PMI_Nazarova_Diskretnye_struktury

При доведенніпримітивної

рекурсивностіфункційнеобов

'язковоявним

чиномвикористовувати

операторприм

ітивної рекурсії.

Приклад 10. Функція

sg( x ) ітакожє

sg( x ) – антизнак, функціязворотнадо

примітивно-рекурсивною:

1,

x = 0

•

sg( x ) =

x > 0

= 1

sg( x ).

0,

Приклад 11. Примітиврекурсивністьфункційа

max( x, y ), min( x, y ) і

модуль різниці двох чиселдоводитьсяза

допомогоюарифметичного

віднімання:

max( x, y ) = y + ( x

•

y ) = x + ( y

•

x ),

min( x, y ) = x

•

( x

•

y ) = y

•

( y

•

x ),

x − y

= ( x

•

y ) + ( y

•

x ).

Розглядрядуприкладівдозволяєсформ

улюватидеярекіомендації

відноснотого,яксліднамагвстпратновирекурсивністьсямітивнуякої

-

небфу. нкціїдь

1. По-перше,сліднамагатисявирази

тидануфункціючерезвідомі

примітивно-рекурсивні функціїзадопомогою

оператору суперпозиції.

2Якщо.

всежтакинеобхідноявикористовуватиоператор

примітивноїрекур,слідпостакиміїтупатичином:

12

– визначитизначенняформулу( )досліджпринукціїльовомуваної

значезмітим(ннсамоїі

отримавшипершуформулусхемипримітивної

рекурсії);

– виявити,якзалежитьзначенданоїфувідїїжзначеннякції

а

попекрекурсіїоцідньомуз,

аписатинаосновіцьогодругогоформулу

схеми.

Слідматинаувазі,якщофункціяневсюдивизначена(

тобто

часткова),товонанепримітивно

-рекурсивна.

Примітивнарекурсивн

ість логічнихфункц

ій

«Арифметизована»

логічнафункція

– цетакачисловарифметична

функція,якамножині{0,1}поводитьсятаклогічна

функція.

Операції {←, , } на множині {0,1} примітивно-рекурсивні:

x = 1

•

x;

x y = min( x, y );

x y = max( x, y ).

Функції {←, , } намножині

{0,1} утворююбазис,отже, осітанніь

арифметизованілогічніфункції

можутьбутипредставленівигляді

суперпозиціїцихтрьохфункцій,а,отже,завизначеннямпримітивної

рекурсвонипр вностімітивно

-рекурсивні.

Відношення

R( x1 ,x2 ,...,xn )

–

примітивно-рекурсивно, якщо

примітивно-рекурсивнайогохарактеристичнафункція

χ R :

1, ( x1 ,x2 ,...,xn ) R

χR( x

=

,x

,...,x )

1

2

n

0,( x ,x

,...,x

) R.

2

n

1

Приклад 12. Відношення x = y ,

x > y ,

x ≥ y – примітивно-рекурсивні.

Відношення x = y –

примітивно-рекурсивно,томущопримітивно

рекурсивнайогохарактеристичнафункція,тобтозавизначенням

.

1,

x = y

= sg

( x − y )

.

Дійсно, χ= ( x, y ) =

0,

x ≠ y

Відношення x > y також примітивно-рекурсивно,бо :

1,

x > y

χ> ( x, y ) =

x ≤ y

= sg( x

y ).

0,

Відношення x ≥ y примітивно-рекурсивно,томущо

:

Предикат – функція,якавизначаєчиволодіютьїїаргументипевними

властивостямичині,повертаєзначення:

{0,1}, {false, true}.

Предикат P( x1 , x2 ,...., xn ) є

примітивно-рекурсивним, якщо

примітивно-рекурсивнайогохарактеристичнафункція:

примітиврекурсивністьфу,тобтоякщокційрезультатйого

застосування

допримітивно

-рекурсивнихфункційдаєзнову

примітивно-рекурсивну

функцію.

Приклад 12. Примітивнарекурсивність

оператора умовного переходу

B( P1 ,P2 ,P )

B( P ,P ,P ) =

P1( x1 ,x2

,...,xn

),

P = " true"

,

1 2

,...,x

),

P = " false"

P ( x ,x

2

n

2 1

де P1 та P2 – примітивно-рекурсивніфункції

; P – примітивно-рекурсивний

предикат.

14

Примітивнарекурсивність

оператору умовного переходу B слідкуєіз

рівності:

B( P1 ,P2 ,P ) = P1( x1 ,x2 ,...,xn ) χP + P2 ( x1 ,x2 ,...,xn ) χ

,

P

Більшарифметичнихілогічстьфуєпримітивнокцій

-

рекурсивними.Протекласпр

имітивно-рекурсифункційнеохоплюєвнихсіх

обчислюванихінтуїтивнсенсіфункцій.Дляп будовимуостанніхфункцій

використовуєтьсятакзванийоператормінімізації.

Оператормінімізації

( - оператор, найменшого

кореню)

утвноарвуифметичнуює

функцію

f ( x1 ,x2 ,...,xn ) від

n зміннихза

допомогою ранішпобудоваметичноїариф кції

g( x1 ,x2 ,..., xn ; y )

від

n+1 змінних.

Нехайіснуєподеякиймеханізм

обчислення функції g , причому

значенняфункції

f

невизначено, якщоцей

механізм працюєнескінченно

, не

утворюючініякоговизначеногозначення

.

Зафіксуємопевний

набір значень

аргументів

x1 , x2 ,..., xn

ірозглянемо

рівнявідносноня

y:

g( x1 ,x2 ,...,xn ; y ) = 0 .

Длятого,щотбриматиозв

’язокцьогорівняння

,

будемообчислюватипослідовзначеність

:

g( x1 ,x2 ,...,xn ; y ) = 0

для

y = 0,1,..

..

Найменше ціле невід’ємне

значення y = a , якезадовцьомульняє

рівнянню: g( x1 ,x2 ,...,xn ,a ) = 0

позначимо: y ( g( x1 ,x2 ,...,xn ; y ) = 0 ).

Кажуть,

що

функція

f ( x1 ,x2 ,...,xn )

утворенаізфункції

g( x1 ,x2 ,..., xn ; y ) операцією мінімізації, якщо:

f ( x1 ,x2 ,...,xn ) = y ( g( x1 ,x2 ,...,xn ; y ) = 0 ).

Операторм

інімізації працюєнескінченно,якщо

:

1) значення g( x1 , x2 ,..., xn ,0 ) не визначено;

2) значення

g( x1 ,x2 ,...,xn , y ) для

y = 0,1,2,....,i −1

визначено,

але

відміннонуля

,а значення g( x1 ,x2 ,...,xn ,i ) – не визначено;

16

y + z = x,оператормінімізаціїприцьомупрацює

ескінченно,отже

значення f− ( 4,6 ) невизначено.

Відповідно,вводятьсяфункції

ділення,

обчисленнякореню

квадратного,логарифм

:

f / ( x, y ) = x y = z ( y z = x ),

f

( x, y ) = x

= z ( z x = y ),

y

f log ( x, y ) = log x y = z ( x z

= y ).

Частково - рекурсивна функція – функція, якаможебутиворенаіз

найпростішихфункційзадопомогоюскінченнчислазастосуваньго

операторівсуперпозиції , примітивноїрекурсії

та мінімізації.

Частково - рекурсивнафункціяє

не усюди визначеною,

причому там,

де вонеа визначена,процесс їїобч

ислення продовжується нескінченно.

Загально - рекурсивнафункція

– усюди

визначена

частково-

рекурсивна функція.

Клчастково

-рекурсивнихфункцій

(ЧРФ)

ширшийзаклзагальнос

-

рекурсивних (ЗРФ)

функцій,який,своючергуширшезакласпримітивно

-

рекурсивнихфункцій

(ПРФ)

(див.рис. 1

).

Рисунок1

– Співвмкласамиіждношеннячастково

-,загально - та

примітивно-рекурсивнихфункцій

Зв'язок міжалгоритмами тарекурсивни

ми функціями дає теза Черча:

класалгоритмібчислювачисловихчасткнофункційзб

ігаєтьсяз

класомчастково

-рекурсивнихфункцій

.

17

Тема №2

МАШИНИТЬЮРІНГА

МашиниТьюрінга

(МТ)

представляють

алгоритм,

як

деякий

детермінованийпристрій

(автомат),що

реалізуєдію

надсловами.

Машина

ТьюрінгаТьюрінга(

-Посту,томущозапропоновананими

майжеод

ночасноі

незалежноу1936

-1937рр.поб)

уднаосновіванавикоривластивостіання

детермінованостіалгоритмів.

МашинаТьюрі

нгаєабс,трактноющомаєу

необмеженіресурси,щоєнеобхіднимдляреалізаціїбудь

-якихалгоритмів.

Уданійтемівводят

ьсядеякіпоняттясимвольнихконструкційта

операційнадними, функцісаніспособизавданнуваМТ,способиння

композиціїМТ,щод зволяюбільшбудувасклМТтдніпростих,

наводитьсяпоняттяпроеквівалентністьМТрекурсивнихфункцій.

Символьніконструкції

Алфавіт –

кінцева

множина попарнорізн,аківих

які

називають

буквами (символами)цьогоалфавіту.Алфавітбудемопозначати

заголобук,напрвнимиами: клад

À = {a,á ,....ÿ};

B = {0,1};

C = { ,+,! ,0}.

Символ λ – порожнійсимвол.

Словом уданомуалфавітіназиваєтьс

ябудь

-якінцевау(томучислій

пор) ожняслідовністьбуквцьогоалфавіту.Словабудемопозначати

малимигрецькибуквами.

Наприклад:

α =алгоритм

– словоалфавіті

А; β = 1010100 – слово

алфавіті В; γ = +0

– словоалфавіті

С.

Порожнєсловобудемоп значати

Λ.

Довжина слова α (позначається

α

) – цекількість букв

слові.

Рівнслівсть

валфавіті А визначається індуктивно:

а)порожслорівніа

;

б)якщослово

α дорівнюєслову

β ,то

αb = βb ,де

b –

буква в

алфавіті А.

18

Якщослово

α

є

частиноюлова

β ,то

кажуть,щомаємісце

входження слова α услово β (слово

α називається підсловом слова β )Це.

можназапивт спосібкийати:

γ,δ( γαδ = β ),де

γ,δ – словаалфавіті

А.

Слово α називається початкомслова

β ,якщо

γ( αγ = β ); кінцем

слова β ,якщо

γ( γα = β).

Наприклад:услові1012011201

двходженняасло12,тривходженняа

сл01,овадинадцятьвходженьпорожньогослова

Λ – передпершоюбуквою

,

післяостанньої

іміжвсімабуквами.

Слдовожини

n,

складенезбукви

а,повтореної

n раз,будемо

позначати an ,наприклад

xyxxxyyyy = xyx3 y4.

Операціярезультат( )приписуванняслів

α

і β

другдодруга

називається

конкатенацією

(позначається

α || β)Наприклад. ,якщо

α = aabbcc ; β = abc

α || β = aabbccabc .

Визначення йспособизавданнямашини

Тьюрінга

ПідмашиноюТьюрінгарозумієтьсядеяка

гіпотетичнааб(

страктна)

машина,що

складається знаступнихчастдив(.р. 1

).

1) нескінченнавобидвабокистрічка,

розбитана

комірки,укожнійз

якихможебутизаписаний

тількиодс мволн

із

зовнішнього

алфавіту

A = { a1 ,a2 ,....,an } ,атакпорожнійсимвол

λ ;

2) керуючийприст

рій(

робоча

голівка),щоу

кожниймоментчасу

можеперебува

ти водномузістанів

множини Q = { q1 ,q2 ,...,qm }.У

кожному зі станівголівка

розміщуєтьсянапроти

коімзчитуватиіркиоже

(оглядати)

абозаписувати

в комірку букву ізалфавіту А.

......

λ

a

......

a j

......

ak

λ

λ

......

l

19

Частинастрічки,вякійзаписані

символи

алфавітуА

(відпершого

значущостанньогосимвдоолу

: al ,…, ak ) –

робочазона.

ФункціонуванняМТскладаєтьсязпос

лідовностіелементарнихкроків

(та)Укожному. тівкроцівиконуютьсянаступнідії:

1)

керуючийпристрій

(КП) зчитує(

оглядає)символ

a j ;

2)

залежновідсвог

стану qi йсимволу

a j ,

КП

виробляє

новий

символ aʹj A ізаписує його комірку,що оглядаєтьсяКП

(можливо a j

= aʹj );

3)

керуючийпристрій

переміщуєтьсяна

одну

комірку

вправо (R) ,

вліво (L) або залишається намісці (E);

4)

керуючийпристрій

переходитьвіншийвнутрішній

стан qiʹ.

(можливо qi = qiʹ ).

Стан q1 називається початковим,

qz

–

заключним.Припереходів

заключнстанмашзупиняється.най

Повнийстан

МТназивається

конфігурацією.Церозподіл

букв по комірках стрічки,

стан робочоїголівки

і

комірка,щооглядається

.

Конфігураціявтакті

t записуєтьсявигляді

:

Kt = αqi a j β,

де a j – буква укомірці,щооглядаєтьсяКП

,

α – підслово ліворучід

цієїкомірки

, β – підслово праворуч від цієїкомірки .

Початковаконфігурація

K1 = q1α

йкінцева

K z = qz α

називаються

стандартними.

МТпочинаєізакінчуєсвроботувютакомустанов,колищі

КПоглядаєсамийлівийсимволробо

чоїзонистрічки.

Формальневизн Тьюрінгашиничення

:

MT = M ( A,Q,V ,q0 ,qz ,δ ),

де A – зовнішнійалфавітсимволів,

Q – алфавітвнутрістанівмашини, ніх

δ = A×Q → A×Q ×V – функціяпереходів.

Для описуроботиМТіснуєспособи3

:

1)

системакоманд

абопрограмаМТ

;

2)

функціональнатаблиця

;

3)

граф ( діаграма )переходів.

Системакомандпрограма( )МТ

– це сукупність командвиду

:

qi a j → qiʹaʹj s; s {R,L,E}.

СистемакомандМТ

будуєтьсязаправилами

:

q0 1 → q0 0R

q1 0 → q1 0L

q0 0 → q0 1R

q1 1 → q1 1L

q0 λ → q0 λL

q1λ → qz λR

Комендосискомандт.ареми

1)УстандарпочаконфігураціїтковійнійКПстоїтьнадпершим

значущимсимволомліворуч, початкуробочоїзони.

2)НаслідкуючомутактіМТ,незмінюєсвогостану,КПзамінює

символна0і1

навпаки,ізсуваєтьсявправонаоди.мволн

3)П іслеп реглядувсьоголанцюжкаКПглядвказуєсимвол,який

напорко.УцьомуміркужнювипадкуМТпереходитьновийстані

зсуваєтьсявлівонаоди.мволн

4)НанаступнихтактахКПнезмінюючисвог

остануіоглядаємого

символу,перемвлдопорівощуєтьсяко.жньоїмірки