6. Закон збереження маси потоку Рівняння нерозривності потоку

Розглянемо потік рідини в трубопроводі перемінного перерізу, який рухається без розривів, тобто без утворення пустот.

Хай S₁ і S₂ - площа перерізу 1 і 2 потоку;

- швидкості рідини в перерізах 1 і 2 (перемінні по

перерізу величини);

ρ₁ і ρ₂ - густина рідина в перерізах 1 і 2 (постійні по перерізу величини).

Необхідно визначити залежність між величиною поперечного перерізу трубопроводу і швидкістю рідини.

Складаємо баланс маси рідини для окресленого потоку.

Для 1 м³ потоку баланс субстанції виражається основним рівнянням переносу:

=-. Потенціал переносу маси, щільність потоку маси.

Після підстановки цих величин в рівняння переносу маємо: = - дир. рівняння нерозривності потоку.

Для усталеного потоку нестиглої рідини . .

Проінтегруємо рівняння = -по усьому об’ємуокруглого потоку:

.

Згідно теореми Гаусса-Остроградського

.

=

-

Оскільки - і, то

ρ1 W1 S1 = ρ2 W2 S2

де V₁ і V₂ - об'ємна витрата рідини переріза 1:2; W₁ і W₁ – середня швидкість рідини в перерізах 1:2.

Таким чином, при нерозривному русі рідини масова витрата її є постійна величина вздовж усього потоку: G₁ = G₂ = G = const.

Для нестисної рідини ρ₁ = ρ₂ = ρ .

Тоді , тобто об'ємна витрата рідини постійна вздовж

W₁ S₁ = W₂S₂

V₁ V₂ усього потоку.

7. Закон збереження кількості руху

Рівняння руху в’язкості рідини

Виділимо в потоці довільний об’єм рідіни.Хай - щільність потокукількості руху в різних точках на поверхні обєму; - щільність внутрішніх джерел кількості руху.

Необхідно визначити, як змінюється швидкість рідини в різних точках об’єму з часом, тобто знайти залежності:

f₁(х₁ y₁ z₁ τ ), f₂( y₂ z₂ τ ), f₃( y₃ z₃ τ )

Для цього складемо баланс проекцій кількості руху на осі х, у, z. Для 1 м³ рідини рівняння балансу мають вигляд: .

Для осі Z: α = ρw_z,

Щільність внутрішніх джерел кількості руху дорівнює сумі сил, що діють на 1 м³ рідини:

Тоді

Вирішимо це рівняння для нестисної рідини.

Якщо ρ = const, то рівняння приймає вигляд

1.

2. ² W_z – оператор Лапласа

Тоді ²W_z –

²W_z –

- субстанційна похідна, тобто повна похідна швидкість w_z по часу.

З урахуванням останнього маємо рівняння балансу проекцій кількості руху на вісі Z,X,Y:

сили інерції сили тертя сили тиску

Диф.рівняння руху в’язкої нестисної рідини Навє-Стоксаю. Всі складові цих рівнянь мають розмірність сил, що діють на 1 м3 рідини.

Фізичний сенс цих рівнянь:

Повна зміна за 1 сек. проекції кількості руху на будь яку вісь дорівнює сумі проекцій сил на цю вісь

Для ідеальних рідин (µ=0) рівняння спрощується:

Рівняння руху ідеальної рідини (рівняння Ейлера)