МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Методичні вказівки

ДО РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

З ДИСЦИПЛІНІ

"ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА"

для студентів спеціальностей

7.091501: "Комп'ютерні системи та мережі"

7.091502: ”Системне програмування”

Затверджено

на засіданні кафедри КІ

Протокол № 1 від

30.08.2010

Рекомендовано до видання

методичною комісією

спеціальностей 7.091501 і 7.091502

Протокол № 1 від

Донецьк

УДК 681.973

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ З ДИСЦИПЛІНІ «ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА»(для студентів очної, заочної та очно – заочної форми навчання).

Ціллю розрахункової роботи з дисципліни “Дискретна математика” є вдосконалення знань студентів із одного з розділів дискретної математики – теорії графів.

Укладачі: А.Ю. Іванов, ст. викл., О.Ю.Череднікова, ас.

Рецензент: Kраснокутський В.О., к.т.н., доц.

Ладиженський Ю.В., к.т.н., доц.

Література

1.Форд Л., Потоки в мережах - М.:Мир,1966

2.Цой С., Цхай С.М. Прикладна теорія графів - Алма-Ата. 1971

Завдання до розрахункової роботи.

Згідно з варіантом у журналі старости виконати ручний розрахунок пунктів для відповідного графу:

• засоби представлення графу (матриці суміжності, інцидентності, список пар, список суміжності);

• визначення чисельних метричних характеристик:

- радіус

- діаметр

- хроматичне число

- хроматичний клас

- цикломатичне число ( згідно з формулою та за допомогою побудови остова)

• матриця досяжності (для орієнтованого графу)

• мінімальний шлях між всіма вершинами графу за алгоритмом Флойда

• максимальний потік в мережі ;

• Ейлерів ланцюг або цикл;

• Задача комівояжера (Гамільтонів ланцюг або цикл).

Звіт виконується в зошиті і здається на перевірку до складання заліку.

Варіанти завдань

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

Приклад виконання.

1. Засоби представлення графу.

Матриця суміжностей:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	1	1	0	1	0	0	0
M	1	0	1	1	0	1	0	1
U	1	1	0	0	1	1	0	0
H	0	1	0	0	1	0	1	0
P	1	0	1	1	0	0	0	1
S	0	1	1	0	0	0	1	0
T	0	0	0	1	0	1	0	1
R	0	1	0	0	1	0	1	0

Матриця інцидентностей.

	DM	DU	DP	MU	MS	MR	MH	UP	US	ST	PH	PR	TR	TH
D	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
M	1	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
U	0	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
H	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	1
P	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0
S	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0
T	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	1
R	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	1	0

Список суміжності.

D	M	P	U
M	D	U	S	R	H
U	D	M	P	S
H	M	P	T
P	D	U	H	R
S	U	M	T
T	S	H	R
R	M	P	T

2. Визначення всіх метричних характеристик графу.

Кількість верхівок: 8.

Кількість ребер: 14.

Ступені верхівок:

D	M	U	H	P	S	T	R
3	5	4	3	4	3	3	3

Дистанції між парами верхівок.

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	1	1	2	1	2	3	2
M	1	0	1	1	2	1	2	1
U	1	1	0	2	1	1	2	2
H	2	1	2	0	1	2	1	2
P	1	2	1	1	0	2	2	1
S	2	1	1	2	2	0	1	2
T	3	2	2	1	2	1	0	1
R	2	1	2	2	1	2	1	0

Радіуси верхівок.

D	M	U	H	P	S	T	R
3	2	2	2	2	2	3	2

Діаметр графу: 3.

Радіус графу: 2.

Хроматичне число графу.

Хроматичне число графу дорівнює 3.

Хроматичний клас графу.

Хроматичний клас графу дорівнює 5.

3. Алгоритм Флойду для графу.

Первинна матриця відстаней матриця шляху

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	∞	7	∞	∞	∞
M	10	0	7	9	∞	2	∞	6
U	7	7	0	∞	4	9	∞	∞
H	∞	9	∞	0	5	∞	10	∞
P	7	∞	4	5	0	∞	∞	3
S	∞	2	9	∞	∞	0	8	∞
T	∞	∞	∞	10	∞	8	0	5
R	∞	6	∞	∞	3	∞	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	0	P	0	0	0
M	D	0	U	H	0	S	0	R
U	D	M	0	0	P	S	0	0
H	0	M	0	0	P	0	T	0
P	D	0	U	H	0	0	0	R
S	0	M	U	0	0	0	T	0
T	0	0	0	H	0	S	0	R
R	0	M	0	0	P	0	T	0

Робота алгоритму.

Через верхівку D:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	∞	7	∞	∞	∞
M	10	0	7	9	17	2	∞	6
U	7	7	0	∞	4	9	∞	∞
H	∞	9	∞	0	5	∞	10	∞
P	7	17	4	5	0	∞	∞	3
S	∞	2	9	∞	∞	0	8	∞
T	∞	∞	∞	10	∞	8	0	5
R	∞	6	∞	∞	3	∞	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	0	P	0	0	0
M	D	0	U	H	D	S	0	R
U	D	M	0	0	P	S	0	0
H	0	M	0	0	P	0	T	0
P	D	D	U	H	0	0	0	R
S	0	M	U	0	0	0	T	0
T	0	0	0	H	0	S	0	R
R	0	M	0	0	P	0	T	0

Через верхівку М:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	19	7	12	∞	16
M	10	0	7	9	17	2	∞	6
U	7	7	0	16	4	9	∞	13
H	19	9	16	0	5	11	10	15
P	7	17	4	5	0	19	∞	3
S	12	2	9	11	19	0	8	8
T	∞	∞	∞	10	∞	8	0	5
R	16	6	13	15	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	M	P	M	0	M
M	D	0	U	H	D	S	0	R
U	D	M	0	M	P	S	0	M
H	M	M	M	0	P	M	T	M
P	D	D	U	H	0	M	0	R
S	M	M	U	M	M	0	T	M
T	0	0	0	H	0	S	0	R
R	M	M	M	M	P	M	T	0

Через верхівку U:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	19	7	12	∞	16
M	10	0	7	9	11	2	∞	6
U	7	7	0	16	4	9	∞	13
H	19	9	16	0	5	11	10	15
P	7	11	4	5	0	13	∞	3
S	12	2	9	11	13	0	8	8
T	∞	∞	∞	10	∞	8	0	5
R	16	6	13	15	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	M	P	M	0	M
M	D	0	U	H	U	S	0	R
U	D	M	0	M	P	S	0	M
H	M	M	M	0	P	M	T	M
P	D	U	U	H	0	U	0	R
S	M	M	U	M	U	0	T	M
T	0	0	0	H	0	S	0	R
R	M	M	M	M	P	M	T	0

Через верхівку H:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	19	7	12	29	16
M	10	0	7	9	11	2	19	6
U	7	7	0	16	4	9	26	13
H	19	9	16	0	5	11	10	15
P	7	11	4	5	0	13	15	3
S	12	2	9	11	13	0	8	8
T	29	19	26	10	15	8	0	5
R	16	6	13	15	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	M	P	M	M	M
M	D	0	U	H	U	S	H	R
U	D	M	0	M	P	S	M	M
H	M	M	M	0	P	M	T	M
P	D	U	U	H	0	U	H	R
S	M	M	U	M	U	0	T	M
T	H	H	H	H	H	S	0	R
R	M	M	M	M	P	M	T	0

Через верхівку P:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	12	7	12	22	10
M	10	0	7	9	11	2	19	6
U	7	7	0	9	4	9	19	7
H	12	9	9	0	5	11	10	8
P	7	11	4	5	0	13	15	3
S	12	2	9	11	13	0	8	8
T	22	19	19	10	15	8	0	5
R	10	6	7	8	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	P	P	M	P	P
M	D	0	U	H	U	S	H	R
U	D	M	0	P	P	S	P	P
H	P	M	P	0	P	M	T	P
P	D	U	U	H	0	U	H	R
S	M	M	U	M	U	M	T	M
T	H	H	H	H	H	S	0	R
R	P	M	P	P	P	M	T	0

Через верхівку S:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	12	7	12	20	10
M	10	0	7	9	11	2	10	6
U	7	7	0	9	4	9	17	7
H	12	9	9	0	5	11	10	8
P	7	11	4	5	0	13	15	3
S	12	2	9	11	13	0	8	8
T	20	10	17	10	15	8	0	5
R	10	6	7	8	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	P	P	M	M	P
M	D	0	U	H	U	S	S	R
U	D	M	0	P	P	S	S	P
H	P	M	P	0	P	M	T	P
P	D	U	U	H	0	U	H	R
S	M	M	U	M	U	M	T	M
T	S	S	S	H	H	S	0	R
R	P	M	P	P	P	M	T	0

Через верхівку T: - змін немає

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	12	7	12	20	10
M	10	0	7	9	11	2	10	6
U	7	7	0	9	4	9	17	7
H	12	9	9	0	5	11	10	8
P	7	11	4	5	0	13	15	3
S	12	2	9	11	13	0	8	8
T	20	10	17	10	15	8	0	5
R	10	6	7	8	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	P	P	M	M	P
M	D	0	U	H	U	S	S	R
U	D	M	0	P	P	S	S	P
H	P	M	P	0	P	M	T	P
P	D	U	U	H	0	U	H	R
S	M	M	U	M	U	M	T	M
T	S	S	S	H	H	S	0	R
R	P	M	P	P	P	M	T	0

Через верхівку R Вихіднi таблицi.

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	10	7	12	7	12	15	10
M	10	0	7	9	9	2	10	6
U	7	7	0	9	4	9	12	7
H	12	9	9	0	5	11	10	8
P	7	9	4	5	0	11	8	3
S	12	2	9	11	11	0	8	8
T	15	10	12	10	8	8	0	5
R	10	6	7	8	3	8	5	0

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	M	U	P	P	M	P	P
M	D	0	U	H	R	S	S	R
U	D	M	0	P	P	S	P	P
H	P	M	P	0	P	M	T	P
P	D	R	U	H	0	R	R	R
S	M	M	U	M	M	M	T	M
T	R	S	R	H	R	S	0	R
R	P	M	P	P	P	M	T	0

Матриця досяжності

Орієнтований граф:

	D	M	U	H	P	S	T	R
D	0	1	1	1	1	1	1	1
M	0	0	1	1	1	1	1	1
U	0	0	0	0	1	1	1	1
H	0	1	0	0	1	0	1	1
P	0	0	0	0	0	0	0	1
S	0	0	0	0	0	0	1	1
T	0	0	0	0	0	0	0	1
R	0	0	0	0	0	0	0	0

4. Пошук максимального потоку в мережі (метод Форда-Фалкерсона).

Етап насичення:

min=6

min=3

min=2

min=3;

Усі ребра, що входять до стоку заповнені. Тобто максимальний проток цієї мережі Ф=6+3+5=8+3+3=14.

5. Ейлерів ціпок та цикл.

В цьому графі наявні 6 верхівок з непарними ступенями, тому побудова ейлеревого ціпку та циклу неможлива.

6. Задача комівояжера. Гамільтоновий ціпок та цикл.

Показано початок побудови дерева рішення.

D(0)

U(7)

P(7)

M(10)

M(14)

P(11)

S(16)

U(11)

R(10)

H(12)

M(16)

T(15)

U(17)

S(12)

R(16)

H(19)

H(16)

R(14)

M(18)

S(20)

U(21)

T(20)

M(21)

T(22)

S(16)

R(20)

H(23)

T(19)

M(20)

S(23)

M(25)

T(26)

T(24)

S(18)

H(25)

R(22)

S(26)

P(21)

S(20)

H(27)

R(24)

T(26)

U(27)

H(36)

T(21)

H(29)

S(27)

T(29)

P(24)

U(23)

H(24)

P(19)

M(22)

T(28)

P(23)

T(25)

H(29)

S(22)

R(25)

H(30)

P(25)

R(24)

H(26)

H(28)

T(30)

H(31)

R(28)

M(34)

H(25)

U(32)

M(25)

R(27)

S(30)

U(28)

R(27)

S(23)

T(31)

U(32)

H(24)

P(29)

R(32)

R(29)

P(32)

H(37)

S(46)

T(38)

S(40)

M(38)

H(38)

M(29)

M(18)

Т(24)

1

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19