти значение пусковых токов при напряжениях 0.88U, 0.93U, 1.25U. Результаты вычислений сохранить в текстовом файле rezult.txt.

В программе исходные данные можно считывать с клавиатуры или из файла aium225m4.txt. Средствами математического пакета или электронных таблиц проверить результаты работы программы, построить график экспериментальной зависимости и подобранной функции.

43

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1. Методы решение задач линейной алгебры

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными

a11x1 a12x2

... a1n xn

b1

 

 

 

 

... a2nxn

b2

a21x1 a22x2

 

 

 

 

...

 

 

 

( 3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n1

x a

x

... a

nn

x

b

 

1

n2 2

 

 

n

n

Обозначим через

 

 

 

 

 

 

a

a

...

a

 

 

 

 

11

12

...

 

1n

 

A

a21

a22

a2n

 

 

...

...

 

 

матрицу коэффициентов системы (3.1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an2

...

 

 

 

 

 

 

an1

ann

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

через b

b2

 

 

 

 

 

 

столбец ее свободных членов

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

x1

x2

ичерез x ... столбец из неизвестных (искомый вектор).

xn

Тогда система (3.1) кратко может быть записана в виде матричного уравнения A x = b.

Метод Гаусса

Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса.

При решении систем линейных алгебраических уравнений этим методом преобразования производят не над уравнениями системы (3.1), а над так называемой расширенной матрицей системы, которая получается путем добавления к основной матрице А столбца свободных членов b.

44

 

 

a

a

...

a

 

b

 

 

 

 

 

11

 

12

 

1n

1

 

 

'

 

a21

a22 ...

a2n

b2

( 3.2)

A

 

 

... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

n2

...

a

nn

b

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

n

 

 

Первый этап решения системы уравнений методом Гаусса, называемый прямым ходом метода Гаусса, заключается в приведении расширенной матрицы (3.2) к треугольному виду. Это означает, что все элементы матрицы (3.2) ниже главной диагонали должны быть равны нулю

a

a

a

...

a

 

11

12

13

...

1n

0

a22

a23

a2n

 

0

0

a

...

a

A'

 

0

33

...

3n

0

0

a4n

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ...

 

0

0

0

...

ann

 

b1 b2

b

3 ( 3.3) b4

... bn

Для формирование первого столбца матрицы (3.3) необходимо из каждой строки (начиная со второй) вычесть первую, умноженную на некоторое число М. В общем виде этот процесс можно записать так:

2-я строка = 2-я строка – М 1-я строка

3-я строка = 3-я строка – М 1-я строка

………………………..

i-я строка = i-я строка – М 1-я строка

………………………….

n-я строка = n-я строка – М 1-я строка

Преобразование элементов второй строки будет происходить по формулам:

a21 a21 Ma11

a22 a22 Ma12

a2i a2i Ma1i

a2n a2n Ma1n

b2 b2 Mb1 .

Так как целью данных преобразований является обнуление первого элемента строки, то М выбирается из условия a21 Ma11 0 .

a

Следовательно, M 21 .

a11

Элементы третьей строки и коэффициент М можно рассчитать аналогично:

a31 a31 Ma11

45

a32 a32 Ma12

a3i a3i Ma1i

a3n a3n Ma1n

b3 b3 Mb1,

a31 Ma11 0 M a31 .

a11

Таким образом, преобразование элементов i–й строки будет происходить следующим образом:

ai1 ai1 Ma11

ai2 ai2 Ma12

aii aii Ma1i

ain ain Ma1n

bi bi Mb1 .

Коэффициент М для i–й строки выбирается из условия ai1 Ma11 0, и

равен M aai1 .

11

После проведения подобных преобразований для всех строк матрица (3.2) примет вид:

 

 

a

a

...

a

 

b

 

 

 

 

11

 

12

 

1n

1

 

'

 

0

a22

...

a2n

b2

A

 

 

 

 

...

 

...

 

 

 

... ...

 

 

 

 

 

0

a

n2

...

a

nn

b

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Очевидно, что если повторить описанный выше алгоритм для следующих столбцов матрицы (3.2), причем преобразование второго столбца начнется с третьего элементы, преобразование третьего столбца – с четвертого элемента и т. д., то в результате будет получена матрица (3.3).

Если в матрице (3.2) на главной диагонали встретится элемент akk, равный

нулю, то расчет коэффициента

M

aik

для к–й строки будет невозможен.

 

 

 

akk

Избежать деления на ноль можно, избавившись от нулевых элементов на главной диагонали. Для этого перед обнулением элементов в k–м столбце необходимо найти в нем максимальный по модулю элемент, запомнить номер строки, в которой он находится, и поменять ее местами с k–й строкой.

46

an 1n 1

В результате выполнения прямого хода метода Гаусса матрица (3.2) преобразуется в матрицу (3.3), а система уравнений (3.1) будет иметь вид

 

a11x1 a12x2

a13x3

... a1n xn

b1

 

 

a22x2

a13x3

... a2n xn

b2

 

 

 

a13x3 ... a2n xn b3

( 3.4)

 

 

...

 

ann xn bn

 

Решение системы (3.4) называют обратным ходом метода Гаусса.

Последнее nе уравнение системы (3.4) имеет вид:

annxn bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, если

a

 

0, то

xn

bn

. В случае, если

a

0 и b

0, то система

nn

 

 

 

 

 

ann

nn

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.4), а следовательно, и система (3.1) имеют бесконечное множество решений. При ann 0 и bn 0 система (3.4), а, значит, и система (3.1) решения не

имеет. Предпоследнее (n–1)е уравнение системы (3.4) имеет вид:

an 1n 1xn 1 an 1n xn bn 1.

Следовательно,

xn 1 bn 1 an 1n xn .

Следующее, (n–2)е уравнение системы (3.4) будет иметь вид:

an 2n 2 xn 2 an 2n 1xn 1 an 2n xn bn 2 .

Отсюда имеем

xn 2 bn 2 an 2n 1xn 1 an 2n xn , an 2n 2

или xn 2 bn 2 (an 2n 1xn 1 an 2nxn ) an 2n 2

n

bn 2 an 2 j xj j n 1

an 2n 2

Таким образом, формула для вычисления i–го значения x будет иметь вид:

n

bi aij xj

xi

 

j i 1

aii

 

 

47

Метод LU–разложения

Метод LU-разложения является точным методом решения линейных систем. Решение систем линейных уравнений методом LU–разложения заключается в следующем. Пусть дана система

Ax=b. ( 3.5)

Представим матрицу A={aij} в виде произведения треугольных матриц

L={lij} и U={uij}:

a

a

...

a

 

1

11

12

...

1n

 

 

a21

a22

a2n

 

l21

 

 

...

 

 

 

 

... ...

...

 

...

 

an2

...

 

 

 

an1

ann

 

ln1

0

...

0

 

u

u

...

u

1

...

 

 

 

11

12

...

1n

0

 

0

u22

u2n

...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

... ... ... ...

ln2

...

 

 

 

0

0

...

unn

1

 

 

где элементы lij и uij определяются по формулам:

 

u

 

a

, ( j 1,2,...,n),

 

 

 

1j

 

 

 

1j

 

 

 

 

( 3.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

uij

 

ai j

lik

uk j ,

(i j)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

l

 

ai1

,

(i 2,...,n),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

uii

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

( 3.7)

 

 

 

1

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li j

 

 

 

 

 

 

ai j

lik uk j ,

(i

j)

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы (3.6) и (3.7) дают нам LU–разложение матрицы А. Итак, если А=L U, то можно записать уравнение эквивалентное (3.5):

L U x=b. ( 3.8)

Введем вектор вспомогательных переменных y=(y1, y2, …, yn)T и представим уравнение (3.8) в виде системы

L x b,

U x y

Таким образом, решение системы (3.1) с квадратной матрицей коэффициентов, сводится к решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов:

y1

 

 

 

 

 

b1,

 

y1

y2

 

 

 

b2

,

l21

 

 

 

 

 

...

...

...

...

...

( 3.9)

...

 

 

 

y1

ln2 y2

...

ln,n 1 yn 1

yn

bn

 

ln1

 

и

48

u11 x1

u12 x2

...

u1n xn

y1,

 

u22 x2

...

u2n xn

y2

,

 

 

 

 

 

 

( 3.10)

...

...

...

...

...

 

 

 

 

unn xn

yn

 

 

 

 

 

Из (3.9) и (3.10) понятно, что все yi могут быть вычислены по формуле

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

yi

bi

lik yk ,

(i 1,2,...,n),

( 3.11)

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

а для всех xi истинно равенство

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

xi

 

 

 

yi

 

uik

x

,

(i n,n 1,...,2,1)

( 3.12)

uii

 

 

 

 

 

 

k i 1

 

k

 

 

Итак, решить систему (3.1) методом LU–разложения можно, выполнив следующие действия:

Определить элементы матриц L и U по формулам (3.6) и (3.7).

Получить решение заданной системы по формулам (3.11) и (3.12).

Метод QR–разложения

Метод QR–разложения можно считать более сложной версией LU–разложения, так как в нем главную матрицу A линейной системы (3.5) так же представляют в виде произведения двух матриц – ортогональной матрицы Q и верхней треугольной матрицы R. Далее поступают так же, как и в случае LU– разложения, то есть вводят дополнительные переменные y и записывают систему уравнений

Q R x=b (Q y=b и R x=y).

Следовательно, решение системы уравнений (3.1) сводится к решению двух систем, матрица коэффициентов первой – ортогональная, второй – верхняя треугольная. А поскольку ортогональная матрица обладает свойством QТ=Q–1, то у можно вычислить по формуле у =QT b, что значительно проще чем решать уравнение у =Q–1 b. Вычислить x из второй системы так же не составит труда, это можно сделать, например, по формулам (3.12), заменив элементы матрицы U на R

Однако сложность этого метода заключается в вычислении ортогональной матрицы. Далее рассматривается эта проблема.

Метод ортогонализации

Методом ортогонализации является точным методом решения системы линейных алгебраических уравнений. Заключается он в том, что систему (3.1) ортонормируют, то есть приводят ее к виду

Q x=d,

( 3.13)

где Q – ортогональная матрица. Для этого разделим первое уравнение системы

n

(3.1) на выражение a12k

k 1

49

Получим

 

 

a1j

 

 

 

b

 

n

2

 

 

 

q1j

 

 

 

, d1

 

1

 

, q1k

0,

( j 1,2,...,n)

( 3.14)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

a12k

 

 

 

a12k

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

Тогда для второго уравнения системы (3.13) имеем

q2 j

 

 

q'

2 j

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

q'22k

 

 

 

 

k 1

 

 

q'2 j a2 j q1j

, d 2

 

 

d '2

 

, ( j 1,2,...,n)

 

 

 

 

 

n

 

 

 

q'22 k

 

 

 

 

 

k 1

 

 

n

 

 

n

a2k q1k ,

d'2 b2 d1 a2k q1k ,

k 1

 

 

k 1

Следовательно, уравнение с номером i примет вид

qij

 

 

 

q'ij

 

,

di

 

 

 

d'

 

 

,(i 2,3,...,n; j 1,2,...,n)

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

q'ik2

 

 

 

 

 

q'ik2

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

n

 

 

 

 

k 1

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q'ij

aij

q1j aik q1k

q2 j

 

 

aik q2k

... qi 1j aik qi 1k ,

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

d'i

bi

d1 aik

q1k

d2 aik q2k

... di 1 aik qi 1k

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

k 1

 

k 1

( 3.15)

Если система (3.1) совместна, то, воспользовавшись формулами (3.14) и (3.15) можно прийти к новой системе (3.13), где матрица Q будет ортогональной, а это значит, что она обладает свойством

QT Q=E,

где Е – единичная матрица. Значит, решение системы (3.13) можно записать в виде

QT Q x=QT d,

или

x=QT d.

( 3.16)

Метод Зейделя

Метод Зейделя – это приближенный метод решения систем уравнений,

представляющий собой модификацию метода простой итерации. Основная идея этого метода заключается в том, что при вычислении (к+1)–го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные к этому времени (к+1)–е предшествующих неизвестных x1, x2, …, xi–1.

Пусть дана приведенная линейная система

n

 

 

xi i ij xj

(i 1,2,...,n)

( 3.17)

j 1

 

 

Выберем в качестве начального приближения корней вектор

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]