Лабораторна робота №1

Тема: «Теорія множин».

Мета: вивчити основні аксіоми, закони і теореми теорії множин, навчитися застосовувати їх на практиці.

Завдання:

• написати програму, яка буде виконувати будь-які операції над множинами (блок схеми основних операцій над множинами наведено на рисунках 1-6);

• скласти алгоритм і написати програму, що буде обчислювати функцію множин (згідно свого варіанта, приведеного в таблиці 1);

• виконати спрощення заданної формули та порівняти результати.

Теоретичні основи:

Множина – усяка сукупність визначених елементів, які можуть бути зв'язаними між собою за допомогою деякої властивості.

Множини позначаються великими латинськими буквами. Об'єкти, що складають множини, називаються елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту.

Кінцева множина – це така множина, кількість елементів якої може бути виражена кінцевим числом, причому не важливо, чи можемо ми порахувати це число в даний момент.

Нескінченна множина - це така множина, що не є кінцевою.

Множина може задаватися у кілька способів.

Кінцеву множину можливо задати переліком її елементів.

Нескінченну множину можливо задати вказівкою характерної властивості.

Приклад

A={x: x*x-1=0}

B={x1,x2,x3,x4}

Основні аксіоми теорії множин:

1. Аксіома існування – завжди існує хоча б одна множина;

2. Аксіома еквівалентності – якщо множини А та В складаються з тих самих елементів;

3. Аксіома об'єднання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що утримується в одній з цих двох множин або в обох одночасно;

4. Аксіома перетинання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що одночасно належить і множині А і множині В;

5. Аксіома про універсальну множину – для довільної групи множин Ai-тих завжди існує множина I, для якої виконується співвідношення Ai I

6. Аксіома про порожню множину – завжди існує множина, якій не належить жоден елемент.

Виходячи з основних аксіом, визначені додаткові операції над множинами:

• Доповнення множини – для довільної множини М існує доповнення до універсальної множини і позначається це доповнення М :

М М=I

M M=Ǿ

• Різниця між множинами – для довільної множини А и В існує множина С , яка включає такі елементи першої множини, які не співпадають з елементами другої множини:

С=А\В=А В

С=В\А=В А

• Симетрична різниця між множинами –

С=АΔВ= А\В В\А

Основні закони операцій перетинання й об'єднання

1. Закон комутатівності-

А В=В А; А В=В А

2. Закон асоціативності

(А В) С=А (B С)

(А В) C=А (B С)

3. Закони дистрибутивності:

1-ий – (А В) C=(А C) (BC)

2-ий - (А В) C=(А C) (B C)

4. Закони де Моргана.

А В= А В А В= А В

Приклади деяких операцій над множинами.

Довести тотожності.

1. А\(B C)=(А\B) (А\C)

(А В) (А C)=А\(B C)- доведено

2. А\(А\B)=А В

А\(А В)=А (А В)=А (А В)=А А А В=А В-доведено

3. А В=А (B\А)

А (В А)=А В А А=А В I=А В-доведено